MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2ndcdisj2 Structured version   Unicode version

Theorem 2ndcdisj2 17510
Description: Any disjoint collection of open sets in a second-countable space is countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.) (Revised by NM, 17-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
2ndcdisj2  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A  C_  J  /\  A. y E* x  e.  A
y  e.  x )  ->  A  ~<_  om )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, J
Allowed substitution hint:    J( y)

Proof of Theorem 2ndcdisj2
StepHypRef Expression
1 df-rmo 2705 . . 3  |-  ( E* x  e.  A y  e.  x  <->  E* x
( x  e.  A  /\  y  e.  x
) )
21albii 1575 . 2  |-  ( A. y E* x  e.  A
y  e.  x  <->  A. y E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  x ) )
3 undif2 3696 . . . . . 6  |-  ( {
(/) }  u.  ( A  \  { (/) } ) )  =  ( {
(/) }  u.  A
)
4 omex 7588 . . . . . . . 8  |-  om  e.  _V
5 peano1 4856 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  om
6 snssi 3934 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  om  ->  { (/) }  C_  om )
75, 6ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  { (/) } 
C_  om
8 ssdomg 7145 . . . . . . . 8  |-  ( om  e.  _V  ->  ( { (/) }  C_  om  ->  {
(/) }  ~<_  om )
)
94, 7, 8mp2 9 . . . . . . 7  |-  { (/) }  ~<_  om
10 id 20 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  2ndc  ->  J  e. 
2ndc )
11 ssdif 3474 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  J  ->  ( A  \  { (/) } ) 
C_  ( J  \  { (/) } ) )
12 dfss3 3330 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  \  { (/) } )  C_  ( J  \  { (/) } )  <->  A. x  e.  ( A  \  { (/)
} ) x  e.  ( J  \  { (/)
} ) )
1311, 12sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  J  ->  A. x  e.  ( A  \  { (/)
} ) x  e.  ( J  \  { (/)
} ) )
14 eldifi 3461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( A  \  { (/) } )  ->  x  e.  A )
1514anim1i 552 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( A 
\  { (/) } )  /\  y  e.  x
)  ->  ( x  e.  A  /\  y  e.  x ) )
1615moimi 2327 . . . . . . . . 9  |-  ( E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  x )  ->  E* x ( x  e.  ( A  \  { (/)
} )  /\  y  e.  x ) )
1716alimi 1568 . . . . . . . 8  |-  ( A. y E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  x )  ->  A. y E* x ( x  e.  ( A  \  { (/)
} )  /\  y  e.  x ) )
18 df-rmo 2705 . . . . . . . . . 10  |-  ( E* x  e.  ( A 
\  { (/) } ) y  e.  x  <->  E* x
( x  e.  ( A  \  { (/) } )  /\  y  e.  x ) )
1918albii 1575 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y E* x  e.  ( A  \  { (/) } ) y  e.  x  <->  A. y E* x ( x  e.  ( A 
\  { (/) } )  /\  y  e.  x
) )
20 2ndcdisj 17509 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A. x  e.  ( A  \  { (/) } ) x  e.  ( J  \  { (/) } )  /\  A. y E* x  e.  ( A  \  { (/)
} ) y  e.  x )  ->  ( A  \  { (/) } )  ~<_  om )
2119, 20syl3an3br 1225 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A. x  e.  ( A  \  { (/) } ) x  e.  ( J  \  { (/) } )  /\  A. y E* x ( x  e.  ( A 
\  { (/) } )  /\  y  e.  x
) )  ->  ( A  \  { (/) } )  ~<_  om )
2210, 13, 17, 21syl3an 1226 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A  C_  J  /\  A. y E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  x ) )  -> 
( A  \  { (/)
} )  ~<_  om )
23 unctb 8075 . . . . . . 7  |-  ( ( { (/) }  ~<_  om  /\  ( A  \  { (/) } )  ~<_  om )  ->  ( { (/) }  u.  ( A  \  { (/) } ) )  ~<_  om )
249, 22, 23sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A  C_  J  /\  A. y E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  x ) )  -> 
( { (/) }  u.  ( A  \  { (/) } ) )  ~<_  om )
253, 24syl5eqbrr 4238 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A  C_  J  /\  A. y E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  x ) )  -> 
( { (/) }  u.  A )  ~<_  om )
26 reldom 7107 . . . . . 6  |-  Rel  ~<_
2726brrelexi 4910 . . . . 5  |-  ( ( { (/) }  u.  A
)  ~<_  om  ->  ( {
(/) }  u.  A
)  e.  _V )
2825, 27syl 16 . . . 4  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A  C_  J  /\  A. y E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  x ) )  -> 
( { (/) }  u.  A )  e.  _V )
29 ssun2 3503 . . . 4  |-  A  C_  ( { (/) }  u.  A
)
30 ssdomg 7145 . . . 4  |-  ( ( { (/) }  u.  A
)  e.  _V  ->  ( A  C_  ( { (/)
}  u.  A )  ->  A  ~<_  ( {
(/) }  u.  A
) ) )
3128, 29, 30ee10 1385 . . 3  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A  C_  J  /\  A. y E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  x ) )  ->  A  ~<_  ( { (/) }  u.  A ) )
32 domtr 7152 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  ( { (/) }  u.  A )  /\  ( { (/) }  u.  A
)  ~<_  om )  ->  A  ~<_  om )
3331, 25, 32syl2anc 643 . 2  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A  C_  J  /\  A. y E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  x ) )  ->  A  ~<_  om )
342, 33syl3an3b 1222 1  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A  C_  J  /\  A. y E* x  e.  A
y  e.  x )  ->  A  ~<_  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1549    e. wcel 1725   E*wmo 2281   A.wral 2697   E*wrmo 2700   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    u. cun 3310    C_ wss 3312   (/)c0 3620   {csn 3806   class class class wbr 4204   omcom 4837    ~<_ cdom 7099   2ndcc2ndc 17491
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-oi 7469  df-card 7816  df-cda 8038  df-topgen 13657  df-2ndc 17493
  Copyright terms: Public domain W3C validator