Theorem 2shft 6289

Description: Composite shift operations.

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	|- F e. V

Assertion

Ref	Expression
2shft	|- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((F shift A) shift B) = (F shift (A + B)))

Proof of Theorem 2shft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shftfval.1	. . . . . . . . 9 |- F e. V
2	1	shftvalt 6283	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ (x - B) e. CC) -> ((F shift A)` (x - B)) = (F` ((x - B) - A)))
3		simprl 414	. . . . . . . 8 |- ((x e. CC /\ (A e. CC /\ B e. CC)) -> A e. CC)
4		subclt 5339	. . . . . . . . 9 |- ((x e. CC /\ B e. CC) -> (x - B) e. CC)
5	4	adantrl 394	. . . . . . . 8 |- ((x e. CC /\ (A e. CC /\ B e. CC)) -> (x - B) e. CC)
6	2, 3, 5	sylanc 471	. . . . . . 7 |- ((x e. CC /\ (A e. CC /\ B e. CC)) -> ((F shift A)` (x - B)) = (F` ((x - B) - A)))
7		sub23t 5437	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC) -> ((x - A) - B) = ((x - B) - A))
8		subsub4t 5436	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC) -> ((x - A) - B) = (x - (A + B)))
9	7, 8	eqtr3d 1501	. . . . . . . . 9 |- ((x e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC) -> ((x - B) - A) = (x - (A + B)))
10	9	3expb 832	. . . . . . . 8 |- ((x e. CC /\ (A e. CC /\ B e. CC)) -> ((x - B) - A) = (x - (A + B)))
11	10	fveq2d 3713	. . . . . . 7 |- ((x e. CC /\ (A e. CC /\ B e. CC)) -> (F` ((x - B) - A)) = (F` (x - (A + B))))
12	6, 11	eqtrd 1499	. . . . . 6 |- ((x e. CC /\ (A e. CC /\ B e. CC)) -> ((F shift A)` (x - B)) = (F` (x - (A + B))))
13	12	ancoms 436	. . . . 5 |- (((A e. CC /\ B e. CC) /\ x e. CC) -> ((F shift A)` (x - B)) = (F` (x - (A + B))))
14	13	eqeq2d 1478	. . . 4 |- (((A e. CC /\ B e. CC) /\ x e. CC) -> (y = ((F shift A)` (x - B)) <-> y = (F` (x - (A + B)))))
15	14	pm5.32da 647	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((x e. CC /\ y = ((F shift A)` (x - B))) <-> (x e. CC /\ y = (F` (x - (A + B))))))
16	15	opabbidv 2660	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = ((F shift A)` (x - B)))} = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (F` (x - (A + B))))})
17		oprex 3968	. . . 4 |- (F shift A) e. V
18	17	shftfval 6279	. . 3 |- (B e. CC -> ((F shift A) shift B) = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = ((F shift A)` (x - B)))})
19	18	adantl 388	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((F shift A) shift B) = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = ((F shift A)` (x - B)))})
20		axaddcl 5243	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A + B) e. CC)
21	1	shftfval 6279	. . 3 |- ((A + B) e. CC -> (F shift (A + B)) = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (F` (x - (A + B))))})
22	20, 21	syl 10	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (F shift (A + B)) = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (F` (x - (A + B))))})
23	16, 19, 22	3eqtr4d 1509	1 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((F shift A) shift B) = (F shift (A + B)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955  Vcvv 1802  {copab 2656  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204   + caddc 5209   - cmin 5264   shift cshi 6277

This theorem is referenced by:  shftidt 6292  seq1seq0t 6476  seqzval2t 6485  iserzshft 7080

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-sub 5328  df-neg 5330  df-shft 6278

Copyright terms: Public domain