Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2ndcsb Structured version   Unicode version

Theorem 2ndcsb 17550
 Description: Having a countable subbase is a sufficient condition for second-countability. (Contributed by Jeff Hankins, 17-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
2ndcsb
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem 2ndcsb
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 is2ndc 17547 . . 3
2 df-rex 2718 . . . 4
3 simprl 734 . . . . . 6
4 ssfii 7460 . . . . . . . . 9
54adantr 453 . . . . . . . 8
6 fvex 5773 . . . . . . . . . 10
7 bastg 17069 . . . . . . . . . . 11
87adantr 453 . . . . . . . . . 10
9 fiss 7465 . . . . . . . . . 10
106, 8, 9sylancr 646 . . . . . . . . 9
11 tgcl 17072 . . . . . . . . . . 11
1211adantr 453 . . . . . . . . . 10
13 fitop 17011 . . . . . . . . . 10
1412, 13syl 16 . . . . . . . . 9
1510, 14sseqtrd 3373 . . . . . . . 8
16 2basgen 17093 . . . . . . . 8
175, 15, 16syl2anc 644 . . . . . . 7
18 simprr 735 . . . . . . 7
1917, 18eqtr3d 2477 . . . . . 6
203, 19jca 520 . . . . 5
2120eximi 1586 . . . 4
222, 21sylbi 189 . . 3
231, 22sylbi 189 . 2
24 fibas 17080 . . . . 5
25 simpl 445 . . . . . . 7
26 vex 2968 . . . . . . . 8
27 fictb 8163 . . . . . . . 8
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . 7
2925, 28sylib 190 . . . . . 6
30 simpr 449 . . . . . 6
3129, 30jca 520 . . . . 5
32 breq1 4246 . . . . . . 7
33 fveq2 5763 . . . . . . . 8
3433eqeq1d 2451 . . . . . . 7
3532, 34anbi12d 693 . . . . . 6
3635rspcev 3061 . . . . 5
3724, 31, 36sylancr 646 . . . 4
38 is2ndc 17547 . . . 4
3937, 38sylibr 205 . . 3
4039exlimiv 1646 . 2
4123, 40impbii 182 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 178   wa 360  wex 1551   wceq 1654   wcel 1728  wrex 2713  cvv 2965   wss 3309   class class class wbr 4243  com 4880  cfv 5489   cdom 7143  cfi 7451  ctg 13703  ctop 16996  ctb 17000  c2ndc 17539 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4351  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-uni 4045  df-int 4080  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-se 4577  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-isom 5498  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-1st 6385  df-2nd 6386  df-riota 6585  df-recs 6669  df-rdg 6704  df-1o 6760  df-2o 6761  df-oadd 6764  df-er 6941  df-map 7056  df-en 7146  df-dom 7147  df-sdom 7148  df-fin 7149  df-fi 7452  df-card 7864  df-acn 7867  df-cda 8086  df-topgen 13705  df-top 17001  df-bases 17003  df-2ndc 17541
 Copyright terms: Public domain W3C validator