Theorem 2pwuninel 4487

Description: The power set of the power set of the union of a set does not belong to the set. This theorem provides a way of constructing a new set that doesn't belong to a given set.

Assertion

Ref	Expression
2pwuninel	|- -. P~P~U.A e. A

Proof of Theorem 2pwuninel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomirr 4472	. . 3 |- -. P~P~U.A ~< P~P~U.A
2		ssdom2g 4409	. . . . 5 |- (U.A e. V -> (P~P~U.A (_ U.A -> P~P~U.A ~<_ U.A))
3		domsdomtr 4476	. . . . . . 7 |- ((P~P~U.A ~<_ U.A /\ U.A ~< P~P~U.A) -> P~P~U.A ~< P~P~U.A)
4	3	ex 373	. . . . . 6 |- (P~P~U.A ~<_ U.A -> (U.A ~< P~P~U.A -> P~P~U.A ~< P~P~U.A))
5		sdomtr 4474	. . . . . . 7 |- ((U.A ~< P~U.A /\ P~U.A ~< P~P~U.A) -> U.A ~< P~P~U.A)
6		canth2g 4485	. . . . . . 7 |- (U.A e. V -> U.A ~< P~U.A)
7		pwexb 2908	. . . . . . . 8 |- (U.A e. V <-> P~U.A e. V)
8		canth2g 4485	. . . . . . . 8 |- (P~U.A e. V -> P~U.A ~< P~P~U.A)
9	7, 8	sylbi 199	. . . . . . 7 |- (U.A e. V -> P~U.A ~< P~P~U.A)
10	5, 6, 9	sylanc 471	. . . . . 6 |- (U.A e. V -> U.A ~< P~P~U.A)
11	4, 10	syl5com 52	. . . . 5 |- (U.A e. V -> (P~P~U.A ~<_ U.A -> P~P~U.A ~< P~P~U.A))
12	2, 11	syld 27	. . . 4 |- (U.A e. V -> (P~P~U.A (_ U.A -> P~P~U.A ~< P~P~U.A))
13		elssuni 2526	. . . 4 |- (P~P~U.A e. A -> P~P~U.A (_ U.A)
14	12, 13	syl5 21	. . 3 |- (U.A e. V -> (P~P~U.A e. A -> P~P~U.A ~< P~P~U.A))
15	1, 14	mtoi 107	. 2 |- (U.A e. V -> -. P~P~U.A e. A)
16		elisset 1817	. . . 4 |- (P~P~U.A e. A -> P~P~U.A e. V)
17		pwexb 2908	. . . . 5 |- (P~U.A e. V <-> P~P~U.A e. V)
18	7, 17	bitr 173	. . . 4 |- (U.A e. V <-> P~P~U.A e. V)
19	16, 18	sylibr 200	. . 3 |- (P~P~U.A e. A -> U.A e. V)
20	19	con3i 98	. 2 |- (-. U.A e. V -> -. P~P~U.A e. A)
21	15, 20	pm2.61i 126	1 |- -. P~P~U.A e. A

Syntax hints:  -. wn 2   e. wcel 958  Vcvv 1811   (_ wss 2047  P~cpw 2401  U.cuni 2503   class class class wbr 2619   ~<_ cdom 4365   ~< csdm 4366

This theorem is referenced by:  mnfnre 5497

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-er 4261  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370

Copyright terms: Public domain