MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2ndcdisj2 Unicode version

Theorem 2ndcdisj2 17199
Description: Any disjoint collection of open sets in a second-countable space is countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.) (Revised by NM, 17-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
2ndcdisj2  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A  C_  J  /\  A. y E* x  e.  A
y  e.  x )  ->  A  ~<_  om )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, J
Allowed substitution hint:    J( y)

Proof of Theorem 2ndcdisj2
StepHypRef Expression
1 df-rmo 2564 . . 3  |-  ( E* x  e.  A y  e.  x  <->  E* x
( x  e.  A  /\  y  e.  x
) )
21albii 1556 . 2  |-  ( A. y E* x  e.  A
y  e.  x  <->  A. y E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  x ) )
3 undif2 3543 . . . . . 6  |-  ( {
(/) }  u.  ( A  \  { (/) } ) )  =  ( {
(/) }  u.  A
)
4 omex 7360 . . . . . . . 8  |-  om  e.  _V
5 peano1 4691 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  om
6 snssi 3775 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  om  ->  { (/) }  C_  om )
75, 6ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  { (/) } 
C_  om
8 ssdomg 6923 . . . . . . . 8  |-  ( om  e.  _V  ->  ( { (/) }  C_  om  ->  {
(/) }  ~<_  om )
)
94, 7, 8mp2 17 . . . . . . 7  |-  { (/) }  ~<_  om
10 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  2ndc  ->  J  e. 
2ndc )
11 ssdif 3324 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  J  ->  ( A  \  { (/) } ) 
C_  ( J  \  { (/) } ) )
12 dfss3 3183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  \  { (/) } )  C_  ( J  \  { (/) } )  <->  A. x  e.  ( A  \  { (/)
} ) x  e.  ( J  \  { (/)
} ) )
1311, 12sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  J  ->  A. x  e.  ( A  \  { (/)
} ) x  e.  ( J  \  { (/)
} ) )
14 eldifi 3311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( A  \  { (/) } )  ->  x  e.  A )
1514anim1i 551 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( A 
\  { (/) } )  /\  y  e.  x
)  ->  ( x  e.  A  /\  y  e.  x ) )
1615moimi 2203 . . . . . . . . 9  |-  ( E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  x )  ->  E* x ( x  e.  ( A  \  { (/)
} )  /\  y  e.  x ) )
1716alimi 1549 . . . . . . . 8  |-  ( A. y E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  x )  ->  A. y E* x ( x  e.  ( A  \  { (/)
} )  /\  y  e.  x ) )
18 df-rmo 2564 . . . . . . . . . 10  |-  ( E* x  e.  ( A 
\  { (/) } ) y  e.  x  <->  E* x
( x  e.  ( A  \  { (/) } )  /\  y  e.  x ) )
1918albii 1556 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y E* x  e.  ( A  \  { (/) } ) y  e.  x  <->  A. y E* x ( x  e.  ( A 
\  { (/) } )  /\  y  e.  x
) )
20 2ndcdisj 17198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A. x  e.  ( A  \  { (/) } ) x  e.  ( J  \  { (/) } )  /\  A. y E* x  e.  ( A  \  { (/)
} ) y  e.  x )  ->  ( A  \  { (/) } )  ~<_  om )
2119, 20syl3an3br 1223 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A. x  e.  ( A  \  { (/) } ) x  e.  ( J  \  { (/) } )  /\  A. y E* x ( x  e.  ( A 
\  { (/) } )  /\  y  e.  x
) )  ->  ( A  \  { (/) } )  ~<_  om )
2210, 13, 17, 21syl3an 1224 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A  C_  J  /\  A. y E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  x ) )  -> 
( A  \  { (/)
} )  ~<_  om )
23 unctb 7847 . . . . . . 7  |-  ( ( { (/) }  ~<_  om  /\  ( A  \  { (/) } )  ~<_  om )  ->  ( { (/) }  u.  ( A  \  { (/) } ) )  ~<_  om )
249, 22, 23sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A  C_  J  /\  A. y E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  x ) )  -> 
( { (/) }  u.  ( A  \  { (/) } ) )  ~<_  om )
253, 24syl5eqbrr 4073 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A  C_  J  /\  A. y E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  x ) )  -> 
( { (/) }  u.  A )  ~<_  om )
26 reldom 6885 . . . . . 6  |-  Rel  ~<_
2726brrelexi 4745 . . . . 5  |-  ( ( { (/) }  u.  A
)  ~<_  om  ->  ( {
(/) }  u.  A
)  e.  _V )
2825, 27syl 15 . . . 4  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A  C_  J  /\  A. y E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  x ) )  -> 
( { (/) }  u.  A )  e.  _V )
29 ssun2 3352 . . . 4  |-  A  C_  ( { (/) }  u.  A
)
30 ssdomg 6923 . . . 4  |-  ( ( { (/) }  u.  A
)  e.  _V  ->  ( A  C_  ( { (/)
}  u.  A )  ->  A  ~<_  ( {
(/) }  u.  A
) ) )
3128, 29, 30ee10 1366 . . 3  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A  C_  J  /\  A. y E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  x ) )  ->  A  ~<_  ( { (/) }  u.  A ) )
32 domtr 6930 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  ( { (/) }  u.  A )  /\  ( { (/) }  u.  A
)  ~<_  om )  ->  A  ~<_  om )
3331, 25, 32syl2anc 642 . 2  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A  C_  J  /\  A. y E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  x ) )  ->  A  ~<_  om )
342, 33syl3an3b 1220 1  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A  C_  J  /\  A. y E* x  e.  A
y  e.  x )  ->  A  ~<_  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1530    e. wcel 1696   E*wmo 2157   A.wral 2556   E*wrmo 2559   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    u. cun 3163    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653   class class class wbr 4039   omcom 4672    ~<_ cdom 6877   2ndcc2ndc 17180
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-topgen 13360  df-2ndc 17182
  Copyright terms: Public domain W3C validator