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Theorem 2ndmbfm 24611
Description: The second projection map is measurable with regard to the product sigma algebra (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
1stmbfm.1  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
1stmbfm.2  |-  ( ph  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
Assertion
Ref Expression
2ndmbfm  |-  ( ph  ->  ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  ( ( S ×s  T )MblFnM T ) )

Proof of Theorem 2ndmbfm
Dummy variables  z 
a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f2ndres 6369 . . . 4  |-  ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) : ( U. S  X.  U. T ) --> U. T
2 1stmbfm.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
3 1stmbfm.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
4 sxuni 24547 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  T  e.  U. ran sigAlgebra )  -> 
( U. S  X.  U. T )  =  U. ( S ×s  T ) )
52, 3, 4syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U. S  X.  U. T )  =  U. ( S ×s  T ) )
65feq2d 5581 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) : ( U. S  X.  U. T ) --> U. T  <->  ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) : U. ( S ×s  T ) --> U. T
) )
71, 6mpbii 203 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) : U. ( S ×s  T ) --> U. T
)
8 unielsiga 24511 . . . . 5  |-  ( T  e.  U. ran sigAlgebra  ->  U. T  e.  T )
93, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. T  e.  T
)
10 sxsiga 24545 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  T  e.  U. ran sigAlgebra )  -> 
( S ×s  T )  e.  U. ran sigAlgebra )
112, 3, 10syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S ×s  T )  e.  U. ran sigAlgebra )
12 unielsiga 24511 . . . . 5  |-  ( ( S ×s  T )  e.  U. ran sigAlgebra 
->  U. ( S ×s  T )  e.  ( S ×s  T ) )
1311, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. ( S ×s  T )  e.  ( S ×s  T ) )
14 elmapg 7031 . . . 4  |-  ( ( U. T  e.  T  /\  U. ( S ×s  T )  e.  ( S ×s  T ) )  ->  ( ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) )  e.  ( U. T  ^m  U. ( S ×s  T ) )  <->  ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) : U. ( S ×s  T ) --> U. T
) )
159, 13, 14syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  ( U. T  ^m  U. ( S ×s  T ) )  <->  ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) : U. ( S ×s  T ) --> U. T ) )
167, 15mpbird 224 . 2  |-  ( ph  ->  ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  ( U. T  ^m  U. ( S ×s  T ) ) )
17 sgon 24507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  U. ran sigAlgebra  ->  T  e.  (sigAlgebra `  U. T ) )
183, 17syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  e.  (sigAlgebra `  U. T ) )
19 sigasspw 24499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  (sigAlgebra `  U. T )  ->  T  C_  ~P U. T )
20 pwssb 4177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T 
C_  ~P U. T  <->  A. a  e.  T  a  C_  U. T )
2120biimpi 187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T 
C_  ~P U. T  ->  A. a  e.  T  a  C_  U. T )
2218, 19, 213syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. a  e.  T  a  C_  U. T )
2322r19.21bi 2804 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  a  C_ 
U. T )
24 xpss2 4985 . . . . . . . . 9  |-  ( a 
C_  U. T  ->  ( U. S  X.  a
)  C_  ( U. S  X.  U. T ) )
2523, 24syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  ( U. S  X.  a
)  C_  ( U. S  X.  U. T ) )
2625sseld 3347 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  (
z  e.  ( U. S  X.  a )  -> 
z  e.  ( U. S  X.  U. T ) ) )
2726pm4.71rd 617 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  (
z  e.  ( U. S  X.  a )  <->  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  z  e.  ( U. S  X.  a ) ) ) )
28 ffn 5591 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) : ( U. S  X.  U. T ) --> U. T  ->  ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) )  Fn  ( U. S  X.  U. T ) )
29 elpreima 5850 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) )  Fn  ( U. S  X.  U. T )  ->  ( z  e.  ( `' ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) "
a )  <->  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  (
( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) `  z )  e.  a ) ) )
301, 28, 29mp2b 10 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( `' ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) " a )  <-> 
( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  (
( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) `  z )  e.  a ) )
31 fvres 5745 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
( ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) `  z
)  =  ( 2nd `  z ) )
3231eleq1d 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
( ( ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) `  z )  e.  a  <-> 
( 2nd `  z
)  e.  a ) )
33 1st2nd2 6386 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >. )
34 xp1st 6376 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
( 1st `  z
)  e.  U. S
)
35 elxp6 6378 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  a )  <->  ( z  =  <. ( 1st `  z
) ,  ( 2nd `  z ) >.  /\  (
( 1st `  z
)  e.  U. S  /\  ( 2nd `  z
)  e.  a ) ) )
36 anass 631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >.  /\  ( 1st `  z )  e.  U. S )  /\  ( 2nd `  z )  e.  a )  <->  ( z  =  <. ( 1st `  z
) ,  ( 2nd `  z ) >.  /\  (
( 1st `  z
)  e.  U. S  /\  ( 2nd `  z
)  e.  a ) ) )
3735, 36bitr4i 244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  a )  <->  ( (
z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >.  /\  ( 1st `  z )  e.  U. S )  /\  ( 2nd `  z )  e.  a ) )
3837baib 872 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >.  /\  ( 1st `  z )  e.  U. S )  ->  (
z  e.  ( U. S  X.  a )  <->  ( 2nd `  z )  e.  a ) )
3933, 34, 38syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
( z  e.  ( U. S  X.  a
)  <->  ( 2nd `  z
)  e.  a ) )
4032, 39bitr4d 248 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
( ( ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) `  z )  e.  a  <-> 
z  e.  ( U. S  X.  a ) ) )
4140pm5.32i 619 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  ( ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) `  z )  e.  a )  <->  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  z  e.  ( U. S  X.  a ) ) )
4230, 41bitri 241 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( `' ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) " a )  <-> 
( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  z  e.  ( U. S  X.  a ) ) )
4327, 42syl6rbbr 256 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  (
z  e.  ( `' ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) " a
)  <->  z  e.  ( U. S  X.  a
) ) )
4443eqrdv 2434 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  ( `' ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) " a
)  =  ( U. S  X.  a ) )
452adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
463adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
47 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  U. S  =  U. S
48 issgon 24506 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  (sigAlgebra `  U. S )  <-> 
( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  U. S  =  U. S ) )
4948biimpri 198 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  U. S  =  U. S
)  ->  S  e.  (sigAlgebra `
 U. S ) )
502, 47, 49sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  (sigAlgebra `  U. S ) )
51 baselsiga 24498 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  (sigAlgebra `  U. S )  ->  U. S  e.  S
)
5250, 51syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. S  e.  S
)
5352adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  U. S  e.  S )
54 simpr 448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  a  e.  T )
55 elsx 24548 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  T  e.  U. ran sigAlgebra )  /\  ( U. S  e.  S  /\  a  e.  T ) )  -> 
( U. S  X.  a )  e.  ( S ×s  T ) )
5645, 46, 53, 54, 55syl22anc 1185 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  ( U. S  X.  a
)  e.  ( S ×s  T ) )
5744, 56eqeltrd 2510 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  ( `' ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) " a
)  e.  ( S ×s  T ) )
5857ralrimiva 2789 . 2  |-  ( ph  ->  A. a  e.  T  ( `' ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) " a
)  e.  ( S ×s  T ) )
5911, 3ismbfm 24602 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  ( ( S ×s  T )MblFnM T )  <-> 
( ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  ( U. T  ^m  U. ( S ×s  T ) )  /\  A. a  e.  T  ( `' ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) " a
)  e.  ( S ×s  T ) ) ) )
6016, 58, 59mpbir2and 889 1  |-  ( ph  ->  ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  ( ( S ×s  T )MblFnM T ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705    C_ wss 3320   ~Pcpw 3799   <.cop 3817   U.cuni 4015    X. cxp 4876   `'ccnv 4877   ran crn 4879    |` cres 4880   "cima 4881    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   1stc1st 6347   2ndc2nd 6348    ^m cmap 7018  sigAlgebracsiga 24490   ×s csx 24542  MblFnMcmbfm 24600
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-map 7020  df-siga 24491  df-sigagen 24522  df-sx 24543  df-mbfm 24601
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