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Theorem 2reuswap2 23153
Description: A condition allowing swap of uniqueness and existential quantifiers. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Apr-2017.)
Assertion
Ref Expression
2reuswap2  |-  ( A. x  e.  A  E* y ( y  e.  B  /\  ph )  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )
)
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    B( y)

Proof of Theorem 2reuswap2
StepHypRef Expression
1 df-ral 2561 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E* y ( y  e.  B  /\  ph )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  E* y
( y  e.  B  /\  ph ) ) )
2 moanimv 2214 . . . 4  |-  ( E* y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) )  <->  ( x  e.  A  ->  E* y
( y  e.  B  /\  ph ) ) )
32albii 1556 . . 3  |-  ( A. x E* y ( x  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) )  <->  A. x
( x  e.  A  ->  E* y ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
41, 3bitr4i 243 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E* y ( y  e.  B  /\  ph )  <->  A. x E* y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
5 2euswap 2232 . . 3  |-  ( A. x E* y ( x  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) )  ->  ( E! x E. y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) )  ->  E! y E. x ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) ) )
6 df-reu 2563 . . . 4  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  E! x
( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ph ) )
7 r19.42v 2707 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  ph )  <->  ( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ph ) )
8 df-rex 2562 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  ph )  <->  E. y ( y  e.  B  /\  (
x  e.  A  /\  ph ) ) )
97, 8bitr3i 242 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ph ) 
<->  E. y ( y  e.  B  /\  (
x  e.  A  /\  ph ) ) )
10 an12 772 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  B  /\  ( x  e.  A  /\  ph ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) ) )
1110exbii 1572 . . . . . 6  |-  ( E. y ( y  e.  B  /\  ( x  e.  A  /\  ph ) )  <->  E. y
( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
129, 11bitri 240 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ph ) 
<->  E. y ( x  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) ) )
1312eubii 2165 . . . 4  |-  ( E! x ( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ph )  <->  E! x E. y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
146, 13bitri 240 . . 3  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  E! x E. y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
15 df-reu 2563 . . . 4  |-  ( E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph  <->  E! y
( y  e.  B  /\  E. x  e.  A  ph ) )
16 r19.42v 2707 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  ( y  e.  B  /\  ph )  <->  ( y  e.  B  /\  E. x  e.  A  ph ) )
17 df-rex 2562 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  ( y  e.  B  /\  ph )  <->  E. x ( x  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) ) )
1816, 17bitr3i 242 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  B  /\  E. x  e.  A  ph ) 
<->  E. x ( x  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) ) )
1918eubii 2165 . . . 4  |-  ( E! y ( y  e.  B  /\  E. x  e.  A  ph )  <->  E! y E. x ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
2015, 19bitri 240 . . 3  |-  ( E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph  <->  E! y E. x ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
215, 14, 203imtr4g 261 . 2  |-  ( A. x E* y ( x  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) )  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
->  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph ) )
224, 21sylbi 187 1  |-  ( A. x  e.  A  E* y ( y  e.  B  /\  ph )  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   A.wal 1530   E.wex 1531    e. wcel 1696   E!weu 2156   E*wmo 2157   A.wral 2556   E.wrex 2557   E!wreu 2558
This theorem is referenced by:  reuxfr3d  23154
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563
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