MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2ndcsb Structured version   Unicode version

Theorem 2ndcsb 17550
Description: Having a countable subbase is a sufficient condition for second-countability. (Contributed by Jeff Hankins, 17-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
2ndcsb  |-  ( J  e.  2ndc  <->  E. x ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  ( fi `  x
) )  =  J ) )
Distinct variable group:    x, J

Proof of Theorem 2ndcsb
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 is2ndc 17547 . . 3  |-  ( J  e.  2ndc  <->  E. x  e.  TopBases  ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )
2 df-rex 2718 . . . 4  |-  ( E. x  e.  TopBases  ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  x )  =  J )  <->  E. x ( x  e.  TopBases  /\  ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  x
)  =  J ) ) )
3 simprl 734 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  ->  x  ~<_  om )
4 ssfii 7460 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  TopBases  ->  x  C_  ( fi `  x ) )
54adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  ->  x  C_  ( fi `  x ) )
6 fvex 5773 . . . . . . . . . 10  |-  ( topGen `  x )  e.  _V
7 bastg 17069 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  TopBases  ->  x  C_  ( topGen `
 x ) )
87adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  ->  x  C_  ( topGen `  x
) )
9 fiss 7465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( topGen `  x )  e.  _V  /\  x  C_  ( topGen `  x )
)  ->  ( fi `  x )  C_  ( fi `  ( topGen `  x
) ) )
106, 8, 9sylancr 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  -> 
( fi `  x
)  C_  ( fi `  ( topGen `  x )
) )
11 tgcl 17072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  TopBases  ->  ( topGen `  x
)  e.  Top )
1211adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  -> 
( topGen `  x )  e.  Top )
13 fitop 17011 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
topGen `  x )  e. 
Top  ->  ( fi `  ( topGen `  x )
)  =  ( topGen `  x ) )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  -> 
( fi `  ( topGen `
 x ) )  =  ( topGen `  x
) )
1510, 14sseqtrd 3373 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  -> 
( fi `  x
)  C_  ( topGen `  x ) )
16 2basgen 17093 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  ( fi `  x )  /\  ( fi `  x )  C_  ( topGen `  x )
)  ->  ( topGen `  x )  =  (
topGen `  ( fi `  x ) ) )
175, 15, 16syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  -> 
( topGen `  x )  =  ( topGen `  ( fi `  x ) ) )
18 simprr 735 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  -> 
( topGen `  x )  =  J )
1917, 18eqtr3d 2477 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  -> 
( topGen `  ( fi `  x ) )  =  J )
203, 19jca 520 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  -> 
( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  ( fi `  x ) )  =  J ) )
2120eximi 1586 . . . 4  |-  ( E. x ( x  e.  TopBases 
/\  ( x  ~<_  om 
/\  ( topGen `  x
)  =  J ) )  ->  E. x
( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  ( fi `  x ) )  =  J ) )
222, 21sylbi 189 . . 3  |-  ( E. x  e.  TopBases  ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  x )  =  J )  ->  E. x
( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  ( fi `  x ) )  =  J ) )
231, 22sylbi 189 . 2  |-  ( J  e.  2ndc  ->  E. x
( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  ( fi `  x ) )  =  J ) )
24 fibas 17080 . . . . 5  |-  ( fi
`  x )  e.  TopBases
25 simpl 445 . . . . . . 7  |-  ( ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 ( fi `  x ) )  =  J )  ->  x  ~<_  om )
26 vex 2968 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
27 fictb 8163 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  _V  ->  (
x  ~<_  om  <->  ( fi `  x )  ~<_  om )
)
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( x  ~<_  om  <->  ( fi `  x )  ~<_  om )
2925, 28sylib 190 . . . . . 6  |-  ( ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 ( fi `  x ) )  =  J )  ->  ( fi `  x )  ~<_  om )
30 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 ( fi `  x ) )  =  J )  ->  ( topGen `
 ( fi `  x ) )  =  J )
3129, 30jca 520 . . . . 5  |-  ( ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 ( fi `  x ) )  =  J )  ->  (
( fi `  x
)  ~<_  om  /\  ( topGen `
 ( fi `  x ) )  =  J ) )
32 breq1 4246 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( fi `  x )  ->  (
y  ~<_  om  <->  ( fi `  x )  ~<_  om )
)
33 fveq2 5763 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( fi `  x )  ->  ( topGen `
 y )  =  ( topGen `  ( fi `  x ) ) )
3433eqeq1d 2451 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( fi `  x )  ->  (
( topGen `  y )  =  J  <->  ( topGen `  ( fi `  x ) )  =  J ) )
3532, 34anbi12d 693 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( fi `  x )  ->  (
( y  ~<_  om  /\  ( topGen `  y )  =  J )  <->  ( ( fi `  x )  ~<_  om 
/\  ( topGen `  ( fi `  x ) )  =  J ) ) )
3635rspcev 3061 . . . . 5  |-  ( ( ( fi `  x
)  e.  TopBases  /\  (
( fi `  x
)  ~<_  om  /\  ( topGen `
 ( fi `  x ) )  =  J ) )  ->  E. y  e.  TopBases  ( y  ~<_  om  /\  ( topGen `  y )  =  J ) )
3724, 31, 36sylancr 646 . . . 4  |-  ( ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 ( fi `  x ) )  =  J )  ->  E. y  e. 
TopBases  ( y  ~<_  om  /\  ( topGen `  y )  =  J ) )
38 is2ndc 17547 . . . 4  |-  ( J  e.  2ndc  <->  E. y  e.  TopBases  ( y  ~<_  om  /\  ( topGen `
 y )  =  J ) )
3937, 38sylibr 205 . . 3  |-  ( ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 ( fi `  x ) )  =  J )  ->  J  e.  2ndc )
4039exlimiv 1646 . 2  |-  ( E. x ( x  ~<_  om 
/\  ( topGen `  ( fi `  x ) )  =  J )  ->  J  e.  2ndc )
4123, 40impbii 182 1  |-  ( J  e.  2ndc  <->  E. x ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  ( fi `  x
) )  =  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360   E.wex 1551    = wceq 1654    e. wcel 1728   E.wrex 2713   _Vcvv 2965    C_ wss 3309   class class class wbr 4243   omcom 4880   ` cfv 5489    ~<_ cdom 7143   ficfi 7451   topGenctg 13703   Topctop 16996   TopBasesctb 17000   2ndcc2ndc 17539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4351  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-uni 4045  df-int 4080  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-se 4577  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-isom 5498  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-1st 6385  df-2nd 6386  df-riota 6585  df-recs 6669  df-rdg 6704  df-1o 6760  df-2o 6761  df-oadd 6764  df-er 6941  df-map 7056  df-en 7146  df-dom 7147  df-sdom 7148  df-fin 7149  df-fi 7452  df-card 7864  df-acn 7867  df-cda 8086  df-topgen 13705  df-top 17001  df-bases 17003  df-2ndc 17541
  Copyright terms: Public domain W3C validator