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Theorem 2reu5lem3 2974
Description: Lemma for 2reu5 2975. This lemma is interesting in its own right, showing that existential restriction in the last conjunct (the "at most one" part) is optional; compare rmo2 3078. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
2reu5lem3  |-  ( ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph 
/\  A. x  e.  A  E* y  e.  B ph )  <->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E. z E. w A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, w, z, A    x, w, B, z    x, y    ph, w, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( x)    B( y)

Proof of Theorem 2reu5lem3
StepHypRef Expression
1 2reu5lem1 2972 . . 3  |-  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  <->  E! x E! y ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )
)
2 2reu5lem2 2973 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  <->  A. x E* y ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph ) )
31, 2anbi12i 678 . 2  |-  ( ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph 
/\  A. x  e.  A  E* y  e.  B ph )  <->  ( E! x E! y ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )  /\  A. x E* y
( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph ) ) )
4 2eu5 2229 . 2  |-  ( ( E! x E! y ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )  /\  A. x E* y ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )
)  <->  ( E. x E. y ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )  /\  E. z E. w A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )  ->  (
x  =  z  /\  y  =  w )
) ) )
5 3anass 938 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )  <->  ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
65exbii 1571 . . . . . 6  |-  ( E. y ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )  <->  E. y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
7 19.42v 1848 . . . . . 6  |-  ( E. y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) )  <->  ( x  e.  A  /\  E. y
( y  e.  B  /\  ph ) ) )
8 df-rex 2551 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  B  ph  <->  E. y ( y  e.  B  /\  ph )
)
98bicomi 193 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( y  e.  B  /\  ph )  <->  E. y  e.  B  ph )
109anbi2i 675 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  E. y ( y  e.  B  /\  ph )
)  <->  ( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ph ) )
116, 7, 103bitri 262 . . . . 5  |-  ( E. y ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )  <->  ( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ph ) )
1211exbii 1571 . . . 4  |-  ( E. x E. y ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )  <->  E. x ( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ph )
)
13 df-rex 2551 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  E. x
( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ph ) )
1412, 13bitr4i 243 . . 3  |-  ( E. x E. y ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )
15 3anan12 947 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )  <->  ( y  e.  B  /\  ( x  e.  A  /\  ph ) ) )
1615imbi1i 315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )  ->  (
x  =  z  /\  y  =  w )
)  <->  ( ( y  e.  B  /\  (
x  e.  A  /\  ph ) )  ->  (
x  =  z  /\  y  =  w )
) )
17 impexp 433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  B  /\  ( x  e.  A  /\  ph ) )  -> 
( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  ( y  e.  B  ->  ( ( x  e.  A  /\  ph )  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) )
18 impexp 433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  ->  (
x  =  z  /\  y  =  w )
)  <->  ( x  e.  A  ->  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) )
1918imbi2i 303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  B  -> 
( ( x  e.  A  /\  ph )  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) )  <->  ( y  e.  B  ->  ( x  e.  A  ->  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) ) )
2016, 17, 193bitri 262 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )  ->  (
x  =  z  /\  y  =  w )
)  <->  ( y  e.  B  ->  ( x  e.  A  ->  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) ) )
2120albii 1555 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  A. y
( y  e.  B  ->  ( x  e.  A  ->  ( ph  ->  (
x  =  z  /\  y  =  w )
) ) ) )
22 df-ral 2550 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  B  (
x  e.  A  -> 
( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) )  <->  A. y ( y  e.  B  ->  ( x  e.  A  ->  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) ) )
23 r19.21v 2632 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  B  (
x  e.  A  -> 
( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) )  <-> 
( x  e.  A  ->  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) )
2421, 22, 233bitr2i 264 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  ( x  e.  A  ->  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) )
2524albii 1555 . . . . . 6  |-  ( A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  A. x
( x  e.  A  ->  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) )
26 df-ral 2550 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  A. x
( x  e.  A  ->  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) )
2725, 26bitr4i 243 . . . . 5  |-  ( A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) )
2827exbii 1571 . . . 4  |-  ( E. w A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  E. w A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) )
2928exbii 1571 . . 3  |-  ( E. z E. w A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  E. z E. w A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w )
) )
3014, 29anbi12i 678 . 2  |-  ( ( E. x E. y
( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )  /\  E. z E. w A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) )  <->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E. z E. w A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) )
313, 4, 303bitri 262 1  |-  ( ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph 
/\  A. x  e.  A  E* y  e.  B ph )  <->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E. z E. w A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1529   E.wex 1530    e. wcel 1686   E!weu 2145   E*wmo 2146   A.wral 2545   E.wrex 2546   E!wreu 2547   E*wrmo 2548
This theorem is referenced by:  2reu5  2975
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553
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