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Theorem 2pwuninel 7264
Description: The power set of the power set of the union of a set does not belong to the set. This theorem provides a way of constructing a new set that doesn't belong to a given set. (Contributed by NM, 27-Jun-2008.)
Assertion
Ref Expression
2pwuninel  |-  -.  ~P ~P U. A  e.  A

Proof of Theorem 2pwuninel
StepHypRef Expression
1 sdomirr 7246 . . 3  |-  -.  ~P ~P U. A  ~<  ~P ~P U. A
2 elssuni 4045 . . . 4  |-  ( ~P ~P U. A  e.  A  ->  ~P ~P U. A  C_  U. A )
3 ssdomg 7155 . . . . 5  |-  ( U. A  e.  _V  ->  ( ~P ~P U. A  C_ 
U. A  ->  ~P ~P U. A  ~<_  U. A
) )
4 canth2g 7263 . . . . . . 7  |-  ( U. A  e.  _V  ->  U. A  ~<  ~P U. A
)
5 pwexb 4755 . . . . . . . 8  |-  ( U. A  e.  _V  <->  ~P U. A  e.  _V )
6 canth2g 7263 . . . . . . . 8  |-  ( ~P
U. A  e.  _V  ->  ~P U. A  ~<  ~P ~P U. A )
75, 6sylbi 189 . . . . . . 7  |-  ( U. A  e.  _V  ->  ~P
U. A  ~<  ~P ~P U. A )
8 sdomtr 7247 . . . . . . 7  |-  ( ( U. A  ~<  ~P U. A  /\  ~P U. A  ~<  ~P ~P U. A
)  ->  U. A  ~<  ~P ~P U. A )
94, 7, 8syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( U. A  e.  _V  ->  U. A  ~<  ~P ~P U. A )
10 domsdomtr 7244 . . . . . . 7  |-  ( ( ~P ~P U. A  ~<_  U. A  /\  U. A  ~<  ~P ~P U. A
)  ->  ~P ~P U. A  ~<  ~P ~P U. A )
1110ex 425 . . . . . 6  |-  ( ~P ~P U. A  ~<_  U. A  ->  ( U. A  ~<  ~P ~P U. A  ->  ~P ~P U. A  ~<  ~P ~P U. A ) )
129, 11syl5com 29 . . . . 5  |-  ( U. A  e.  _V  ->  ( ~P ~P U. A  ~<_  U. A  ->  ~P ~P U. A  ~<  ~P ~P U. A ) )
133, 12syld 43 . . . 4  |-  ( U. A  e.  _V  ->  ( ~P ~P U. A  C_ 
U. A  ->  ~P ~P U. A  ~<  ~P ~P U. A ) )
142, 13syl5 31 . . 3  |-  ( U. A  e.  _V  ->  ( ~P ~P U. A  e.  A  ->  ~P ~P U. A  ~<  ~P ~P U. A ) )
151, 14mtoi 172 . 2  |-  ( U. A  e.  _V  ->  -. 
~P ~P U. A  e.  A )
16 elex 2966 . . . 4  |-  ( ~P ~P U. A  e.  A  ->  ~P ~P U. A  e.  _V )
17 pwexb 4755 . . . . 5  |-  ( ~P
U. A  e.  _V  <->  ~P ~P U. A  e. 
_V )
185, 17bitri 242 . . . 4  |-  ( U. A  e.  _V  <->  ~P ~P U. A  e.  _V )
1916, 18sylibr 205 . . 3  |-  ( ~P ~P U. A  e.  A  ->  U. A  e. 
_V )
2019con3i 130 . 2  |-  ( -. 
U. A  e.  _V  ->  -.  ~P ~P U. A  e.  A )
2115, 20pm2.61i 159 1  |-  -.  ~P ~P U. A  e.  A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   ~Pcpw 3801   U.cuni 4017   class class class wbr 4214    ~<_ cdom 7109    ~< csdm 7110
This theorem is referenced by:  mnfnre  9130
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114
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