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Theorem 2sqlem2 20619
Description: Lemma for 2sq 20631. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
2sq.1  |-  S  =  ran  ( w  e.  ZZ [ _i ]  |->  ( ( abs `  w
) ^ 2 ) )
Assertion
Ref Expression
2sqlem2  |-  ( A  e.  S  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  A  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
Distinct variable groups:    x, w, y    x, A, y    x, S, y
Allowed substitution hints:    A( w)    S( w)

Proof of Theorem 2sqlem2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sq.1 . . . 4  |-  S  =  ran  ( w  e.  ZZ [ _i ]  |->  ( ( abs `  w
) ^ 2 ) )
212sqlem1 20618 . . 3  |-  ( A  e.  S  <->  E. z  e.  ZZ [ _i ]  A  =  ( ( abs `  z ) ^
2 ) )
3 elgz 12994 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ZZ [ _i ] 
<->  ( z  e.  CC  /\  ( Re `  z
)  e.  ZZ  /\  ( Im `  z )  e.  ZZ ) )
43simp2bi 971 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ZZ [ _i ]  ->  ( Re `  z )  e.  ZZ )
53simp3bi 972 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ZZ [ _i ]  ->  ( Im `  z )  e.  ZZ )
6 gzcn 12995 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ZZ [ _i ]  ->  z  e.  CC )
76absvalsq2d 11941 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ZZ [ _i ]  ->  ( ( abs `  z ) ^ 2 )  =  ( ( ( Re `  z
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  z ) ^
2 ) ) )
8 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( Re `  z )  ->  (
x ^ 2 )  =  ( ( Re
`  z ) ^
2 ) )
98oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( Re `  z )  ->  (
( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( ( Re `  z ) ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
109eqeq2d 2307 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( Re `  z )  ->  (
( ( abs `  z
) ^ 2 )  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <->  ( ( abs `  z ) ^
2 )  =  ( ( ( Re `  z ) ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) )
11 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( Im `  z )  ->  (
y ^ 2 )  =  ( ( Im
`  z ) ^
2 ) )
1211oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( Im `  z )  ->  (
( ( Re `  z ) ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( ( Re `  z ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  z ) ^ 2 ) ) )
1312eqeq2d 2307 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( Im `  z )  ->  (
( ( abs `  z
) ^ 2 )  =  ( ( ( Re `  z ) ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <->  ( ( abs `  z ) ^
2 )  =  ( ( ( Re `  z ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  z ) ^ 2 ) ) ) )
1410, 13rspc2ev 2905 . . . . . 6  |-  ( ( ( Re `  z
)  e.  ZZ  /\  ( Im `  z )  e.  ZZ  /\  (
( abs `  z
) ^ 2 )  =  ( ( ( Re `  z ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  z ) ^ 2 ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( abs `  z
) ^ 2 )  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
154, 5, 7, 14syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( z  e.  ZZ [ _i ]  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( abs `  z
) ^ 2 )  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
16 eqeq1 2302 . . . . . 6  |-  ( A  =  ( ( abs `  z ) ^ 2 )  ->  ( A  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <->  ( ( abs `  z ) ^
2 )  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) )
17162rexbidv 2599 . . . . 5  |-  ( A  =  ( ( abs `  z ) ^ 2 )  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  A  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( abs `  z
) ^ 2 )  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) )
1815, 17syl5ibrcom 213 . . . 4  |-  ( z  e.  ZZ [ _i ]  ->  ( A  =  ( ( abs `  z
) ^ 2 )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  A  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) )
1918rexlimiv 2674 . . 3  |-  ( E. z  e.  ZZ [
_i ]  A  =  ( ( abs `  z
) ^ 2 )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  A  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
202, 19sylbi 187 . 2  |-  ( A  e.  S  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  A  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
21 gzreim 13002 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( x  +  ( _i  x.  y ) )  e.  ZZ [
_i ] )
22 zcn 10045 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
23 ax-icn 8812 . . . . . . . . . 10  |-  _i  e.  CC
24 zcn 10045 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  CC )
25 mulcl 8837 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( _i  x.  y
)  e.  CC )
2623, 24, 25sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
_i  x.  y )  e.  CC )
27 addcl 8835 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( _i  x.  y
)  e.  CC )  ->  ( x  +  ( _i  x.  y
) )  e.  CC )
2822, 26, 27syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( x  +  ( _i  x.  y ) )  e.  CC )
2928absvalsq2d 11941 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  (
x  +  ( _i  x.  y ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Re `  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  ( x  +  (
_i  x.  y )
) ) ^ 2 ) ) )
30 zre 10044 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  RR )
31 zre 10044 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  RR )
32 crre 11615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( Re `  (
x  +  ( _i  x.  y ) ) )  =  x )
3330, 31, 32syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( Re `  (
x  +  ( _i  x.  y ) ) )  =  x )
3433oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( Re `  ( x  +  (
_i  x.  y )
) ) ^ 2 )  =  ( x ^ 2 ) )
35 crim 11616 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( Im `  (
x  +  ( _i  x.  y ) ) )  =  y )
3630, 31, 35syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( Im `  (
x  +  ( _i  x.  y ) ) )  =  y )
3736oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( Im `  ( x  +  (
_i  x.  y )
) ) ^ 2 )  =  ( y ^ 2 ) )
3834, 37oveq12d 5892 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( ( Re
`  ( x  +  ( _i  x.  y
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  (
x  +  ( _i  x.  y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )
3929, 38eqtr2d 2329 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) ) ^ 2 ) )
40 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( x  +  ( _i  x.  y
) )  ->  ( abs `  z )  =  ( abs `  (
x  +  ( _i  x.  y ) ) ) )
4140oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( x  +  ( _i  x.  y
) )  ->  (
( abs `  z
) ^ 2 )  =  ( ( abs `  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) ) ^ 2 ) )
4241eqeq2d 2307 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( x  +  ( _i  x.  y
) )  ->  (
( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  z ) ^ 2 )  <->  ( (
x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  =  ( ( abs `  (
x  +  ( _i  x.  y ) ) ) ^ 2 ) ) )
4342rspcev 2897 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  +  ( _i  x.  y ) )  e.  ZZ [
_i ]  /\  (
( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) ) ^ 2 ) )  ->  E. z  e.  ZZ [ _i ] 
( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  z ) ^ 2 ) )
4421, 39, 43syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  E. z  e.  ZZ [ _i ]  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  =  ( ( abs `  z
) ^ 2 ) )
4512sqlem1 20618 . . . . 5  |-  ( ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  e.  S  <->  E. z  e.  ZZ [ _i ] 
( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  z ) ^ 2 ) )
4644, 45sylibr 203 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  e.  S )
47 eleq1 2356 . . . 4  |-  ( A  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  ->  ( A  e.  S  <->  ( (
x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  e.  S ) )
4846, 47syl5ibrcom 213 . . 3  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( A  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  ->  A  e.  S
) )
4948rexlimivv 2685 . 2  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  A  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  ->  A  e.  S )
5020, 49impbii 180 1  |-  ( A  e.  S  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  A  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557    e. cmpt 4093   ran crn 4706   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   _ici 8755    + caddc 8756    x. cmul 8758   2c2 9811   ZZcz 10040   ^cexp 11120   Recre 11598   Imcim 11599   abscabs 11735   ZZ [ _i ]cgz 12992
This theorem is referenced by:  2sqlem5  20623  2sqlem7  20625  2sq  20631
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-gz 12993
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