Theorem 2ndval2 4074

Description: Alternate value of the function that extracts the second member of an ordered pair. Definition 5.13 (ii) of [Monk1] p. 52.

Assertion

Ref	Expression
2ndval2	|- (A e. (V X. V) -> (2nd` A) = |^||^||^|`'{A})

Proof of Theorem 2ndval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elvv 3218	. 2 |- (A e. (V X. V) <-> E.xE.y A = <.x, y>.)
2		visset 1804	. . . . . 6 |- x e. V
3		visset 1804	. . . . . 6 |- y e. V
4	2, 3	op2nd 4070	. . . . 5 |- (2nd` <.x, y>.) = y
5	2, 3	op2ndb 3437	. . . . 5 |- |^||^||^|`'{<.x, y>.} = y
6	4, 5	eqtr4 1490	. . . 4 |- (2nd` <.x, y>.) = |^||^||^|`'{<.x, y>.}
7		fveq2 3709	. . . 4 |- (A = <.x, y>. -> (2nd` A) = (2nd` <.x, y>.))
8		sneq 2407	. . . . . . . 8 |- (A = <.x, y>. -> {A} = {<.x, y>.})
9		cnveq 3281	. . . . . . . 8 |- ({A} = {<.x, y>.} -> `'{A} = `'{<.x, y>.})
10	8, 9	syl 10	. . . . . . 7 |- (A = <.x, y>. -> `'{A} = `'{<.x, y>.})
11	10	inteqd 2528	. . . . . 6 |- (A = <.x, y>. -> |^|`'{A} = |^|`'{<.x, y>.})
12	11	inteqd 2528	. . . . 5 |- (A = <.x, y>. -> |^||^|`'{A} = |^||^|`'{<.x, y>.})
13	12	inteqd 2528	. . . 4 |- (A = <.x, y>. -> |^||^||^|`'{A} = |^||^||^|`'{<.x, y>.})
14	6, 7, 13	3eqtr4a 1524	. . 3 |- (A = <.x, y>. -> (2nd` A) = |^||^||^|`'{A})
15	14	19.23aivv 1291	. 2 |- (E.xE.y A = <.x, y>. -> (2nd` A) = |^||^||^|`'{A})
16	1, 15	sylbi 199	1 |- (A e. (V X. V) -> (2nd` A) = |^||^||^|`'{A})

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977  Vcvv 1802  {csn 2399  <.cop 2401  |^|cint 2523   X. cxp 3158  `'ccnv 3159  ` cfv 3172  2ndc2nd 4062

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fv 3188  df-2nd 4064

Copyright terms: Public domain