MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sq Unicode version

Theorem 2sq 20542
Description: All primes of the form  4 k  +  1 are sums of two squares. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
2sq  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( P  mod  4 )  =  1 )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
Distinct variable group:    x, y, P

Proof of Theorem 2sq
StepHypRef Expression
1 eqid 2256 . . 3  |-  ran  (  w  e.  ZZ [ _i ]  |->  ( ( abs `  w ) ^ 2 ) )  =  ran  (  w  e.  ZZ [ _i ]  |->  ( ( abs `  w ) ^ 2 ) )
2 oveq1 5764 . . . . . . 7  |-  ( a  =  x  ->  (
a  gcd  b )  =  ( x  gcd  b ) )
32eqeq1d 2264 . . . . . 6  |-  ( a  =  x  ->  (
( a  gcd  b
)  =  1  <->  (
x  gcd  b )  =  1 ) )
4 oveq1 5764 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  x  ->  (
a ^ 2 )  =  ( x ^
2 ) )
54oveq1d 5772 . . . . . . 7  |-  ( a  =  x  ->  (
( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) ) )
65eqeq2d 2267 . . . . . 6  |-  ( a  =  x  ->  (
z  =  ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  <->  z  =  ( ( x ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) ) ) )
73, 6anbi12d 694 . . . . 5  |-  ( a  =  x  ->  (
( ( a  gcd  b )  =  1  /\  z  =  ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) ) )  <->  ( ( x  gcd  b )  =  1  /\  z  =  ( ( x ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) ) ) ) )
8 oveq2 5765 . . . . . . 7  |-  ( b  =  y  ->  (
x  gcd  b )  =  ( x  gcd  y ) )
98eqeq1d 2264 . . . . . 6  |-  ( b  =  y  ->  (
( x  gcd  b
)  =  1  <->  (
x  gcd  y )  =  1 ) )
10 oveq1 5764 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  y  ->  (
b ^ 2 )  =  ( y ^
2 ) )
1110oveq2d 5773 . . . . . . 7  |-  ( b  =  y  ->  (
( x ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
1211eqeq2d 2267 . . . . . 6  |-  ( b  =  y  ->  (
z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  <->  z  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) )
139, 12anbi12d 694 . . . . 5  |-  ( b  =  y  ->  (
( ( x  gcd  b )  =  1  /\  z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) ) )  <->  ( ( x  gcd  y )  =  1  /\  z  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) ) )
147, 13cbvrex2v 2725 . . . 4  |-  ( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  (
( a  gcd  b
)  =  1  /\  z  =  ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) ) )  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( x  gcd  y
)  =  1  /\  z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) ) )
1514abbii 2368 . . 3  |-  { z  |  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( ( a  gcd  b )  =  1  /\  z  =  ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) ) ) }  =  { z  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( ( x  gcd  y )  =  1  /\  z  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) }
161, 152sqlem11 20541 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( P  mod  4 )  =  1 )  ->  P  e.  ran  (  w  e.  ZZ [ _i ]  |->  ( ( abs `  w
) ^ 2 ) ) )
1712sqlem2 20530 . 2  |-  ( P  e.  ran  (  w  e.  ZZ [ _i ]  |->  ( ( abs `  w ) ^ 2 ) )  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
1816, 17sylib 190 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( P  mod  4 )  =  1 )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   {cab 2242   E.wrex 2517    e. cmpt 4017   ran crn 4627   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   1c1 8671    + caddc 8673   2c2 9728   4c4 9730   ZZcz 9956    mod cmo 10904   ^cexp 11035   abscabs 11649    gcd cgcd 12612   Primecprime 12685   ZZ [ _i ]cgz 12903
This theorem is referenced by:  2sqb  20544
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-15 2105  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-inf2 7275  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-pre-sup 8748  ax-addf 8749  ax-mulf 8750
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-iin 3849  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-se 4290  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-isom 4655  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-of 5977  df-ofr 5978  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-tpos 6133  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-2o 6413  df-oadd 6416  df-er 6593  df-ec 6595  df-qs 6599  df-map 6707  df-pm 6708  df-ixp 6751  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-fin 6800  df-sup 7127  df-oi 7158  df-card 7505  df-cda 7727  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-4 9739  df-5 9740  df-6 9741  df-7 9742  df-8 9743  df-9 9744  df-10 9745  df-n0 9898  df-z 9957  df-dec 10057  df-uz 10163  df-q 10249  df-rp 10287  df-fz 10714  df-fzo 10802  df-fl 10856  df-mod 10905  df-seq 10978  df-exp 11036  df-hash 11269  df-cj 11514  df-re 11515  df-im 11516  df-sqr 11650  df-abs 11651  df-divides 12459  df-gcd 12613  df-prime 12686  df-phi 12761  df-pc 12817  df-gz 12904  df-struct 13077  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13080  df-sets 13081  df-ress 13082  df-plusg 13148  df-mulr 13149  df-starv 13150  df-sca 13151  df-vsca 13152  df-tset 13154  df-ple 13155  df-ds 13157  df-hom 13159  df-cco 13160  df-prds 13275  df-pws 13277  df-0g 13331  df-gsum 13332  df-imas 13338  df-divs 13339  df-mre 13415  df-mrc 13416  df-acs 13418  df-mnd 14294  df-mhm 14342  df-submnd 14343  df-grp 14416  df-minusg 14417  df-sbg 14418  df-mulg 14419  df-subg 14545  df-nsg 14546  df-eqg 14547  df-ghm 14608  df-cntz 14720  df-cmn 15018  df-abl 15019  df-mgp 15253  df-ring 15267  df-cring 15268  df-ur 15269  df-oppr 15332  df-dvdsr 15350  df-unit 15351  df-invr 15381  df-rnghom 15423  df-drng 15441  df-field 15442  df-subrg 15470  df-lmod 15556  df-lss 15617  df-lsp 15656  df-sra 15852  df-rgmod 15853  df-lidl 15854  df-rsp 15855  df-2idl 15911  df-nzr 15937  df-rlreg 15951  df-domn 15952  df-idom 15953  df-assa 15980  df-asp 15981  df-ascl 15982  df-psr 16025  df-mvr 16026  df-mpl 16027  df-evls 16028  df-evl 16029  df-opsr 16033  df-psr1 16184  df-vr1 16185  df-ply1 16186  df-evl1 16188  df-coe1 16189  df-cnfld 16305  df-zrh 16382  df-zn 16385  df-mdeg 19368  df-deg1 19369  df-mon1 19443  df-uc1p 19444  df-q1p 19445  df-r1p 19446  df-lgs 20461
  Copyright terms: Public domain W3C validator