Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqlem5 Unicode version

Theorem 2sqlem5 21021
 Description: Lemma for 2sq 21029. If a number that is a sum of two squares is divisible by a prime that is a sum of two squares, then the quotient is a sum of two squares. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sq.1
2sqlem5.1
2sqlem5.2
2sqlem5.3
2sqlem5.4
Assertion
Ref Expression
2sqlem5

Proof of Theorem 2sqlem5
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sqlem5.4 . . 3
2 2sq.1 . . . 4
322sqlem2 21017 . . 3
41, 3sylib 189 . 2
5 2sqlem5.3 . . 3
622sqlem2 21017 . . 3
75, 6sylib 189 . 2
8 reeanv 2820 . . 3
9 reeanv 2820 . . . . 5
10 2sqlem5.1 . . . . . . . . 9
1110ad2antrr 707 . . . . . . . 8
12 2sqlem5.2 . . . . . . . . 9
1312ad2antrr 707 . . . . . . . 8
14 simplrr 738 . . . . . . . 8
15 simprlr 740 . . . . . . . 8
16 simplrl 737 . . . . . . . 8
17 simprll 739 . . . . . . . 8
18 simprrr 742 . . . . . . . 8
19 simprrl 741 . . . . . . . 8
202, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 192sqlem4 21020 . . . . . . 7
2120expr 599 . . . . . 6
2221rexlimdvva 2782 . . . . 5
239, 22syl5bir 210 . . . 4
2423rexlimdvva 2782 . . 3
258, 24syl5bir 210 . 2
264, 7, 25mp2and 661 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1649   wcel 1717  wrex 2652   cmpt 4209   crn 4821  cfv 5396  (class class class)co 6022   caddc 8928   cmul 8930  cn 9934  c2 9983  cz 10216  cexp 11311  cabs 11968  cprime 13008  cgz 13226 This theorem is referenced by:  2sqlem6  21022 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-2o 6663  df-oadd 6666  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-sup 7383  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-rp 10547  df-fl 11131  df-mod 11180  df-seq 11253  df-exp 11312  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-dvds 12782  df-gcd 12936  df-prm 13009  df-gz 13227
 Copyright terms: Public domain W3C validator