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Theorem 2reu4a 27943
Description: Definition of double restricted existential uniqueness ("exactly one  x and exactly one  y"), analogous to 2eu4 2364 with the additional requirement that the restricting classes are not empty (which is not necessary as shown in 2reu4 27944). (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
2reu4a  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  ->  (
( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )  <->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E. z  e.  A  E. w  e.  B  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    z, w, ph    x, w, y, A, z   
w, B, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem 2reu4a
StepHypRef Expression
1 reu3 3124 . . . 4  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E. z  e.  A  A. x  e.  A  ( E. y  e.  B  ph 
->  x  =  z
) ) )
2 reu3 3124 . . . 4  |-  ( E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph  <->  ( E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph  /\  E. w  e.  B  A. y  e.  B  ( E. x  e.  A  ph 
->  y  =  w
) ) )
31, 2anbi12i 679 . . 3  |-  ( ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )  <->  ( ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E. z  e.  A  A. x  e.  A  ( E. y  e.  B  ph 
->  x  =  z
) )  /\  ( E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph 
/\  E. w  e.  B  A. y  e.  B  ( E. x  e.  A  ph 
->  y  =  w
) ) ) )
43a1i 11 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  ->  (
( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )  <->  ( ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E. z  e.  A  A. x  e.  A  ( E. y  e.  B  ph 
->  x  =  z
) )  /\  ( E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph 
/\  E. w  e.  B  A. y  e.  B  ( E. x  e.  A  ph 
->  y  =  w
) ) ) ) )
5 an4 798 . . 3  |-  ( ( ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E. z  e.  A  A. x  e.  A  ( E. y  e.  B  ph 
->  x  =  z
) )  /\  ( E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph 
/\  E. w  e.  B  A. y  e.  B  ( E. x  e.  A  ph 
->  y  =  w
) ) )  <->  ( ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph )  /\  ( E. z  e.  A  A. x  e.  A  ( E. y  e.  B  ph 
->  x  =  z
)  /\  E. w  e.  B  A. y  e.  B  ( E. x  e.  A  ph  ->  y  =  w ) ) ) )
65a1i 11 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  ->  (
( ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E. z  e.  A  A. x  e.  A  ( E. y  e.  B  ph 
->  x  =  z
) )  /\  ( E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph 
/\  E. w  e.  B  A. y  e.  B  ( E. x  e.  A  ph 
->  y  =  w
) ) )  <->  ( ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph )  /\  ( E. z  e.  A  A. x  e.  A  ( E. y  e.  B  ph 
->  x  =  z
)  /\  E. w  e.  B  A. y  e.  B  ( E. x  e.  A  ph  ->  y  =  w ) ) ) ) )
7 rexcom 2869 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )
87anbi2i 676 . . . . 5  |-  ( ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph )  <->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )
)
9 anidm 626 . . . . 5  |-  ( ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )
108, 9bitri 241 . . . 4  |-  ( ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph )  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )
1110a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  ->  (
( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph )  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )
)
12 r19.26 2838 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  z )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  y  =  w ) )  <->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  z )  /\  A. x  e.  A  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  y  =  w ) ) )
13 nfra1 2756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  y  =  w )
1413r19.3rz 3719 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  y  =  w )  <->  A. x  e.  A  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  y  =  w ) ) )
1514bicomd 193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  A  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  y  =  w )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  y  =  w ) ) )
1615adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  ->  ( A. x  e.  A  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  y  =  w )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  y  =  w ) ) )
1716adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  (
z  e.  A  /\  w  e.  B )
)  ->  ( A. x  e.  A  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  y  =  w )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  y  =  w ) ) )
1817anbi2d 685 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  (
z  e.  A  /\  w  e.  B )
)  ->  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  z )  /\  A. x  e.  A  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  y  =  w ) )  <->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  z )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  y  =  w ) ) ) )
19 jcab 834 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  ( ( ph  ->  x  =  z )  /\  ( ph  ->  y  =  w ) ) )
2019ralbii 2729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  A. y  e.  B  ( ( ph  ->  x  =  z )  /\  ( ph  ->  y  =  w ) ) )
21 r19.26 2838 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  e.  B  (
( ph  ->  x  =  z )  /\  ( ph  ->  y  =  w ) )  <->  ( A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  z )  /\  A. y  e.  B  ( ph  ->  y  =  w ) ) )
2220, 21bitri 241 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  ( A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  z )  /\  A. y  e.  B  ( ph  ->  y  =  w ) ) )
2322ralbii 2729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  A. x  e.  A  ( A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  z )  /\  A. y  e.  B  ( ph  ->  y  =  w ) ) )
24 r19.26 2838 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  z )  /\  A. y  e.  B  ( ph  ->  y  =  w ) )  <->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  z )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  y  =  w ) ) )
2523, 24bitri 241 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  z )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  y  =  w ) ) )
2625a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  (
z  e.  A  /\  w  e.  B )
)  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  z )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  y  =  w ) ) ) )
2718, 26bitr4d 248 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  (
z  e.  A  /\  w  e.  B )
)  ->  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  z )  /\  A. x  e.  A  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  y  =  w ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) )
2812, 27syl5rbb 250 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  (
z  e.  A  /\  w  e.  B )
)  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  A. x  e.  A  ( A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  z )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  y  =  w ) ) ) )
29 r19.26 2838 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  B  ( A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  z )  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  y  =  w ) )  <->  ( A. y  e.  B  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  z )  /\  A. y  e.  B  A. x  e.  A  ( ph  ->  y  =  w ) ) )
30 nfra1 2756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  z )
3130r19.3rz 3719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =/=  (/)  ->  ( A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  z )  <->  A. y  e.  B  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  z ) ) )
3231ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  (
z  e.  A  /\  w  e.  B )
)  ->  ( A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  z )  <->  A. y  e.  B  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  z ) ) )
3332bicomd 193 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  (
z  e.  A  /\  w  e.  B )
)  ->  ( A. y  e.  B  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  z )  <->  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  z ) ) )
34 ralcom 2868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  B  A. x  e.  A  ( ph  ->  y  =  w )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  y  =  w ) )
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  (
z  e.  A  /\  w  e.  B )
)  ->  ( A. y  e.  B  A. x  e.  A  ( ph  ->  y  =  w )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  y  =  w ) ) )
3633, 35anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  (
z  e.  A  /\  w  e.  B )
)  ->  ( ( A. y  e.  B  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  z )  /\  A. y  e.  B  A. x  e.  A  ( ph  ->  y  =  w ) )  <->  ( A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  z )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  y  =  w ) ) ) )
3729, 36syl5bb 249 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  (
z  e.  A  /\  w  e.  B )
)  ->  ( A. y  e.  B  ( A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  z )  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  y  =  w ) )  <->  ( A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  z )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  y  =  w ) ) ) )
3837ralbidv 2725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  (
z  e.  A  /\  w  e.  B )
)  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  z )  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  y  =  w ) )  <->  A. x  e.  A  ( A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  z )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  y  =  w ) ) ) )
3928, 38bitr4d 248 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  (
z  e.  A  /\  w  e.  B )
)  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  z )  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  y  =  w ) ) ) )
40 r19.23v 2822 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  z )  <->  ( E. y  e.  B  ph  ->  x  =  z ) )
41 r19.23v 2822 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  ( ph  ->  y  =  w )  <->  ( E. x  e.  A  ph  ->  y  =  w ) )
4240, 41anbi12i 679 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  z )  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  y  =  w ) )  <->  ( ( E. y  e.  B  ph 
->  x  =  z
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  ->  y  =  w ) ) )
43422ralbii 2731 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  z )  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  y  =  w ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( E. y  e.  B  ph 
->  x  =  z
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  ->  y  =  w ) ) )
4443a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  (
z  e.  A  /\  w  e.  B )
)  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  z )  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  y  =  w ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( E. y  e.  B  ph 
->  x  =  z
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  ->  y  =  w ) ) ) )
45 df-ne 2601 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =/=  (/)  <->  -.  A  =  (/) )
4645biimpi 187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =/=  (/)  ->  -.  A  =  (/) )
47 df-ne 2601 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =/=  (/)  <->  -.  B  =  (/) )
4847biimpi 187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  =/=  (/)  ->  -.  B  =  (/) )
4946, 48anim12i 550 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  ->  ( -.  A  =  (/)  /\  -.  B  =  (/) ) )
5049olcd 383 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  ->  (
( A  =  (/)  /\  B  =  (/) )  \/  ( -.  A  =  (/)  /\  -.  B  =  (/) ) ) )
51 dfbi3 864 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =  (/)  <->  B  =  (/) )  <->  ( ( A  =  (/)  /\  B  =  (/) )  \/  ( -.  A  =  (/)  /\  -.  B  =  (/) ) ) )
5250, 51sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  ->  ( A  =  (/)  <->  B  =  (/) ) )
53 nfre1 2762 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y E. y  e.  B  ph
54 nfv 1629 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y  x  =  z
5553, 54nfim 1832 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( E. y  e.  B  ph  ->  x  =  z )
56 nfre1 2762 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x E. x  e.  A  ph
57 nfv 1629 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  y  =  w
5856, 57nfim 1832 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( E. x  e.  A  ph  ->  y  =  w )
5955, 58raaan2 27929 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =  (/)  <->  B  =  (/) )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( E. y  e.  B  ph  ->  x  =  z )  /\  ( E. x  e.  A  ph 
->  y  =  w
) )  <->  ( A. x  e.  A  ( E. y  e.  B  ph 
->  x  =  z
)  /\  A. y  e.  B  ( E. x  e.  A  ph  ->  y  =  w ) ) ) )
6052, 59syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( E. y  e.  B  ph  ->  x  =  z )  /\  ( E. x  e.  A  ph 
->  y  =  w
) )  <->  ( A. x  e.  A  ( E. y  e.  B  ph 
->  x  =  z
)  /\  A. y  e.  B  ( E. x  e.  A  ph  ->  y  =  w ) ) ) )
6160adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  (
z  e.  A  /\  w  e.  B )
)  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( E. y  e.  B  ph  ->  x  =  z )  /\  ( E. x  e.  A  ph 
->  y  =  w
) )  <->  ( A. x  e.  A  ( E. y  e.  B  ph 
->  x  =  z
)  /\  A. y  e.  B  ( E. x  e.  A  ph  ->  y  =  w ) ) ) )
6239, 44, 613bitrd 271 . . . . 5  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  /\  (
z  e.  A  /\  w  e.  B )
)  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  ( A. x  e.  A  ( E. y  e.  B  ph 
->  x  =  z
)  /\  A. y  e.  B  ( E. x  e.  A  ph  ->  y  =  w ) ) ) )
63622rexbidva 2746 . . . 4  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  ->  ( E. z  e.  A  E. w  e.  B  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  E. z  e.  A  E. w  e.  B  ( A. x  e.  A  ( E. y  e.  B  ph 
->  x  =  z
)  /\  A. y  e.  B  ( E. x  e.  A  ph  ->  y  =  w ) ) ) )
64 reeanv 2875 . . . 4  |-  ( E. z  e.  A  E. w  e.  B  ( A. x  e.  A  ( E. y  e.  B  ph 
->  x  =  z
)  /\  A. y  e.  B  ( E. x  e.  A  ph  ->  y  =  w ) )  <-> 
( E. z  e.  A  A. x  e.  A  ( E. y  e.  B  ph  ->  x  =  z )  /\  E. w  e.  B  A. y  e.  B  ( E. x  e.  A  ph 
->  y  =  w
) ) )
6563, 64syl6rbb 254 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  ->  (
( E. z  e.  A  A. x  e.  A  ( E. y  e.  B  ph  ->  x  =  z )  /\  E. w  e.  B  A. y  e.  B  ( E. x  e.  A  ph 
->  y  =  w
) )  <->  E. z  e.  A  E. w  e.  B  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) )
6611, 65anbi12d 692 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  ->  (
( ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph )  /\  ( E. z  e.  A  A. x  e.  A  ( E. y  e.  B  ph  ->  x  =  z )  /\  E. w  e.  B  A. y  e.  B  ( E. x  e.  A  ph 
->  y  =  w
) ) )  <->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E. z  e.  A  E. w  e.  B  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) ) )
674, 6, 663bitrd 271 1  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  ->  (
( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )  <->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E. z  e.  A  E. w  e.  B  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   E!wreu 2707   (/)c0 3628
This theorem is referenced by:  2reu4  27944
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-v 2958  df-dif 3323  df-nul 3629
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