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Theorem 2ndcomap 17559
Description: A surjective continuous open map maps second-countable spaces to second-countable spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2ndcomap.2  |-  Y  = 
U. K
2ndcomap.3  |-  ( ph  ->  J  e.  2ndc )
2ndcomap.5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
2ndcomap.6  |-  ( ph  ->  ran  F  =  Y )
2ndcomap.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  J )  ->  ( F " x )  e.  K )
Assertion
Ref Expression
2ndcomap  |-  ( ph  ->  K  e.  2ndc )
Distinct variable groups:    x, F    x, J    ph, x    x, K
Allowed substitution hint:    Y( x)

Proof of Theorem 2ndcomap
Dummy variables  k  m  t  w  z 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2ndcomap.3 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  2ndc )
2 is2ndc 17547 . . 3  |-  ( J  e.  2ndc  <->  E. b  e.  TopBases  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )
31, 2sylib 190 . 2  |-  ( ph  ->  E. b  e.  TopBases  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )
4 2ndcomap.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
5 cntop2 17343 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
64, 5syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
76ad2antrr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  K  e.  Top )
8 simplll 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  x  e.  b )  ->  ph )
9 bastg 17069 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  TopBases  ->  b  C_  ( topGen `
 b ) )
109ad2antlr 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  b  C_  ( topGen `  b )
)
11 simprr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  ( topGen `
 b )  =  J )
1210, 11sseqtrd 3373 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  b  C_  J )
1312sselda 3337 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  x  e.  b )  ->  x  e.  J )
14 2ndcomap.7 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  J )  ->  ( F " x )  e.  K )
158, 13, 14syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  x  e.  b )  ->  ( F " x
)  e.  K )
16 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  b  |->  ( F
" x ) )  =  ( x  e.  b  |->  ( F "
x ) )
1715, 16fmptd 5929 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  (
x  e.  b  |->  ( F " x ) ) : b --> K )
18 frn 5632 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  b  |->  ( F " x ) ) : b --> K  ->  ran  ( x  e.  b  |->  ( F
" x ) ) 
C_  K )
1917, 18syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  ran  ( x  e.  b  |->  ( F " x
) )  C_  K
)
20 elunii 4049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  k  /\  k  e.  K )  ->  z  e.  U. K
)
21 2ndcomap.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Y  = 
U. K
2220, 21syl6eleqr 2534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  k  /\  k  e.  K )  ->  z  e.  Y )
2322ancoms 441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  ->  z  e.  Y )
2423adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( k  e.  K  /\  z  e.  k
) )  ->  z  e.  Y )
25 2ndcomap.6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ran  F  =  Y )
2625ad3antrrr 712 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( k  e.  K  /\  z  e.  k
) )  ->  ran  F  =  Y )
2724, 26eleqtrrd 2520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( k  e.  K  /\  z  e.  k
) )  ->  z  e.  ran  F )
28 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. J  =  U. J
2928, 21cnf 17348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> Y )
304, 29syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : U. J --> Y )
3130ad3antrrr 712 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( k  e.  K  /\  z  e.  k
) )  ->  F : U. J --> Y )
32 ffn 5626 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : U. J --> Y  ->  F  Fn  U. J )
33 fvelrnb 5810 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  U. J  -> 
( z  e.  ran  F  <->  E. t  e.  U. J
( F `  t
)  =  z ) )
3431, 32, 333syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( k  e.  K  /\  z  e.  k
) )  ->  (
z  e.  ran  F  <->  E. t  e.  U. J
( F `  t
)  =  z ) )
3527, 34mpbid 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( k  e.  K  /\  z  e.  k
) )  ->  E. t  e.  U. J ( F `
 t )  =  z )
364ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
37 simprll 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  k  e.  K )
38 cnima 17367 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  k  e.  K )  ->  ( `' F "
k )  e.  J
)
3936, 37, 38syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  ( `' F " k )  e.  J )
4011adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  ( topGen `
 b )  =  J )
4139, 40eleqtrrd 2520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  ( `' F " k )  e.  ( topGen `  b
) )
42 simprrl 742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  t  e.  U. J )
43 simprrr 743 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  ( F `  t )  =  z )
44 simprlr 741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  z  e.  k )
4543, 44eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  ( F `  t )  e.  k )
4631, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( k  e.  K  /\  z  e.  k
) )  ->  F  Fn  U. J )
4746adantrr 699 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  F  Fn  U. J )
48 elpreima 5886 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  Fn  U. J  -> 
( t  e.  ( `' F " k )  <-> 
( t  e.  U. J  /\  ( F `  t )  e.  k ) ) )
4947, 48syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  (
t  e.  ( `' F " k )  <-> 
( t  e.  U. J  /\  ( F `  t )  e.  k ) ) )
5042, 45, 49mpbir2and 890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  t  e.  ( `' F "
k ) )
51 tg2 17068 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( `' F "
k )  e.  (
topGen `  b )  /\  t  e.  ( `' F " k ) )  ->  E. m  e.  b  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) )
5241, 50, 51syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  E. m  e.  b  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F "
k ) ) )
53 simprl 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  ->  m  e.  b )
54 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F
" m )  =  ( F " m
)
55 imaeq2 5234 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  m  ->  ( F " x )  =  ( F " m
) )
5655eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  m  ->  (
( F " m
)  =  ( F
" x )  <->  ( F " m )  =  ( F " m ) ) )
5756rspcev 3061 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  b  /\  ( F " m )  =  ( F "
m ) )  ->  E. x  e.  b 
( F " m
)  =  ( F
" x ) )
5853, 54, 57sylancl 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  ->  E. x  e.  b 
( F " m
)  =  ( F
" x ) )
5947adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  ->  F  Fn  U. J )
60 fnfun 5577 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  Fn  U. J  ->  Fun  F )
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  ->  Fun  F )
62 simprrr 743 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  ->  m  C_  ( `' F " k ) )
63 funimass2 5562 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  F  /\  m  C_  ( `' F "
k ) )  -> 
( F " m
)  C_  k )
6461, 62, 63syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  -> 
( F " m
)  C_  k )
65 vex 2968 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  k  e. 
_V
66 ssexg 4384 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F " m
)  C_  k  /\  k  e.  _V )  ->  ( F " m
)  e.  _V )
6764, 65, 66sylancl 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  -> 
( F " m
)  e.  _V )
6816elrnmpt 5152 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F " m )  e.  _V  ->  (
( F " m
)  e.  ran  (
x  e.  b  |->  ( F " x ) )  <->  E. x  e.  b  ( F " m
)  =  ( F
" x ) ) )
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  -> 
( ( F "
m )  e.  ran  ( x  e.  b  |->  ( F " x
) )  <->  E. x  e.  b  ( F " m )  =  ( F " x ) ) )
7058, 69mpbird 225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  -> 
( F " m
)  e.  ran  (
x  e.  b  |->  ( F " x ) ) )
7143adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  -> 
( F `  t
)  =  z )
72 simprrl 742 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  -> 
t  e.  m )
73 cnvimass 5259 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' F " k ) 
C_  dom  F
7462, 73syl6ss 3349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  ->  m  C_  dom  F )
75 funfvima2 6010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Fun  F  /\  m  C_ 
dom  F )  -> 
( t  e.  m  ->  ( F `  t
)  e.  ( F
" m ) ) )
7661, 74, 75syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  -> 
( t  e.  m  ->  ( F `  t
)  e.  ( F
" m ) ) )
7772, 76mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  -> 
( F `  t
)  e.  ( F
" m ) )
7871, 77eqeltrrd 2518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  -> 
z  e.  ( F
" m ) )
79 eleq2 2504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( F "
m )  ->  (
z  e.  w  <->  z  e.  ( F " m ) ) )
80 sseq1 3358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( F "
m )  ->  (
w  C_  k  <->  ( F " m )  C_  k
) )
8179, 80anbi12d 693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( F "
m )  ->  (
( z  e.  w  /\  w  C_  k )  <-> 
( z  e.  ( F " m )  /\  ( F "
m )  C_  k
) ) )
8281rspcev 3061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F " m
)  e.  ran  (
x  e.  b  |->  ( F " x ) )  /\  ( z  e.  ( F "
m )  /\  ( F " m )  C_  k ) )  ->  E. w  e.  ran  ( x  e.  b  |->  ( F " x
) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  k ) )
8370, 78, 64, 82syl12anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  ->  E. w  e.  ran  ( x  e.  b  |->  ( F " x
) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  k ) )
8452, 83rexlimddv 2841 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  E. w  e.  ran  ( x  e.  b  |->  ( F "
x ) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  k ) )
8584anassrs 631 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( k  e.  K  /\  z  e.  k
) )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) )  ->  E. w  e.  ran  ( x  e.  b  |->  ( F "
x ) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  k ) )
8635, 85rexlimddv 2841 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( k  e.  K  /\  z  e.  k
) )  ->  E. w  e.  ran  ( x  e.  b  |->  ( F "
x ) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  k ) )
8786ralrimivva 2805 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  A. k  e.  K  A. z  e.  k  E. w  e.  ran  ( x  e.  b  |->  ( F "
x ) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  k ) )
88 basgen2 17092 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Top  /\  ran  ( x  e.  b 
|->  ( F " x
) )  C_  K  /\  A. k  e.  K  A. z  e.  k  E. w  e.  ran  ( x  e.  b  |->  ( F " x
) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  k ) )  -> 
( topGen `  ran  ( x  e.  b  |->  ( F
" x ) ) )  =  K )
897, 19, 87, 88syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  ( topGen `
 ran  ( x  e.  b  |->  ( F
" x ) ) )  =  K )
9089, 7eqeltrd 2517 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  ( topGen `
 ran  ( x  e.  b  |->  ( F
" x ) ) )  e.  Top )
91 tgclb 17073 . . . . . . 7  |-  ( ran  ( x  e.  b 
|->  ( F " x
) )  e.  TopBases  <->  ( topGen ` 
ran  ( x  e.  b  |->  ( F "
x ) ) )  e.  Top )
9290, 91sylibr 205 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  ran  ( x  e.  b  |->  ( F " x
) )  e.  TopBases )
93 omelon 7637 . . . . . . . . 9  |-  om  e.  On
94 simprl 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  b  ~<_  om )
95 ondomen 7956 . . . . . . . . 9  |-  ( ( om  e.  On  /\  b  ~<_  om )  ->  b  e.  dom  card )
9693, 94, 95sylancr 646 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  b  e.  dom  card )
97 ffn 5626 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  b  |->  ( F " x ) ) : b --> K  ->  ( x  e.  b  |->  ( F "
x ) )  Fn  b )
9817, 97syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  (
x  e.  b  |->  ( F " x ) )  Fn  b )
99 dffn4 5694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  b  |->  ( F " x ) )  Fn  b  <->  ( x  e.  b  |->  ( F
" x ) ) : b -onto-> ran  (
x  e.  b  |->  ( F " x ) ) )
10098, 99sylib 190 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  (
x  e.  b  |->  ( F " x ) ) : b -onto-> ran  ( x  e.  b 
|->  ( F " x
) ) )
101 fodomnum 7976 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  dom  card  ->  ( ( x  e.  b 
|->  ( F " x
) ) : b
-onto->
ran  ( x  e.  b  |->  ( F "
x ) )  ->  ran  ( x  e.  b 
|->  ( F " x
) )  ~<_  b ) )
10296, 100, 101sylc 59 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  ran  ( x  e.  b  |->  ( F " x
) )  ~<_  b )
103 domtr 7196 . . . . . . 7  |-  ( ( ran  ( x  e.  b  |->  ( F "
x ) )  ~<_  b  /\  b  ~<_  om )  ->  ran  ( x  e.  b  |->  ( F "
x ) )  ~<_  om )
104102, 94, 103syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  ran  ( x  e.  b  |->  ( F " x
) )  ~<_  om )
105 2ndci 17549 . . . . . 6  |-  ( ( ran  ( x  e.  b  |->  ( F "
x ) )  e.  TopBases 
/\  ran  ( x  e.  b  |->  ( F
" x ) )  ~<_  om )  ->  ( topGen `
 ran  ( x  e.  b  |->  ( F
" x ) ) )  e.  2ndc )
10692, 104, 105syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  ( topGen `
 ran  ( x  e.  b  |->  ( F
" x ) ) )  e.  2ndc )
10789, 106eqeltrrd 2518 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  K  e.  2ndc )
108107ex 425 . . 3  |-  ( (
ph  /\  b  e.  TopBases )  ->  ( ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J )  ->  K  e.  2ndc ) )
109108rexlimdva 2837 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. b  e.  TopBases  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J )  ->  K  e.  2ndc ) )
1103, 109mpd 15 1  |-  ( ph  ->  K  e.  2ndc )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1654    e. wcel 1728   A.wral 2712   E.wrex 2713   _Vcvv 2965    C_ wss 3309   U.cuni 4044   class class class wbr 4243    e. cmpt 4297   Oncon0 4616   omcom 4880   `'ccnv 4912   dom cdm 4913   ran crn 4914   "cima 4916   Fun wfun 5483    Fn wfn 5484   -->wf 5485   -onto->wfo 5487   ` cfv 5489  (class class class)co 6117    ~<_ cdom 7143   cardccrd 7860   topGenctg 13703   Topctop 16996   TopBasesctb 17000    Cn ccn 17326   2ndcc2ndc 17539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4351  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736  ax-inf2 7632
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-uni 4045  df-int 4080  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-se 4577  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-isom 5498  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-1st 6385  df-2nd 6386  df-riota 6585  df-recs 6669  df-er 6941  df-map 7056  df-en 7146  df-dom 7147  df-card 7864  df-acn 7867  df-topgen 13705  df-top 17001  df-bases 17003  df-topon 17004  df-cn 17329  df-2ndc 17541
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