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Theorem 2sqblem 21161
Description: The converse to 2sq 21160. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sqb.1  |-  ( ph  ->  ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 ) )
2sqb.2  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ ) )
2sqb.3  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^
2 ) ) )
2sqb.4  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
2sqb.5  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
2sqb.6  |-  ( ph  ->  ( P  gcd  Y
)  =  ( ( P  x.  A )  +  ( Y  x.  B ) ) )
Assertion
Ref Expression
2sqblem  |-  ( ph  ->  ( P  mod  4
)  =  1 )

Proof of Theorem 2sqblem
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sqb.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 ) )
21simpld 446 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
3 nprmdvds1 13111 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  -.  P  ||  1 )
42, 3syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  1
)
5 prmz 13083 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
62, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
7 1z 10311 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
8 dvdsnegb 12867 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  1  <->  P 
||  -u 1 ) )
96, 7, 8sylancl 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P  ||  1  <->  P 
||  -u 1 ) )
104, 9mtbid 292 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  -u 1
)
11 2sqb.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ ) )
1211simpld 446 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ZZ )
13 2sqb.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
1412, 13zmulcld 10381 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  x.  B
)  e.  ZZ )
15 zsqcl 11452 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( B ^ 2 )  e.  ZZ )
1613, 15syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  e.  ZZ )
17 dvdsmul1 12871 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( B ^ 2 )  e.  ZZ )  ->  P  ||  ( P  x.  ( B ^ 2 ) ) )
186, 16, 17syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  ||  ( P  x.  ( B ^
2 ) ) )
1911simprd 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  e.  ZZ )
2019, 13zmulcld 10381 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y  x.  B
)  e.  ZZ )
21 zsqcl 11452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  x.  B )  e.  ZZ  ->  (
( Y  x.  B
) ^ 2 )  e.  ZZ )
2220, 21syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Y  x.  B ) ^ 2 )  e.  ZZ )
23 peano2zm 10320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Y  x.  B
) ^ 2 )  e.  ZZ  ->  (
( ( Y  x.  B ) ^ 2 )  -  1 )  e.  ZZ )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  x.  B ) ^
2 )  -  1 )  e.  ZZ )
2524zcnd 10376 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  x.  B ) ^
2 )  -  1 )  e.  CC )
26 zsqcl 11452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  x.  B )  e.  ZZ  ->  (
( X  x.  B
) ^ 2 )  e.  ZZ )
2714, 26syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  B ) ^ 2 )  e.  ZZ )
2827peano2zd 10378 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  B ) ^
2 )  +  1 )  e.  ZZ )
2928zcnd 10376 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  B ) ^
2 )  +  1 )  e.  CC )
3025, 29addcomd 9268 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  x.  B ) ^ 2 )  - 
1 )  +  ( ( ( X  x.  B ) ^ 2 )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( X  x.  B ) ^ 2 )  +  1 )  +  ( ( ( Y  x.  B ) ^ 2 )  - 
1 ) ) )
3127zcnd 10376 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  B ) ^ 2 )  e.  CC )
32 ax-1cn 9048 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
3332a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
3422zcnd 10376 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Y  x.  B ) ^ 2 )  e.  CC )
3531, 33, 34ppncand 9451 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  x.  B ) ^ 2 )  +  1 )  +  ( ( ( Y  x.  B ) ^ 2 )  -  1 ) )  =  ( ( ( X  x.  B
) ^ 2 )  +  ( ( Y  x.  B ) ^
2 ) ) )
36 zsqcl 11452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  ZZ  ->  ( X ^ 2 )  e.  ZZ )
3712, 36syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X ^ 2 )  e.  ZZ )
3837zcnd 10376 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X ^ 2 )  e.  CC )
39 zsqcl 11452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e.  ZZ  ->  ( Y ^ 2 )  e.  ZZ )
4019, 39syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y ^ 2 )  e.  ZZ )
4140zcnd 10376 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y ^ 2 )  e.  CC )
4216zcnd 10376 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
4338, 41, 42adddird 9113 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  x.  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( ( X ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) )  +  ( ( Y ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
44 2sqb.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^
2 ) ) )
4544oveq1d 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( P  x.  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^
2 ) )  x.  ( B ^ 2 ) ) )
4612zcnd 10376 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
4713zcnd 10376 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4846, 47sqmuld 11535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  B ) ^ 2 )  =  ( ( X ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) ) )
4919zcnd 10376 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
5049, 47sqmuld 11535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Y  x.  B ) ^ 2 )  =  ( ( Y ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) ) )
5148, 50oveq12d 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  B ) ^
2 )  +  ( ( Y  x.  B
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( X ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( Y ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
5243, 45, 513eqtr4rd 2479 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  B ) ^
2 )  +  ( ( Y  x.  B
) ^ 2 ) )  =  ( P  x.  ( B ^
2 ) ) )
5330, 35, 523eqtrd 2472 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  x.  B ) ^ 2 )  - 
1 )  +  ( ( ( X  x.  B ) ^ 2 )  +  1 ) )  =  ( P  x.  ( B ^
2 ) ) )
5418, 53breqtrrd 4238 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( ( ( Y  x.  B ) ^ 2 )  -  1 )  +  ( ( ( X  x.  B ) ^ 2 )  +  1 ) ) )
55 2sqb.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
56 dvdsmul1 12871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  P  ||  ( P  x.  A ) )
576, 55, 56syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  ||  ( P  x.  A ) )
586, 55zmulcld 10381 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P  x.  A
)  e.  ZZ )
59 dvdsnegb 12867 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( P  x.  A
)  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( P  x.  A
)  <->  P  ||  -u ( P  x.  A )
) )
606, 58, 59syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P  ||  ( P  x.  A )  <->  P 
||  -u ( P  x.  A ) ) )
6157, 60mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  ||  -u ( P  x.  A )
)
6220zcnd 10376 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y  x.  B
)  e.  CC )
63 negsubdi2 9360 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( Y  x.  B
)  e.  CC )  ->  -u ( 1  -  ( Y  x.  B
) )  =  ( ( Y  x.  B
)  -  1 ) )
6432, 62, 63sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u ( 1  -  ( Y  x.  B
) )  =  ( ( Y  x.  B
)  -  1 ) )
6519zred 10375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
66 absresq 12107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Y  e.  RR  ->  (
( abs `  Y
) ^ 2 )  =  ( Y ^
2 ) )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  Y
) ^ 2 )  =  ( Y ^
2 ) )
6865resqcld 11549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( Y ^ 2 )  e.  RR )
69 prmnn 13082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
702, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
7170nnred 10015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  P  e.  RR )
7271resqcld 11549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( P ^ 2 )  e.  RR )
73 zsqcl2 11459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( X  e.  ZZ  ->  ( X ^ 2 )  e. 
NN0 )
7412, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( X ^ 2 )  e.  NN0 )
75 nn0addge2 10267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( Y ^ 2 )  e.  RR  /\  ( X ^ 2 )  e.  NN0 )  -> 
( Y ^ 2 )  <_  ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) ) )
7668, 74, 75syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( Y ^ 2 )  <_  ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) ) )
7776, 44breqtrrd 4238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( Y ^ 2 )  <_  P )
786zcnd 10376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
7978exp1d 11518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( P ^ 1 )  =  P )
807a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
81 2z 10312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  2  e.  ZZ
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
83 prmuz2 13097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
842, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
85 eluz2b2 10548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( P  e.  NN  /\  1  < 
P ) )
8685simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  P )
8784, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  1  <  P )
88 1lt2 10142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1  <  2
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  1  <  2 )
90 ltexp2a 11431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( P  e.  RR  /\  1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  /\  ( 1  <  P  /\  1  <  2
) )  ->  ( P ^ 1 )  < 
( P ^ 2 ) )
9171, 80, 82, 87, 89, 90syl32anc 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( P ^ 1 )  <  ( P ^ 2 ) )
9279, 91eqbrtrrd 4234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  P  <  ( P ^ 2 ) )
9368, 71, 72, 77, 92lelttrd 9228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( Y ^ 2 )  <  ( P ^ 2 ) )
9467, 93eqbrtrd 4232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  Y
) ^ 2 )  <  ( P ^
2 ) )
9549abscld 12238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( abs `  Y
)  e.  RR )
9649absge0d 12246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  Y ) )
9770nnnn0d 10274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  P  e.  NN0 )
9897nn0ge0d 10277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  0  <_  P )
9995, 71, 96, 98lt2sqd 11557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  Y
)  <  P  <->  ( ( abs `  Y ) ^
2 )  <  ( P ^ 2 ) ) )
10094, 99mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( abs `  Y
)  <  P )
1016zred 10375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  P  e.  RR )
10295, 101ltnled 9220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  Y
)  <  P  <->  -.  P  <_  ( abs `  Y
) ) )
103100, 102mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  -.  P  <_  ( abs `  Y ) )
104 sqnprm 13098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( X  e.  ZZ  ->  -.  ( X ^ 2 )  e.  Prime )
10512, 104syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  -.  ( X ^
2 )  e.  Prime )
10649abs00ad 12095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  Y
)  =  0  <->  Y  =  0 ) )
10744, 2eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  e.  Prime )
108 sq0i 11474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( Y  =  0  ->  ( Y ^ 2 )  =  0 )
109108oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( Y  =  0  ->  (
( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  =  ( ( X ^ 2 )  +  0 ) )
110109eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( Y  =  0  ->  (
( ( X ^
2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  e.  Prime  <->  ( ( X ^ 2 )  +  0 )  e.  Prime ) )
111107, 110syl5ibcom 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( Y  =  0  ->  ( ( X ^ 2 )  +  0 )  e.  Prime ) )
11238addid1d 9266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  +  0 )  =  ( X ^ 2 ) )
113112eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  0 )  e.  Prime  <->  ( X ^ 2 )  e. 
Prime ) )
114111, 113sylibd 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( Y  =  0  ->  ( X ^
2 )  e.  Prime ) )
115106, 114sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  Y
)  =  0  -> 
( X ^ 2 )  e.  Prime )
)
116105, 115mtod 170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  -.  ( abs `  Y
)  =  0 )
117 nn0abscl 12117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Y  e.  ZZ  ->  ( abs `  Y )  e. 
NN0 )
11819, 117syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( abs `  Y
)  e.  NN0 )
119 elnn0 10223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( abs `  Y )  e.  NN0  <->  ( ( abs `  Y )  e.  NN  \/  ( abs `  Y
)  =  0 ) )
120118, 119sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  Y
)  e.  NN  \/  ( abs `  Y )  =  0 ) )
121120ord 367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( -.  ( abs `  Y )  e.  NN  ->  ( abs `  Y
)  =  0 ) )
122116, 121mt3d 119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( abs `  Y
)  e.  NN )
123 dvdsle 12895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( abs `  Y )  e.  NN )  -> 
( P  ||  ( abs `  Y )  ->  P  <_  ( abs `  Y
) ) )
1246, 122, 123syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( P  ||  ( abs `  Y )  ->  P  <_  ( abs `  Y
) ) )
125103, 124mtod 170 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  ( abs `  Y ) )
126 dvdsabsb 12869 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  Y  <->  P 
||  ( abs `  Y
) ) )
1276, 19, 126syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( P  ||  Y  <->  P 
||  ( abs `  Y
) ) )
128125, 127mtbird 293 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  Y
)
129 coprm 13100 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( -.  P  ||  Y  <->  ( P  gcd  Y )  =  1 ) )
1302, 19, 129syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( -.  P  ||  Y 
<->  ( P  gcd  Y
)  =  1 ) )
131128, 130mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( P  gcd  Y
)  =  1 )
132 2sqb.6 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( P  gcd  Y
)  =  ( ( P  x.  A )  +  ( Y  x.  B ) ) )
133131, 132eqtr3d 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  =  ( ( P  x.  A )  +  ( Y  x.  B ) ) )
134133oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( Y  x.  B )
)  =  ( ( ( P  x.  A
)  +  ( Y  x.  B ) )  -  ( Y  x.  B ) ) )
13558zcnd 10376 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( P  x.  A
)  e.  CC )
136135, 62pncand 9412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( P  x.  A )  +  ( Y  x.  B
) )  -  ( Y  x.  B )
)  =  ( P  x.  A ) )
137134, 136eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( Y  x.  B )
)  =  ( P  x.  A ) )
138137negeqd 9300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u ( 1  -  ( Y  x.  B
) )  =  -u ( P  x.  A
) )
13964, 138eqtr3d 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Y  x.  B )  -  1 )  =  -u ( P  x.  A )
)
14061, 139breqtrrd 4238 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( Y  x.  B )  -  1 ) )
14120peano2zd 10378 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Y  x.  B )  +  1 )  e.  ZZ )
142 peano2zm 10320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  x.  B )  e.  ZZ  ->  (
( Y  x.  B
)  -  1 )  e.  ZZ )
14320, 142syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Y  x.  B )  -  1 )  e.  ZZ )
144 dvdsmultr2 12885 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( Y  x.  B )  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( Y  x.  B )  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( ( Y  x.  B )  -  1 )  ->  P  ||  (
( ( Y  x.  B )  +  1 )  x.  ( ( Y  x.  B )  -  1 ) ) ) )
1456, 141, 143, 144syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( Y  x.  B
)  -  1 )  ->  P  ||  (
( ( Y  x.  B )  +  1 )  x.  ( ( Y  x.  B )  -  1 ) ) ) )
146140, 145mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( ( Y  x.  B
)  +  1 )  x.  ( ( Y  x.  B )  - 
1 ) ) )
147 sq1 11476 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
148147oveq2i 6092 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Y  x.  B
) ^ 2 )  -  ( 1 ^ 2 ) )  =  ( ( ( Y  x.  B ) ^
2 )  -  1 )
149 subsq 11488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Y  x.  B
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( Y  x.  B ) ^
2 )  -  (
1 ^ 2 ) )  =  ( ( ( Y  x.  B
)  +  1 )  x.  ( ( Y  x.  B )  - 
1 ) ) )
15062, 32, 149sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  x.  B ) ^
2 )  -  (
1 ^ 2 ) )  =  ( ( ( Y  x.  B
)  +  1 )  x.  ( ( Y  x.  B )  - 
1 ) ) )
151148, 150syl5eqr 2482 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  x.  B ) ^
2 )  -  1 )  =  ( ( ( Y  x.  B
)  +  1 )  x.  ( ( Y  x.  B )  - 
1 ) ) )
152146, 151breqtrrd 4238 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( ( Y  x.  B
) ^ 2 )  -  1 ) )
153 dvdsadd2b 12892 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( ( X  x.  B ) ^
2 )  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( ( ( Y  x.  B ) ^ 2 )  - 
1 )  e.  ZZ  /\  P  ||  ( ( ( Y  x.  B
) ^ 2 )  -  1 ) ) )  ->  ( P  ||  ( ( ( X  x.  B ) ^
2 )  +  1 )  <->  P  ||  ( ( ( ( Y  x.  B ) ^ 2 )  -  1 )  +  ( ( ( X  x.  B ) ^ 2 )  +  1 ) ) ) )
1546, 28, 24, 152, 153syl112anc 1188 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( ( X  x.  B ) ^ 2 )  +  1 )  <-> 
P  ||  ( (
( ( Y  x.  B ) ^ 2 )  -  1 )  +  ( ( ( X  x.  B ) ^ 2 )  +  1 ) ) ) )
15554, 154mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( ( X  x.  B
) ^ 2 )  +  1 ) )
156 subneg 9350 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  x.  B ) ^ 2 )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( X  x.  B ) ^
2 )  -  -u 1
)  =  ( ( ( X  x.  B
) ^ 2 )  +  1 ) )
15731, 32, 156sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  B ) ^
2 )  -  -u 1
)  =  ( ( ( X  x.  B
) ^ 2 )  +  1 ) )
158155, 157breqtrrd 4238 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( ( X  x.  B
) ^ 2 )  -  -u 1 ) )
159 oveq1 6088 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( X  x.  B )  ->  (
x ^ 2 )  =  ( ( X  x.  B ) ^
2 ) )
160159oveq1d 6096 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( X  x.  B )  ->  (
( x ^ 2 )  -  -u 1
)  =  ( ( ( X  x.  B
) ^ 2 )  -  -u 1 ) )
161160breq2d 4224 . . . . 5  |-  ( x  =  ( X  x.  B )  ->  ( P  ||  ( ( x ^ 2 )  -  -u 1 )  <->  P  ||  (
( ( X  x.  B ) ^ 2 )  -  -u 1
) ) )
162161rspcev 3052 . . . 4  |-  ( ( ( X  x.  B
)  e.  ZZ  /\  P  ||  ( ( ( X  x.  B ) ^ 2 )  -  -u 1 ) )  ->  E. x  e.  ZZ  P  ||  ( ( x ^ 2 )  -  -u 1 ) )
16314, 158, 162syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ZZ  P  ||  ( ( x ^ 2 )  -  -u 1 ) )
164 znegcl 10313 . . . . 5  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  -u 1  e.  ZZ )
1657, 164ax-mp 8 . . . 4  |-  -u 1  e.  ZZ
166 eldifsn 3927 . . . . 5  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  <->  ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 ) )
1671, 166sylibr 204 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
168 lgsqr 21130 . . . 4  |-  ( (
-u 1  e.  ZZ  /\  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )  ->  ( ( -u 1  / L P
)  =  1  <->  ( -.  P  ||  -u 1  /\  E. x  e.  ZZ  P  ||  ( ( x ^ 2 )  -  -u 1 ) ) ) )
169165, 167, 168sylancr 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( -u 1  / L P )  =  1  <->  ( -.  P  ||  -u 1  /\  E. x  e.  ZZ  P  ||  (
( x ^ 2 )  -  -u 1
) ) ) )
17010, 163, 169mpbir2and 889 . 2  |-  ( ph  ->  ( -u 1  / L P )  =  1 )
171 m1lgs 21146 . . 3  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( -u 1  / L P )  =  1  <->  ( P  mod  4 )  =  1 ) )
172167, 171syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( -u 1  / L P )  =  1  <->  ( P  mod  4 )  =  1 ) )
173170, 172mpbid 202 1  |-  ( ph  ->  ( P  mod  4
)  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   E.wrex 2706    \ cdif 3317   {csn 3814   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291   -ucneg 9292   NNcn 10000   2c2 10049   4c4 10051   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488    mod cmo 11250   ^cexp 11382   abscabs 12039    || cdivides 12852    gcd cgcd 13006   Primecprime 13079    / Lclgs 21078
This theorem is referenced by:  2sqb  21162
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-ec 6907  df-qs 6911  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-dvds 12853  df-gcd 13007  df-prm 13080  df-phi 13155  df-pc 13211  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-prds 13671  df-pws 13673  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-imas 13734  df-divs 13735  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-nsg 14942  df-eqg 14943  df-ghm 15004  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-rnghom 15819  df-drng 15837  df-field 15838  df-subrg 15866  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-sra 16244  df-rgmod 16245  df-lidl 16246  df-rsp 16247  df-2idl 16303  df-nzr 16329  df-rlreg 16343  df-domn 16344  df-idom 16345  df-assa 16372  df-asp 16373  df-ascl 16374  df-psr 16417  df-mvr 16418  df-mpl 16419  df-evls 16420  df-evl 16421  df-opsr 16425  df-psr1 16576  df-vr1 16577  df-ply1 16578  df-evl1 16580  df-coe1 16581  df-cnfld 16704  df-zrh 16782  df-zn 16785  df-mdeg 19978  df-deg1 19979  df-mon1 20053  df-uc1p 20054  df-q1p 20055  df-r1p 20056  df-lgs 21079
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