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Theorem 2reu4 28071
Description: Definition of double restricted existential uniqueness ("exactly one  x and exactly one  y"), analogous to 2eu4 2239. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
2reu4  |-  ( ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )  <->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E. z  e.  A  E. w  e.  B  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) )
Distinct variable groups:    z, w, ph    x, w, y, A, z   
w, B, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem 2reu4
StepHypRef Expression
1 reurex 2767 . . . 4  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )
2 rexn0 3569 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  A  =/=  (/) )
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  A  =/=  (/) )
4 reurex 2767 . . . 4  |-  ( E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph  ->  E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph )
5 rexn0 3569 . . . 4  |-  ( E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph  ->  B  =/=  (/) )
64, 5syl 15 . . 3  |-  ( E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph  ->  B  =/=  (/) )
73, 6anim12i 549 . 2  |-  ( ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )  -> 
( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) ) )
8 ne0i 3474 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  A  =/=  (/) )
9 ne0i 3474 . . . . . 6  |-  ( y  e.  B  ->  B  =/=  (/) )
108, 9anim12i 549 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) ) )
1110a1d 22 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( ph  ->  ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) ) ) )
1211rexlimivv 2685 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) ) )
1312adantr 451 . 2  |-  ( ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E. z  e.  A  E. w  e.  B  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) )  ->  ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) ) )
14 2reu4a 28070 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  ->  (
( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )  <->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E. z  e.  A  E. w  e.  B  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) ) )
157, 13, 14pm5.21nii 342 1  |-  ( ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )  <->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E. z  e.  A  E. w  e.  B  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   E!wreu 2558   (/)c0 3468
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-v 2803  df-dif 3168  df-nul 3469
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