MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sq Unicode version

Theorem 2sq 21148
Description: All primes of the form  4 k  +  1 are sums of two squares. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
2sq  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( P  mod  4 )  =  1 )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
Distinct variable group:    x, y, P

Proof of Theorem 2sq
Dummy variables  a 
b  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . 3  |-  ran  (
w  e.  ZZ [
_i ]  |->  ( ( abs `  w ) ^ 2 ) )  =  ran  ( w  e.  ZZ [ _i ]  |->  ( ( abs `  w ) ^ 2 ) )
2 oveq1 6079 . . . . . . 7  |-  ( a  =  x  ->  (
a  gcd  b )  =  ( x  gcd  b ) )
32eqeq1d 2443 . . . . . 6  |-  ( a  =  x  ->  (
( a  gcd  b
)  =  1  <->  (
x  gcd  b )  =  1 ) )
4 oveq1 6079 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  x  ->  (
a ^ 2 )  =  ( x ^
2 ) )
54oveq1d 6087 . . . . . . 7  |-  ( a  =  x  ->  (
( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) ) )
65eqeq2d 2446 . . . . . 6  |-  ( a  =  x  ->  (
z  =  ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  <->  z  =  ( ( x ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) ) ) )
73, 6anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( a  =  x  ->  (
( ( a  gcd  b )  =  1  /\  z  =  ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) ) )  <->  ( ( x  gcd  b )  =  1  /\  z  =  ( ( x ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) ) ) ) )
8 oveq2 6080 . . . . . . 7  |-  ( b  =  y  ->  (
x  gcd  b )  =  ( x  gcd  y ) )
98eqeq1d 2443 . . . . . 6  |-  ( b  =  y  ->  (
( x  gcd  b
)  =  1  <->  (
x  gcd  y )  =  1 ) )
10 oveq1 6079 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  y  ->  (
b ^ 2 )  =  ( y ^
2 ) )
1110oveq2d 6088 . . . . . . 7  |-  ( b  =  y  ->  (
( x ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
1211eqeq2d 2446 . . . . . 6  |-  ( b  =  y  ->  (
z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  <->  z  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) )
139, 12anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( b  =  y  ->  (
( ( x  gcd  b )  =  1  /\  z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) ) )  <->  ( ( x  gcd  y )  =  1  /\  z  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) ) )
147, 13cbvrex2v 2933 . . . 4  |-  ( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  (
( a  gcd  b
)  =  1  /\  z  =  ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) ) )  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( x  gcd  y
)  =  1  /\  z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) ) )
1514abbii 2547 . . 3  |-  { z  |  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( ( a  gcd  b )  =  1  /\  z  =  ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) ) ) }  =  { z  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( ( x  gcd  y )  =  1  /\  z  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) }
161, 152sqlem11 21147 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( P  mod  4 )  =  1 )  ->  P  e.  ran  ( w  e.  ZZ [ _i ]  |->  ( ( abs `  w
) ^ 2 ) ) )
1712sqlem2 21136 . 2  |-  ( P  e.  ran  ( w  e.  ZZ [ _i ]  |->  ( ( abs `  w ) ^ 2 ) )  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
1816, 17sylib 189 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( P  mod  4 )  =  1 )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421   E.wrex 2698    e. cmpt 4258   ran crn 4870   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   1c1 8980    + caddc 8982   2c2 10038   4c4 10040   ZZcz 10271    mod cmo 11238   ^cexp 11370   abscabs 12027    gcd cgcd 12994   Primecprime 13067   ZZ [ _i ]cgz 13285
This theorem is referenced by:  2sqb  21150
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057  ax-addf 9058  ax-mulf 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-isom 5454  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-of 6296  df-ofr 6297  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-tpos 6470  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-2o 6716  df-oadd 6719  df-er 6896  df-ec 6898  df-qs 6902  df-map 7011  df-pm 7012  df-ixp 7055  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-sup 7437  df-oi 7468  df-card 7815  df-cda 8037  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-4 10049  df-5 10050  df-6 10051  df-7 10052  df-8 10053  df-9 10054  df-10 10055  df-n0 10211  df-z 10272  df-dec 10372  df-uz 10478  df-q 10564  df-rp 10602  df-fz 11033  df-fzo 11124  df-fl 11190  df-mod 11239  df-seq 11312  df-exp 11371  df-hash 11607  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-dvds 12841  df-gcd 12995  df-prm 13068  df-phi 13143  df-pc 13199  df-gz 13286  df-struct 13459  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-base 13462  df-sets 13463  df-ress 13464  df-plusg 13530  df-mulr 13531  df-starv 13532  df-sca 13533  df-vsca 13534  df-tset 13536  df-ple 13537  df-ds 13539  df-unif 13540  df-hom 13541  df-cco 13542  df-prds 13659  df-pws 13661  df-0g 13715  df-gsum 13716  df-imas 13722  df-divs 13723  df-mre 13799  df-mrc 13800  df-acs 13802  df-mnd 14678  df-mhm 14726  df-submnd 14727  df-grp 14800  df-minusg 14801  df-sbg 14802  df-mulg 14803  df-subg 14929  df-nsg 14930  df-eqg 14931  df-ghm 14992  df-cntz 15104  df-cmn 15402  df-abl 15403  df-mgp 15637  df-rng 15651  df-cring 15652  df-ur 15653  df-oppr 15716  df-dvdsr 15734  df-unit 15735  df-invr 15765  df-rnghom 15807  df-drng 15825  df-field 15826  df-subrg 15854  df-lmod 15940  df-lss 15997  df-lsp 16036  df-sra 16232  df-rgmod 16233  df-lidl 16234  df-rsp 16235  df-2idl 16291  df-nzr 16317  df-rlreg 16331  df-domn 16332  df-idom 16333  df-assa 16360  df-asp 16361  df-ascl 16362  df-psr 16405  df-mvr 16406  df-mpl 16407  df-evls 16408  df-evl 16409  df-opsr 16413  df-psr1 16564  df-vr1 16565  df-ply1 16566  df-evl1 16568  df-coe1 16569  df-cnfld 16692  df-zrh 16770  df-zn 16773  df-mdeg 19966  df-deg1 19967  df-mon1 20041  df-uc1p 20042  df-q1p 20043  df-r1p 20044  df-lgs 21067
  Copyright terms: Public domain W3C validator