Theorem 2optocl 3236

Description: Implicit substitution of classes for ordered pairs.

Hypotheses

Ref	Expression
2optocl.1	|- R = (C X. D)
2optocl.2	|- (<.x, y>. = A -> (ph <-> ps))
2optocl.3	|- (<.z, w>. = B -> (ps <-> ch))
2optocl.4	|- (((x e. C /\ y e. D) /\ (z e. C /\ w e. D)) -> ph)

Assertion

Ref	Expression
2optocl	|- ((A e. R /\ B e. R) -> ch)

Distinct variable groups:   x,y,z,w,A   z,B,w   x,C,y,z,w   x,D,y,z,w   ps,x,y   ch,z,w   z,R,w

Proof of Theorem 2optocl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2optocl.1	. . 3 |- R = (C X. D)
2		2optocl.3	. . . 4 |- (<.z, w>. = B -> (ps <-> ch))
3	2	imbi2d 612	. . 3 |- (<.z, w>. = B -> ((A e. R -> ps) <-> (A e. R -> ch)))
4		2optocl.2	. . . . . 6 |- (<.x, y>. = A -> (ph <-> ps))
5	4	imbi2d 612	. . . . 5 |- (<.x, y>. = A -> (((z e. C /\ w e. D) -> ph) <-> ((z e. C /\ w e. D) -> ps)))
6		2optocl.4	. . . . . 6 |- (((x e. C /\ y e. D) /\ (z e. C /\ w e. D)) -> ph)
7	6	ex 373	. . . . 5 |- ((x e. C /\ y e. D) -> ((z e. C /\ w e. D) -> ph))
8	1, 5, 7	optocl 3235	. . . 4 |- (A e. R -> ((z e. C /\ w e. D) -> ps))
9	8	com12 11	. . 3 |- ((z e. C /\ w e. D) -> (A e. R -> ps))
10	1, 3, 9	optocl 3235	. 2 |- (B e. R -> (A e. R -> ch))
11	10	impcom 351	1 |- ((A e. R /\ B e. R) -> ch)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  <.cop 2411   X. cxp 3168

This theorem is referenced by:  3optocl 3237  ecopoprsym 4310  th3qlem2 4315  axaddopr 5265  axmulopr 5266

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-opab 2667  df-xp 3184

Copyright terms: Public domain