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Theorem 2reu5lem3 2972
Description: Lemma for 2reu5 2973. This lemma is interesting in its own right, showing that existential restriction in the last conjunct (the "at most one" part) is optional; compare rmo2 3076. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
2reu5lem3  |-  ( ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph 
/\  A. x  e.  A  E* y  e.  B ph )  <->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E. z E. w A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, w, z, A    x, w, B, z    x, y    ph, w, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( x)    B( y)

Proof of Theorem 2reu5lem3
StepHypRef Expression
1 2reu5lem1 2970 . . 3  |-  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  <->  E! x E! y ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )
)
2 2reu5lem2 2971 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  <->  A. x E* y ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph ) )
31, 2anbi12i 678 . 2  |-  ( ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph 
/\  A. x  e.  A  E* y  e.  B ph )  <->  ( E! x E! y ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )  /\  A. x E* y
( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph ) ) )
4 2eu5 2227 . 2  |-  ( ( E! x E! y ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )  /\  A. x E* y ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )
)  <->  ( E. x E. y ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )  /\  E. z E. w A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )  ->  (
x  =  z  /\  y  =  w )
) ) )
5 3anass 938 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )  <->  ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
65exbii 1569 . . . . . 6  |-  ( E. y ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )  <->  E. y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
7 19.42v 1846 . . . . . 6  |-  ( E. y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) )  <->  ( x  e.  A  /\  E. y
( y  e.  B  /\  ph ) ) )
8 df-rex 2549 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  B  ph  <->  E. y ( y  e.  B  /\  ph )
)
98bicomi 193 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( y  e.  B  /\  ph )  <->  E. y  e.  B  ph )
109anbi2i 675 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  E. y ( y  e.  B  /\  ph )
)  <->  ( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ph ) )
116, 7, 103bitri 262 . . . . 5  |-  ( E. y ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )  <->  ( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ph ) )
1211exbii 1569 . . . 4  |-  ( E. x E. y ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )  <->  E. x ( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ph )
)
13 df-rex 2549 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  E. x
( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ph ) )
1412, 13bitr4i 243 . . 3  |-  ( E. x E. y ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )
15 3anan12 947 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )  <->  ( y  e.  B  /\  ( x  e.  A  /\  ph ) ) )
1615imbi1i 315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )  ->  (
x  =  z  /\  y  =  w )
)  <->  ( ( y  e.  B  /\  (
x  e.  A  /\  ph ) )  ->  (
x  =  z  /\  y  =  w )
) )
17 impexp 433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  B  /\  ( x  e.  A  /\  ph ) )  -> 
( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  ( y  e.  B  ->  ( ( x  e.  A  /\  ph )  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) )
18 impexp 433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  ->  (
x  =  z  /\  y  =  w )
)  <->  ( x  e.  A  ->  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) )
1918imbi2i 303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  B  -> 
( ( x  e.  A  /\  ph )  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) )  <->  ( y  e.  B  ->  ( x  e.  A  ->  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) ) )
2016, 17, 193bitri 262 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )  ->  (
x  =  z  /\  y  =  w )
)  <->  ( y  e.  B  ->  ( x  e.  A  ->  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) ) )
2120albii 1553 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  A. y
( y  e.  B  ->  ( x  e.  A  ->  ( ph  ->  (
x  =  z  /\  y  =  w )
) ) ) )
22 df-ral 2548 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  B  (
x  e.  A  -> 
( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) )  <->  A. y ( y  e.  B  ->  ( x  e.  A  ->  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) ) )
23 r19.21v 2630 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  B  (
x  e.  A  -> 
( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) )  <-> 
( x  e.  A  ->  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) )
2421, 22, 233bitr2i 264 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  ( x  e.  A  ->  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) )
2524albii 1553 . . . . . 6  |-  ( A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  A. x
( x  e.  A  ->  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) )
26 df-ral 2548 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  A. x
( x  e.  A  ->  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) )
2725, 26bitr4i 243 . . . . 5  |-  ( A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) )
2827exbii 1569 . . . 4  |-  ( E. w A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  E. w A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) )
2928exbii 1569 . . 3  |-  ( E. z E. w A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  E. z E. w A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w )
) )
3014, 29anbi12i 678 . 2  |-  ( ( E. x E. y
( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )  /\  E. z E. w A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) )  <->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E. z E. w A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) )
313, 4, 303bitri 262 1  |-  ( ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph 
/\  A. x  e.  A  E* y  e.  B ph )  <->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E. z E. w A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527   E.wex 1528    e. wcel 1684   E!weu 2143   E*wmo 2144   A.wral 2543   E.wrex 2544   E!wreu 2545   E*wrmo 2546
This theorem is referenced by:  2reu5  2973
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551
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