MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2ndcdisj2 Unicode version

Theorem 2ndcdisj2 17443
Description: Any disjoint collection of open sets in a second-countable space is countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.) (Revised by NM, 17-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
2ndcdisj2  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A  C_  J  /\  A. y E* x  e.  A
y  e.  x )  ->  A  ~<_  om )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, J
Allowed substitution hint:    J( y)

Proof of Theorem 2ndcdisj2
StepHypRef Expression
1 df-rmo 2659 . . 3  |-  ( E* x  e.  A y  e.  x  <->  E* x
( x  e.  A  /\  y  e.  x
) )
21albii 1572 . 2  |-  ( A. y E* x  e.  A
y  e.  x  <->  A. y E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  x ) )
3 undif2 3649 . . . . . 6  |-  ( {
(/) }  u.  ( A  \  { (/) } ) )  =  ( {
(/) }  u.  A
)
4 omex 7533 . . . . . . . 8  |-  om  e.  _V
5 peano1 4806 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  om
6 snssi 3887 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  om  ->  { (/) }  C_  om )
75, 6ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  { (/) } 
C_  om
8 ssdomg 7091 . . . . . . . 8  |-  ( om  e.  _V  ->  ( { (/) }  C_  om  ->  {
(/) }  ~<_  om )
)
94, 7, 8mp2 9 . . . . . . 7  |-  { (/) }  ~<_  om
10 id 20 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  2ndc  ->  J  e. 
2ndc )
11 ssdif 3427 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  J  ->  ( A  \  { (/) } ) 
C_  ( J  \  { (/) } ) )
12 dfss3 3283 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  \  { (/) } )  C_  ( J  \  { (/) } )  <->  A. x  e.  ( A  \  { (/)
} ) x  e.  ( J  \  { (/)
} ) )
1311, 12sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  J  ->  A. x  e.  ( A  \  { (/)
} ) x  e.  ( J  \  { (/)
} ) )
14 eldifi 3414 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( A  \  { (/) } )  ->  x  e.  A )
1514anim1i 552 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( A 
\  { (/) } )  /\  y  e.  x
)  ->  ( x  e.  A  /\  y  e.  x ) )
1615moimi 2287 . . . . . . . . 9  |-  ( E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  x )  ->  E* x ( x  e.  ( A  \  { (/)
} )  /\  y  e.  x ) )
1716alimi 1565 . . . . . . . 8  |-  ( A. y E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  x )  ->  A. y E* x ( x  e.  ( A  \  { (/)
} )  /\  y  e.  x ) )
18 df-rmo 2659 . . . . . . . . . 10  |-  ( E* x  e.  ( A 
\  { (/) } ) y  e.  x  <->  E* x
( x  e.  ( A  \  { (/) } )  /\  y  e.  x ) )
1918albii 1572 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y E* x  e.  ( A  \  { (/) } ) y  e.  x  <->  A. y E* x ( x  e.  ( A 
\  { (/) } )  /\  y  e.  x
) )
20 2ndcdisj 17442 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A. x  e.  ( A  \  { (/) } ) x  e.  ( J  \  { (/) } )  /\  A. y E* x  e.  ( A  \  { (/)
} ) y  e.  x )  ->  ( A  \  { (/) } )  ~<_  om )
2119, 20syl3an3br 1225 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A. x  e.  ( A  \  { (/) } ) x  e.  ( J  \  { (/) } )  /\  A. y E* x ( x  e.  ( A 
\  { (/) } )  /\  y  e.  x
) )  ->  ( A  \  { (/) } )  ~<_  om )
2210, 13, 17, 21syl3an 1226 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A  C_  J  /\  A. y E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  x ) )  -> 
( A  \  { (/)
} )  ~<_  om )
23 unctb 8020 . . . . . . 7  |-  ( ( { (/) }  ~<_  om  /\  ( A  \  { (/) } )  ~<_  om )  ->  ( { (/) }  u.  ( A  \  { (/) } ) )  ~<_  om )
249, 22, 23sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A  C_  J  /\  A. y E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  x ) )  -> 
( { (/) }  u.  ( A  \  { (/) } ) )  ~<_  om )
253, 24syl5eqbrr 4189 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A  C_  J  /\  A. y E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  x ) )  -> 
( { (/) }  u.  A )  ~<_  om )
26 reldom 7053 . . . . . 6  |-  Rel  ~<_
2726brrelexi 4860 . . . . 5  |-  ( ( { (/) }  u.  A
)  ~<_  om  ->  ( {
(/) }  u.  A
)  e.  _V )
2825, 27syl 16 . . . 4  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A  C_  J  /\  A. y E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  x ) )  -> 
( { (/) }  u.  A )  e.  _V )
29 ssun2 3456 . . . 4  |-  A  C_  ( { (/) }  u.  A
)
30 ssdomg 7091 . . . 4  |-  ( ( { (/) }  u.  A
)  e.  _V  ->  ( A  C_  ( { (/)
}  u.  A )  ->  A  ~<_  ( {
(/) }  u.  A
) ) )
3128, 29, 30ee10 1382 . . 3  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A  C_  J  /\  A. y E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  x ) )  ->  A  ~<_  ( { (/) }  u.  A ) )
32 domtr 7098 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  ( { (/) }  u.  A )  /\  ( { (/) }  u.  A
)  ~<_  om )  ->  A  ~<_  om )
3331, 25, 32syl2anc 643 . 2  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A  C_  J  /\  A. y E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  x ) )  ->  A  ~<_  om )
342, 33syl3an3b 1222 1  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A  C_  J  /\  A. y E* x  e.  A
y  e.  x )  ->  A  ~<_  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1546    e. wcel 1717   E*wmo 2241   A.wral 2651   E*wrmo 2654   _Vcvv 2901    \ cdif 3262    u. cun 3263    C_ wss 3265   (/)c0 3573   {csn 3759   class class class wbr 4155   omcom 4787    ~<_ cdom 7045   2ndcc2ndc 17424
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-2o 6663  df-oadd 6666  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-oi 7414  df-card 7761  df-cda 7983  df-topgen 13596  df-2ndc 17426
  Copyright terms: Public domain W3C validator