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Theorem 2reu8 28073
Description: Two equivalent expressions for double restricted existential uniqueness, analogous to 2eu8 2243. Curiously, we can put  E! on either of the internal conjuncts but not both. We can also commute  E! x  e.  A E! y  e.  B using 2reu7 28072. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
2reu8  |-  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ( E. x  e.  A  ph 
/\  E. y  e.  B  ph )  <->  E! x  e.  A  E! y  e.  B  ( E! x  e.  A  ph 
/\  E. y  e.  B  ph ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem 2reu8
StepHypRef Expression
1 2reu2 28068 . . 3  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  ( E! y  e.  B  E! x  e.  A  ph  <->  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )
)
21pm5.32i 618 . 2  |-  ( ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E! y  e.  B  E! x  e.  A  ph )  <->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph ) )
3 nfcv 2432 . . . . 5  |-  F/_ x B
4 nfreu1 2723 . . . . 5  |-  F/ x E! x  e.  A  ph
53, 4nfreu 2727 . . . 4  |-  F/ x E! y  e.  B  E! x  e.  A  ph
65reuan 28061 . . 3  |-  ( E! x  e.  A  ( E! y  e.  B  E! x  e.  A  ph 
/\  E. y  e.  B  ph )  <->  ( E! y  e.  B  E! x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph )
)
7 ancom 437 . . . . . 6  |-  ( ( E! x  e.  A  ph 
/\  E. y  e.  B  ph )  <->  ( E. y  e.  B  ph  /\  E! x  e.  A  ph )
)
87reubii 2739 . . . . 5  |-  ( E! y  e.  B  ( E! x  e.  A  ph 
/\  E. y  e.  B  ph )  <->  E! y  e.  B  ( E. y  e.  B  ph 
/\  E! x  e.  A  ph ) )
9 nfre1 2612 . . . . . 6  |-  F/ y E. y  e.  B  ph
109reuan 28061 . . . . 5  |-  ( E! y  e.  B  ( E. y  e.  B  ph 
/\  E! x  e.  A  ph )  <->  ( E. y  e.  B  ph  /\  E! y  e.  B  E! x  e.  A  ph ) )
11 ancom 437 . . . . 5  |-  ( ( E. y  e.  B  ph 
/\  E! y  e.  B  E! x  e.  A  ph )  <->  ( E! y  e.  B  E! x  e.  A  ph  /\  E. y  e.  B  ph ) )
128, 10, 113bitri 262 . . . 4  |-  ( E! y  e.  B  ( E! x  e.  A  ph 
/\  E. y  e.  B  ph )  <->  ( E! y  e.  B  E! x  e.  A  ph  /\  E. y  e.  B  ph )
)
1312reubii 2739 . . 3  |-  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ( E! x  e.  A  ph 
/\  E. y  e.  B  ph )  <->  E! x  e.  A  ( E! y  e.  B  E! x  e.  A  ph 
/\  E. y  e.  B  ph ) )
14 ancom 437 . . 3  |-  ( ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E! y  e.  B  E! x  e.  A  ph )  <->  ( E! y  e.  B  E! x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph ) )
156, 13, 143bitr4ri 269 . 2  |-  ( ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E! y  e.  B  E! x  e.  A  ph )  <->  E! x  e.  A  E! y  e.  B  ( E! x  e.  A  ph  /\  E. y  e.  B  ph ) )
16 2reu7 28072 . 2  |-  ( ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )  <->  E! x  e.  A  E! y  e.  B  ( E. x  e.  A  ph  /\  E. y  e.  B  ph ) )
172, 15, 163bitr3ri 267 1  |-  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ( E. x  e.  A  ph 
/\  E. y  e.  B  ph )  <->  E! x  e.  A  E! y  e.  B  ( E! x  e.  A  ph 
/\  E. y  e.  B  ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wrex 2557   E!wreu 2558
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564
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