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Theorem 2reu7 27900
Description: Two equivalent expressions for double restricted existential uniqueness, analogous to 2eu7 2366. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
2reu7  |-  ( ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )  <->  E! x  e.  A  E! y  e.  B  ( E. x  e.  A  ph  /\  E. y  e.  B  ph ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, y, B
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( y)

Proof of Theorem 2reu7
StepHypRef Expression
1 nfcv 2571 . . . 4  |-  F/_ x B
2 nfre1 2754 . . . 4  |-  F/ x E. x  e.  A  ph
31, 2nfreu 2874 . . 3  |-  F/ x E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph
43reuan 27889 . 2  |-  ( E! x  e.  A  ( E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph 
/\  E. y  e.  B  ph )  <->  ( E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph )
)
5 ancom 438 . . . . 5  |-  ( ( E. x  e.  A  ph 
/\  E. y  e.  B  ph )  <->  ( E. y  e.  B  ph  /\  E. x  e.  A  ph )
)
65reubii 2886 . . . 4  |-  ( E! y  e.  B  ( E. x  e.  A  ph 
/\  E. y  e.  B  ph )  <->  E! y  e.  B  ( E. y  e.  B  ph 
/\  E. x  e.  A  ph ) )
7 nfre1 2754 . . . . 5  |-  F/ y E. y  e.  B  ph
87reuan 27889 . . . 4  |-  ( E! y  e.  B  ( E. y  e.  B  ph 
/\  E. x  e.  A  ph )  <->  ( E. y  e.  B  ph  /\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )
)
9 ancom 438 . . . 4  |-  ( ( E. y  e.  B  ph 
/\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )  <->  ( E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph  /\  E. y  e.  B  ph ) )
106, 8, 93bitri 263 . . 3  |-  ( E! y  e.  B  ( E. x  e.  A  ph 
/\  E. y  e.  B  ph )  <->  ( E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph  /\  E. y  e.  B  ph )
)
1110reubii 2886 . 2  |-  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ( E. x  e.  A  ph 
/\  E. y  e.  B  ph )  <->  E! x  e.  A  ( E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph 
/\  E. y  e.  B  ph ) )
12 ancom 438 . 2  |-  ( ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )  <->  ( E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph ) )
134, 11, 123bitr4ri 270 1  |-  ( ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )  <->  E! x  e.  A  E! y  e.  B  ( E. x  e.  A  ph  /\  E. y  e.  B  ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wrex 2698   E!wreu 2699
This theorem is referenced by:  2reu8  27901
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705
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