MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2nn Unicode version

Theorem 2nn 9893
Description: 2 is a natural number. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.)
Assertion
Ref Expression
2nn  |-  2  e.  NN

Proof of Theorem 2nn
StepHypRef Expression
1 df-2 9820 . 2  |-  2  =  ( 1  +  1 )
2 1nn 9773 . . 3  |-  1  e.  NN
3 peano2nn 9774 . . 3  |-  ( 1  e.  NN  ->  (
1  +  1 )  e.  NN )
42, 3ax-mp 8 . 2  |-  ( 1  +  1 )  e.  NN
51, 4eqeltri 2366 1  |-  2  e.  NN
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1696  (class class class)co 5874   1c1 8754    + caddc 8756   NNcn 9762   2c2 9811
This theorem is referenced by:  3nn  9894  2nn0  9998  2z  10070  sqeq0  11184  expmulnbnd  11249  sqeq0d  11260  faclbnd5  11327  bcn2  11347  climcndslem1  12324  climcndslem2  12325  climcnds  12326  harmonic  12333  geo2sum  12345  geo2lim  12347  efcllem  12375  ege2le3  12387  ef01bndlem  12480  egt2lt3  12500  nthruc  12545  bits0o  12637  bitsp1  12638  bitsfzolem  12641  bitsfzo  12642  bitsmod  12643  bitsfi  12644  bitscmp  12645  bitsinv1lem  12648  bitsinv1  12649  2ebits  12654  bitsinvp1  12656  sadcaddlem  12664  sadadd3  12668  sadaddlem  12673  sadasslem  12677  bitsres  12680  bitsuz  12681  bitsshft  12682  smumullem  12699  smumul  12700  sqgcd  12753  isprm3  12783  3prm  12791  pythagtriplem4  12888  iserodd  12904  prmreclem3  12981  prmreclem5  12983  prmreclem6  12984  4sqlem12  13019  vdwlem3  13046  vdwlem9  13052  vdwlem10  13053  dec2dvds  13094  dec5nprm  13097  dec2nprm  13098  2expltfac  13121  4nprm  13122  5prm  13126  6nprm  13127  7prm  13128  8nprm  13129  10nprm  13131  11prm  13132  17prm  13134  23prm  13136  37prm  13138  43prm  13139  83prm  13140  139prm  13141  163prm  13142  317prm  13143  631prm  13144  1259lem1  13145  1259lem2  13146  1259lem3  13147  1259lem4  13148  1259lem5  13149  1259prm  13150  2503lem1  13151  2503lem2  13152  2503lem3  13153  2503prm  13154  4001lem1  13155  4001lem2  13156  4001lem3  13157  4001lem4  13158  4001prm  13159  plusgndx  13258  plusgid  13259  grpstr  13263  grpbase  13264  grpplusg  13265  ressplusg  13266  rngstr  13271  lmodstr  13288  topgrpstr  13311  dsndx  13325  dsid  13326  odrngstr  13327  ressds  13334  imasvalstr  13368  lt6abl  15197  mgpds  15351  oppradd  15428  sraaddg  15948  srads  15954  opsrplusg  16237  cnfldstr  16395  zlmplusg  16489  znadd  16510  tmslem  18044  tngplusg  18174  ovollb2lem  18863  ovolunlem1a  18871  ovolunlem1  18872  ovoliunlem1  18877  ovoliunlem3  18879  dyadf  18962  dyadovol  18964  dyadss  18965  dyaddisjlem  18966  dyadmaxlem  18968  opnmbllem  18972  mbfi1fseqlem1  19086  mbfi1fseqlem3  19088  mbfi1fseqlem4  19089  mbfi1fseqlem5  19090  mbfi1fseqlem6  19091  dveflem  19342  aaliou3lem9  19746  dcubic1lem  20155  dcubic2  20156  mcubic  20159  quartlem1  20169  quartlem2  20170  basellem1  20334  basellem2  20335  basellem3  20336  basellem4  20337  basellem5  20338  basellem6  20339  basellem7  20340  basellem8  20341  basellem9  20342  ppiltx  20431  prmorcht  20432  1sgm2ppw  20455  ppiublem1  20457  ppiub  20459  chtlepsi  20461  chtublem  20466  chpub  20475  mersenne  20482  perfect1  20483  perfectlem1  20484  perfectlem2  20485  perfect  20486  pcbcctr  20531  bclbnd  20535  bposlem1  20539  bposlem2  20540  bposlem3  20541  bposlem4  20542  bposlem5  20543  bposlem6  20544  bposlem8  20546  lgsdir2lem2  20579  lgsqr  20601  lgseisenlem1  20604  lgseisenlem2  20605  lgseisenlem3  20606  lgseisenlem4  20607  lgsquadlem1  20609  lgsquadlem2  20610  lgsquad2lem2  20614  2sqlem3  20621  2sqlem8  20627  chebbnd1lem1  20634  chebbnd1lem3  20636  chtppilimlem1  20638  logdivsum  20698  log2sumbnd  20709  pntlemd  20759  pntlema  20761  pntlemb  20762  pntlemf  20770  pntlemo  20772  ostth2lem1  20783  ex-xp  20839  ex-cnv  20840  ex-rn  20843  ex-ima  20845  ballotlem2  23063  zetacvg  23704  eupath2lem3  23918  konigsberg  23926  axlowdimlem5  24646  axlowdimlem6  24647  axlowdimlem16  24657  axlowdimlem17  24658  axlowdim  24661  dvreasin  25026  areacirclem2  25028  areacirclem3  25029  fnckle  26148  pgapspf2  26156  heiborlem3  26640  heiborlem5  26642  heiborlem6  26643  heiborlem7  26644  heiborlem8  26645  heibor  26648  rabren3dioph  27001  rmxypos  27137  ltrmynn0  27138  jm2.17a  27150  jm2.17b  27151  jm2.17c  27152  acongrep  27170  acongeq  27173  jm2.23  27192  jm2.27a  27201  jm2.27c  27203  rmydioph  27210  rmxdioph  27212  expdiophlem2  27218  expdioph  27219  frlmpwfi  27365  psgnunilem2  27521  lhe4.4ex1a  27649  wallispilem5  27921  wallispi2lem1  27923  wallispi2  27925  stirlinglem3  27928  stirlinglem8  27933  stirlinglem10  27935  stirlinglem15  27940  f1oun2prg  28187  usgraexmpl  28267  usgrcyclnl2  28387  hlhilsplus  32755
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-1cn 8811
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-nn 9763  df-2 9820
  Copyright terms: Public domain W3C validator