Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2oppccomf Unicode version

Theorem 2oppccomf 13644
 Description: The double opposite category has the same composition as the original category. Intended for use with property lemmas such as monpropd 13656. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
oppcbas.1 oppCat
Assertion
Ref Expression
2oppccomf compf compfoppCat

Proof of Theorem 2oppccomf
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oppcbas.1 . . . . . . . . 9 oppCat
2 eqid 2296 . . . . . . . . 9
31, 2oppcbas 13637 . . . . . . . 8
4 eqid 2296 . . . . . . . 8 comp comp
5 eqid 2296 . . . . . . . 8 oppCat oppCat
6 simpr1 961 . . . . . . . 8
7 simpr2 962 . . . . . . . 8
8 simpr3 963 . . . . . . . 8
93, 4, 5, 6, 7, 8oppcco 13636 . . . . . . 7 compoppCat comp
10 eqid 2296 . . . . . . . 8 comp comp
112, 10, 1, 8, 7, 6oppcco 13636 . . . . . . 7 comp comp
129, 11eqtr2d 2329 . . . . . 6 comp compoppCat
1312ralrimivw 2640 . . . . 5 comp compoppCat
1413ralrimivw 2640 . . . 4 comp compoppCat
1514ralrimivvva 2649 . . 3 comp compoppCat
16 eqid 2296 . . . 4 compoppCat compoppCat
17 eqid 2296 . . . 4
18 eqidd 2297 . . . 4
191, 22oppcbas 13642 . . . . 5 oppCat
2019a1i 10 . . . 4 oppCat
2112oppchomf 13643 . . . . 5 f f oppCat
2221a1i 10 . . . 4 f f oppCat
2310, 16, 17, 18, 20, 22comfeq 13625 . . 3 compf compfoppCat comp compoppCat
2415, 23mpbird 223 . 2 compf compfoppCat
2524trud 1314 1 compf compfoppCat
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wa 358   w3a 934   wtru 1307   wceq 1632   wcel 1696  wral 2556  cop 3656  cfv 5271  (class class class)co 5874  cbs 13164   chom 13235  compcco 13236   f chomf 13584  compfccomf 13585  oppCatcoppc 13630 This theorem is referenced by:  oppcepi  13658  oppchofcl  14050  oppcyon  14059  oyoncl  14060 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-hom 13248  df-cco 13249  df-homf 13588  df-comf 13589  df-oppc 13631
 Copyright terms: Public domain W3C validator