MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqb Unicode version

Theorem 2sqb 20633
Description: The converse to 2sq 20631. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
2sqb  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <->  ( P  =  2  \/  ( P  mod  4 )  =  1 ) ) )
Distinct variable group:    x, y, P

Proof of Theorem 2sqb
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ne 2461 . . . 4  |-  ( P  =/=  2  <->  -.  P  =  2 )
2 prmz 12778 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
32ad3antrrr 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  P  =/=  2
)  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  P  =  ( (
x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )  ->  P  e.  ZZ )
4 simplrr 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  P  =/=  2
)  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  P  =  ( (
x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )  ->  y  e.  ZZ )
5 bezout 12737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a )  +  ( y  x.  b ) ) )
63, 4, 5syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  P  =/=  2
)  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  P  =  ( (
x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )  ->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a )  +  ( y  x.  b ) ) )
7 simplll 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  P  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a
)  +  ( y  x.  b ) ) ) )  ->  ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 ) )
8 simpllr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  P  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a
)  +  ( y  x.  b ) ) ) )  ->  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)
9 simplr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  P  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a
)  +  ( y  x.  b ) ) ) )  ->  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
10 simprll 738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  P  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a
)  +  ( y  x.  b ) ) ) )  ->  a  e.  ZZ )
11 simprlr 739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  P  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a
)  +  ( y  x.  b ) ) ) )  ->  b  e.  ZZ )
12 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  P  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a
)  +  ( y  x.  b ) ) ) )  ->  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a )  +  ( y  x.  b ) ) )
137, 8, 9, 10, 11, 122sqblem 20632 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  P  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a
)  +  ( y  x.  b ) ) ) )  ->  ( P  mod  4 )  =  1 )
1413expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  P  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a )  +  ( y  x.  b ) )  ->  ( P  mod  4 )  =  1 ) )
1514rexlimdvva 2687 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  P  =/=  2
)  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  P  =  ( (
x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )  ->  ( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a
)  +  ( y  x.  b ) )  ->  ( P  mod  4 )  =  1 ) )
166, 15mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  P  =/=  2
)  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  P  =  ( (
x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )  ->  ( P  mod  4 )  =  1 )
1716ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  ->  ( P  mod  4 )  =  1 ) )
1817rexlimdvva 2687 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  ->  ( P  mod  4 )  =  1 ) )
1918impancom 427 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  ->  ( P  =/=  2  ->  ( P  mod  4 )  =  1 ) )
201, 19syl5bir 209 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  ->  ( -.  P  =  2  ->  ( P  mod  4 )  =  1 ) )
2120orrd 367 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  ->  ( P  =  2  \/  ( P  mod  4 )  =  1 ) )
22 1z 10069 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
23 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1  ->  (
x ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
24 sq1 11214 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
2523, 24syl6eq 2344 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  (
x ^ 2 )  =  1 )
2625oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( 1  +  ( y ^ 2 ) ) )
2726eqeq2d 2307 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  ( P  =  ( (
x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  <->  P  =  ( 1  +  ( y ^ 2 ) ) ) )
28 oveq1 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  1  ->  (
y ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
2928, 24syl6eq 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  1  ->  (
y ^ 2 )  =  1 )
3029oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  1  ->  (
1  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( 1  +  1 ) )
31 1p1e2 9856 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  1 )  =  2
3230, 31syl6eq 2344 . . . . . . 7  |-  ( y  =  1  ->  (
1  +  ( y ^ 2 ) )  =  2 )
3332eqeq2d 2307 . . . . . 6  |-  ( y  =  1  ->  ( P  =  ( 1  +  ( y ^
2 ) )  <->  P  = 
2 ) )
3427, 33rspc2ev 2905 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  P  =  2 )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
3522, 22, 34mp3an12 1267 . . . 4  |-  ( P  =  2  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
3635adantl 452 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  P  =  2 )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
37 2sq 20631 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( P  mod  4 )  =  1 )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
3836, 37jaodan 760 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( P  =  2  \/  ( P  mod  4
)  =  1 ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
3921, 38impbida 805 1  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <->  ( P  =  2  \/  ( P  mod  4 )  =  1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   E.wrex 2557  (class class class)co 5874   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758   2c2 9811   4c4 9813   ZZcz 10040    mod cmo 10989   ^cexp 11120    gcd cgcd 12701   Primecprime 12774
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-prm 12775  df-phi 12850  df-pc 12906  df-gz 12993  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-prds 13364  df-pws 13366  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-imas 13427  df-divs 13428  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-nsg 14635  df-eqg 14636  df-ghm 14697  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-rnghom 15512  df-drng 15530  df-field 15531  df-subrg 15559  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-sra 15941  df-rgmod 15942  df-lidl 15943  df-rsp 15944  df-2idl 16000  df-nzr 16026  df-rlreg 16040  df-domn 16041  df-idom 16042  df-assa 16069  df-asp 16070  df-ascl 16071  df-psr 16114  df-mvr 16115  df-mpl 16116  df-evls 16117  df-evl 16118  df-opsr 16122  df-psr1 16273  df-vr1 16274  df-ply1 16275  df-evl1 16277  df-coe1 16278  df-cnfld 16394  df-zrh 16471  df-zn 16474  df-mdeg 19457  df-deg1 19458  df-mon1 19532  df-uc1p 19533  df-q1p 19534  df-r1p 19535  df-lgs 20550
  Copyright terms: Public domain W3C validator