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Theorem 2sqlem7 21023
Description: Lemma for 2sq 21029. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sq.1  |-  S  =  ran  ( w  e.  ZZ [ _i ]  |->  ( ( abs `  w
) ^ 2 ) )
2sqlem7.2  |-  Y  =  { z  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( ( x  gcd  y )  =  1  /\  z  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
2sqlem7  |-  Y  C_  ( S  i^i  NN )
Distinct variable groups:    x, w, y, z    x, S, y, z    x, Y, y
Allowed substitution hints:    S( w)    Y( z, w)

Proof of Theorem 2sqlem7
StepHypRef Expression
1 2sqlem7.2 . 2  |-  Y  =  { z  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( ( x  gcd  y )  =  1  /\  z  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) }
2 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  gcd  y
)  =  1  /\  z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )  ->  z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
32reximi 2758 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  ZZ  (
( x  gcd  y
)  =  1  /\  z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )  ->  E. y  e.  ZZ  z  =  ( (
x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )
43reximi 2758 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( x  gcd  y
)  =  1  /\  z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
5 2sq.1 . . . . . 6  |-  S  =  ran  ( w  e.  ZZ [ _i ]  |->  ( ( abs `  w
) ^ 2 ) )
652sqlem2 21017 . . . . 5  |-  ( z  e.  S  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
74, 6sylibr 204 . . . 4  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( x  gcd  y
)  =  1  /\  z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )  ->  z  e.  S
)
8 ax-1ne0 8994 . . . . . . . . . 10  |-  1  =/=  0
9 gcdeq0 12950 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( x  gcd  y )  =  0  <-> 
( x  =  0  /\  y  =  0 ) ) )
109adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  ( (
x  gcd  y )  =  0  <->  ( x  =  0  /\  y  =  0 ) ) )
11 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  ( x  gcd  y )  =  1 )
1211eqeq1d 2397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  ( (
x  gcd  y )  =  0  <->  1  = 
0 ) )
1310, 12bitr3d 247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  ( (
x  =  0  /\  y  =  0 )  <->  1  =  0 ) )
1413necon3bbid 2586 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  ( -.  ( x  =  0  /\  y  =  0
)  <->  1  =/=  0
) )
158, 14mpbiri 225 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  -.  (
x  =  0  /\  y  =  0 ) )
16 zsqcl2 11388 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x ^ 2 )  e.  NN0 )
1716ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  ( x ^ 2 )  e. 
NN0 )
1817nn0red 10209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  ( x ^ 2 )  e.  RR )
1917nn0ge0d 10211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  0  <_  ( x ^ 2 ) )
20 zsqcl2 11388 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
y ^ 2 )  e.  NN0 )
2120ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  ( y ^ 2 )  e. 
NN0 )
2221nn0red 10209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  ( y ^ 2 )  e.  RR )
2321nn0ge0d 10211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  0  <_  ( y ^ 2 ) )
24 add20 9474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x ^
2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( x ^ 2 ) )  /\  ( ( y ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_ 
( y ^ 2 ) ) )  -> 
( ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  0  <-> 
( ( x ^
2 )  =  0  /\  ( y ^
2 )  =  0 ) ) )
2518, 19, 22, 23, 24syl22anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  ( (
( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  0  <->  ( (
x ^ 2 )  =  0  /\  (
y ^ 2 )  =  0 ) ) )
26 zcn 10221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
2726ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  x  e.  CC )
28 zcn 10221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  CC )
2928ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  y  e.  CC )
30 sqeq0 11375 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( x ^ 2 )  =  0  <->  x  =  0 ) )
31 sqeq0 11375 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( y ^ 2 )  =  0  <->  y  =  0 ) )
3230, 31bi2anan9 844 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( x ^ 2 )  =  0  /\  ( y ^ 2 )  =  0 )  <->  ( x  =  0  /\  y  =  0 ) ) )
3327, 29, 32syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  ( (
( x ^ 2 )  =  0  /\  ( y ^ 2 )  =  0 )  <-> 
( x  =  0  /\  y  =  0 ) ) )
3425, 33bitrd 245 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  ( (
( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  0  <->  ( x  =  0  /\  y  =  0 ) ) )
3515, 34mtbird 293 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  -.  (
( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  0 )
36 nn0addcl 10189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  NN0  /\  ( y ^ 2 )  e.  NN0 )  ->  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  e.  NN0 )
3716, 20, 36syl2an 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  e.  NN0 )
3837adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  ( (
x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  e. 
NN0 )
39 elnn0 10157 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  e.  NN0  <->  ( ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  e.  NN  \/  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  =  0 ) )
4038, 39sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  ( (
( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  e.  NN  \/  (
( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  0 ) )
4140ord 367 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  ( -.  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  e.  NN  ->  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  0 ) )
4235, 41mt3d 119 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  ( (
x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  e.  NN )
43 eleq1 2449 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  ->  (
z  e.  NN  <->  ( (
x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  e.  NN ) )
4442, 43syl5ibrcom 214 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  ( z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  ->  z  e.  NN ) )
4544expimpd 587 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( ( x  gcd  y )  =  1  /\  z  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  ->  z  e.  NN ) )
4645rexlimivv 2780 . . . 4  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( x  gcd  y
)  =  1  /\  z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )  ->  z  e.  NN )
47 elin 3475 . . . 4  |-  ( z  e.  ( S  i^i  NN )  <->  ( z  e.  S  /\  z  e.  NN ) )
487, 46, 47sylanbrc 646 . . 3  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( x  gcd  y
)  =  1  /\  z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )  ->  z  e.  ( S  i^i  NN ) )
4948abssi 3363 . 2  |-  { z  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( ( x  gcd  y )  =  1  /\  z  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) }  C_  ( S  i^i  NN )
501, 49eqsstri 3323 1  |-  Y  C_  ( S  i^i  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   {cab 2375    =/= wne 2552   E.wrex 2652    i^i cin 3264    C_ wss 3265   class class class wbr 4155    e. cmpt 4209   ran crn 4821   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   CCcc 8923   RRcr 8924   0cc0 8925   1c1 8926    + caddc 8928    <_ cle 9056   NNcn 9934   2c2 9983   NN0cn0 10155   ZZcz 10216   ^cexp 11311   abscabs 11968    gcd cgcd 12935   ZZ [ _i ]cgz 13226
This theorem is referenced by:  2sqlem8  21025  2sqlem9  21026
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-sup 7383  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-rp 10547  df-seq 11253  df-exp 11312  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-dvds 12782  df-gcd 12936  df-gz 13227
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