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Theorem 2sb5ndVD 29002
Description: The following User's Proof is a Virtual Deduction proof (see: wvd1 28636) completed automatically by a Metamath tools program invoking mmj2 and the Metamath Proof Assistant. 2sb5nd 28625 is 2sb5ndVD 29002 without virtual deductions and was automatically derived from 2sb5ndVD 29002. (Contributed by Alan Sare, 30-Apr-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
1::  |-  ( ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  [ u  /  x ] [  v  /  y ] ph )  <->  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  ph ) )
2:1:  |-  ( E. y ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph )  <->  E. y ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  ph ) )
3::  |-  ( [ v  /  y ] ph  ->  A. y [ v  /  y ] ph )
4:3:  |-  [ u  /  x ] ( [ v  /  y ] ph  ->  A. y [ v  /  y ] ph )
5:4:  |-  ( [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph  ->  [ u  /  x ]  A. y [ v  /  y ] ph )
6::  |-  (. -.  A. x x  =  y  ->.  -.  A. x x  =  y ).
7::  |-  ( A. y y  =  x  ->  A. x x  =  y )
8:7:  |-  ( -.  A. x x  =  y  ->  -.  A. y y  =  x )
9:6,8:  |-  (. -.  A. x x  =  y  ->.  -.  A. y y  =  x ).
10:9:  |-  ( [ u  /  x ] A. y [ v  /  y ] ph  <->  A.  y [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph )
11:5,10:  |-  ( [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph  ->  A. y [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph )
12:11:  |-  ( -.  A. x x  =  y  ->  ( [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph  ->  A. y [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph ) )
13::  |-  ( [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph  ->  A. x [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph )
14::  |-  (. A. x x  =  y  ->.  A. x x  =  y ).
15:14:  |-  (. A. x x  =  y  ->.  ( A. x [ u  /  x ] [  v  /  y ] ph  ->  A. y [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph ) ).
16:13,15:  |-  (. A. x x  =  y  ->.  ( [ u  /  x ] [ v  /  y  ] ph  ->  A. y [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph ) ).
17:16:  |-  ( A. x x  =  y  ->  ( [ u  /  x ] [ v  /  y ]  ph  ->  A. y [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph ) )
19:12,17:  |-  ( [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph  ->  A. y [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph )
20:19:  |-  ( E. y ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph )  <->  ( E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph ) )
21:2,20:  |-  ( E. y ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  ph )  <->  ( E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph ) )
22:21:  |-  ( E. x E. y ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  ph )  <->  E. x ( E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph ) )
23:13:  |-  ( E. x ( E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  [  u  /  x ] [ v  /  y ] ph )  <->  ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph ) )
24:22,23:  |-  ( ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  [  u  /  x ] [ v  /  y ] ph )  <->  E. x E. y ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  ph ) )
240:24:  |-  ( ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  (  E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph ) )  <->  ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  E. x E. y ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  ph ) ) )
241::  |-  ( ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  (  E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph ) )  <->  ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph ) )
242:241,240:  |-  ( ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  [  u  /  x ] [ v  /  y ] ph )  <->  ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  E. x E. y ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  ph ) ) )
243::  |-  ( ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  (  [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph  <->  E. x E. y ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  ph ) ) )  <->  ( ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph )  <->  ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  E. x E. y ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  ph ) ) ) )
25:242,243:  |-  ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( [  u  /  x ] [ v  /  y ] ph  <->  E. x E. y ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  ph ) ) )
26::  |-  ( ( -.  A. x x  =  y  \/  u  =  v )  <->  E. x  E. y ( x  =  u  /\  y  =  v ) )
qed:25,26:  |-  ( ( -.  A. x x  =  y  \/  u  =  v )  ->  ( [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph  <->  E. x E. y ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  ph ) ) )
Assertion
Ref Expression
2sb5ndVD  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  \/  u  =  v )  -> 
( [ u  /  x ] [ v  / 
y ] ph  <->  E. x E. y ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  ph ) ) )
Distinct variable groups:    x, u    y, u    x, v    y,
v
Allowed substitution hints:    ph( x, y, v, u)

Proof of Theorem 2sb5ndVD
StepHypRef Expression
1 a9e2ndeq 28624 . 2  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  \/  u  =  v )  <->  E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v ) )
2 anabs5 784 . . . 4  |-  ( ( E. x E. y
( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph ) )  <->  ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph ) )
3 2pm13.193 28617 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph ) 
<->  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  ph ) )
43exbii 1572 . . . . . . . 8  |-  ( E. y ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph )  <->  E. y
( ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  ph ) )
5 hbs1 2057 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph  ->  A. x [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph )
6 idn1 28641 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (. A. x  x  =  y  ->.  A. x  x  =  y ).
7 ax10o 1905 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( A. x [
u  /  x ] [ v  /  y ] ph  ->  A. y [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph ) )
86, 7e1_ 28704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (. A. x  x  =  y  ->.  ( A. x [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph  ->  A. y [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph ) ).
9 imim1 70 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph  ->  A. x [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph )  ->  (
( A. x [
u  /  x ] [ v  /  y ] ph  ->  A. y [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph )  ->  ( [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph  ->  A. y [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph ) ) )
105, 8, 9e01 28768 . . . . . . . . . . . 12  |-  (. A. x  x  =  y  ->.  ( [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph  ->  A. y [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph ) ).
1110in1 28638 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( [ u  /  x ] [ v  / 
y ] ph  ->  A. y [ u  /  x ] [ v  / 
y ] ph )
)
12 hbs1 2057 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [ v  /  y ]
ph  ->  A. y [ v  /  y ] ph )
1312sbt 1986 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  [ u  /  x ] ( [ v  /  y ]
ph  ->  A. y [ v  /  y ] ph )
14 sbi1 2016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [ u  /  x ]
( [ v  / 
y ] ph  ->  A. y [ v  / 
y ] ph )  ->  ( [ u  /  x ] [ v  / 
y ] ph  ->  [ u  /  x ] A. y [ v  / 
y ] ph )
)
1513, 14e0_ 28861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph  ->  [ u  /  x ] A. y [ v  /  y ] ph )
16 idn1 28641 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (.  -.  A. x  x  =  y  ->.  -.  A. x  x  =  y ).
17 ax10 1897 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. y  y  =  x  ->  A. x  x  =  y )
1817con3i 127 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  -.  A. y 
y  =  x )
1916, 18e1_ 28704 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (.  -.  A. x  x  =  y  ->.  -.  A. y  y  =  x ).
20 sbal2 2086 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( [
u  /  x ] A. y [ v  / 
y ] ph  <->  A. y [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph ) )
2119, 20e1_ 28704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (.  -.  A. x  x  =  y  ->.  ( [ u  /  x ] A. y [ v  /  y ] ph  <->  A. y [ u  /  x ] [ v  / 
y ] ph ) ).
22 imbi2 314 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( [ u  /  x ] A. y [ v  /  y ] ph  <->  A. y [ u  /  x ] [ v  / 
y ] ph )  ->  ( ( [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph  ->  [ u  /  x ] A. y [ v  /  y ] ph ) 
<->  ( [ u  /  x ] [ v  / 
y ] ph  ->  A. y [ u  /  x ] [ v  / 
y ] ph )
) )
2322biimpcd 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph  ->  [ u  /  x ] A. y [ v  /  y ] ph )  ->  (
( [ u  /  x ] A. y [ v  /  y ]
ph 
<-> 
A. y [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph )  ->  ( [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph  ->  A. y [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph ) ) )
2415, 21, 23e01 28768 . . . . . . . . . . . 12  |-  (.  -.  A. x  x  =  y  ->.  ( [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph  ->  A. y [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph ) ).
2524in1 28638 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( [
u  /  x ] [ v  /  y ] ph  ->  A. y [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph ) )
2611, 25pm2.61i 156 . . . . . . . . . 10  |-  ( [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph  ->  A. y [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph )
2726nfi 1541 . . . . . . . . 9  |-  F/ y [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph
282719.41 1827 . . . . . . . 8  |-  ( E. y ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph )  <->  ( E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  [
u  /  x ] [ v  /  y ] ph ) )
294, 28bitr3i 242 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  ph )  <->  ( E. y
( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph ) )
3029exbii 1572 . . . . . 6  |-  ( E. x E. y ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  ph )  <->  E. x ( E. y
( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph ) )
315nfi 1541 . . . . . . 7  |-  F/ x [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph
323119.41 1827 . . . . . 6  |-  ( E. x ( E. y
( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph ) 
<->  ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  [
u  /  x ] [ v  /  y ] ph ) )
3330, 32bitr2i 241 . . . . 5  |-  ( ( E. x E. y
( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph ) 
<->  E. x E. y
( ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  ph ) )
3433anbi2i 675 . . . 4  |-  ( ( E. x E. y
( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph ) )  <->  ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  E. x E. y ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  ph )
) )
352, 34bitr3i 242 . . 3  |-  ( ( E. x E. y
( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph ) 
<->  ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  E. x E. y ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  ph ) ) )
36 pm5.32 617 . . 3  |-  ( ( E. x E. y
( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( [
u  /  x ] [ v  /  y ] ph  <->  E. x E. y
( ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  ph ) ) )  <->  ( ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  [ u  /  x ] [ v  /  y ] ph )  <->  ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  E. x E. y ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  ph )
) ) )
3735, 36mpbir 200 . 2  |-  ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( [ u  /  x ] [ v  / 
y ] ph  <->  E. x E. y ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  ph ) ) )
381, 37sylbi 187 1  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  \/  u  =  v )  -> 
( [ u  /  x ] [ v  / 
y ] ph  <->  E. x E. y ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  /\  ph ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358   A.wal 1530   E.wex 1531    = wceq 1632   [wsb 1638
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-ne 2461  df-v 2803  df-vd1 28637
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