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Theorem 2reu1 27921
Description: Double restricted existential uniqueness. This theorem shows a condition under which a "naive" definition matches the correct one, analogous to 2eu1 2360. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
2reu1  |-  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  ->  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  <->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    B( y)

Proof of Theorem 2reu1
StepHypRef Expression
1 2reu5a 27912 . . . . . . 7  |-  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  <->  ( E. x  e.  A  ( E. y  e.  B  ph 
/\  E* y  e.  B ph )  /\  E* x  e.  A ( E. y  e.  B  ph  /\  E* y  e.  B ph ) ) )
21simprbi 451 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  ->  E* x  e.  A ( E. y  e.  B  ph 
/\  E* y  e.  B ph ) )
3 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  /\  E. y  e.  B  ph ) )  ->  E. y  e.  B  ph )
4 rsp 2758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  ->  ( x  e.  A  ->  E* y  e.  B ph ) )
54adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  /\  E. y  e.  B  ph )  -> 
( x  e.  A  ->  E* y  e.  B ph ) )
65impcom 420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  /\  E. y  e.  B  ph ) )  ->  E* y  e.  B ph )
73, 6jca 519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  /\  E. y  e.  B  ph ) )  ->  ( E. y  e.  B  ph  /\  E* y  e.  B ph ) )
87ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  (
( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  /\  E. y  e.  B  ph )  ->  ( E. y  e.  B  ph  /\  E* y  e.  B ph ) ) )
98rmoimia 3126 . . . . . . . . 9  |-  ( E* x  e.  A ( E. y  e.  B  ph 
/\  E* y  e.  B ph )  ->  E* x  e.  A ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  /\  E. y  e.  B  ph )
)
10 nfra1 2748 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x A. x  e.  A  E* y  e.  B ph
1110rmoanim 27914 . . . . . . . . 9  |-  ( E* x  e.  A ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  /\  E. y  e.  B  ph )  <->  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  ->  E* x  e.  A E. y  e.  B  ph ) )
129, 11sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( E* x  e.  A ( E. y  e.  B  ph 
/\  E* y  e.  B ph )  ->  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  ->  E* x  e.  A E. y  e.  B  ph ) )
1312ancrd 538 . . . . . . 7  |-  ( E* x  e.  A ( E. y  e.  B  ph 
/\  E* y  e.  B ph )  ->  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  ->  ( E* x  e.  A E. y  e.  B  ph  /\  A. x  e.  A  E* y  e.  B ph ) ) )
14 2rmoswap 27919 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  ->  ( E* x  e.  A E. y  e.  B  ph  ->  E* y  e.  B E. x  e.  A  ph )
)
1514com12 29 . . . . . . . 8  |-  ( E* x  e.  A E. y  e.  B  ph  ->  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  ->  E* y  e.  B E. x  e.  A  ph ) )
1615imdistani 672 . . . . . . 7  |-  ( ( E* x  e.  A E. y  e.  B  ph 
/\  A. x  e.  A  E* y  e.  B ph )  ->  ( E* x  e.  A E. y  e.  B  ph  /\  E* y  e.  B E. x  e.  A  ph ) )
1713, 16syl6 31 . . . . . 6  |-  ( E* x  e.  A ( E. y  e.  B  ph 
/\  E* y  e.  B ph )  ->  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  ->  ( E* x  e.  A E. y  e.  B  ph  /\  E* y  e.  B E. x  e.  A  ph )
) )
182, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  ->  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  ->  ( E* x  e.  A E. y  e.  B  ph  /\  E* y  e.  B E. x  e.  A  ph )
) )
19 2reu2rex 27918 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )
20 rexcom 2861 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph )
2119, 20sylib 189 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  ->  E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph )
2219, 21jca 519 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  ->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph ) )
2318, 22jctild 528 . . . 4  |-  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  ->  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  ->  ( ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph )  /\  ( E* x  e.  A E. y  e.  B  ph  /\  E* y  e.  B E. x  e.  A  ph )
) ) )
24 reu5 2913 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E* x  e.  A E. y  e.  B  ph ) )
25 reu5 2913 . . . . . 6  |-  ( E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph  <->  ( E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph  /\  E* y  e.  B E. x  e.  A  ph ) )
2624, 25anbi12i 679 . . . . 5  |-  ( ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )  <->  ( ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E* x  e.  A E. y  e.  B  ph )  /\  ( E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph  /\  E* y  e.  B E. x  e.  A  ph ) ) )
27 an4 798 . . . . 5  |-  ( ( ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E* x  e.  A E. y  e.  B  ph )  /\  ( E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph  /\  E* y  e.  B E. x  e.  A  ph )
)  <->  ( ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph )  /\  ( E* x  e.  A E. y  e.  B  ph  /\  E* y  e.  B E. x  e.  A  ph )
) )
2826, 27bitri 241 . . . 4  |-  ( ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )  <->  ( ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph )  /\  ( E* x  e.  A E. y  e.  B  ph  /\  E* y  e.  B E. x  e.  A  ph ) ) )
2923, 28syl6ibr 219 . . 3  |-  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  ->  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )
) )
3029com12 29 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  ->  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph ) ) )
31 2rexreu 27920 . 2  |-  ( ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )  ->  E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph )
3230, 31impbid1 195 1  |-  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  ->  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  <->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   E!wreu 2699   E*wrmo 2700
This theorem is referenced by:  2reu2  27922  2reu3  27923
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705
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