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Theorem 2sqlem8 20627
Description: Lemma for 2sq 20631. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sq.1  |-  S  =  ran  ( w  e.  ZZ [ _i ]  |->  ( ( abs `  w
) ^ 2 ) )
2sqlem7.2  |-  Y  =  { z  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( ( x  gcd  y )  =  1  /\  z  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) }
2sqlem9.5  |-  ( ph  ->  A. b  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) A. a  e.  Y  ( b  ||  a  ->  b  e.  S ) )
2sqlem9.7  |-  ( ph  ->  M  ||  N )
2sqlem8.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
2sqlem8.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
2sqlem8.1  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
2sqlem8.2  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
2sqlem8.3  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  =  1 )
2sqlem8.4  |-  ( ph  ->  N  =  ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) ) )
2sqlem8.c  |-  C  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
2sqlem8.d  |-  D  =  ( ( ( B  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
2sqlem8.e  |-  E  =  ( C  /  ( C  gcd  D ) )
2sqlem8.f  |-  F  =  ( D  /  ( C  gcd  D ) )
Assertion
Ref Expression
2sqlem8  |-  ( ph  ->  M  e.  S )
Distinct variable groups:    a, b, w, x, y, z    A, a, x, y, z    x, C    ph, x, y    B, a, b, x, y    M, a, b, x, y, z    S, a, b, x, y, z    x, D    E, a, x, y, z    x, N, y, z    Y, a, b, x, y    F, a, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( z, w, a, b)    A( w, b)    B( z, w)    C( y, z, w, a, b)    D( y, z, w, a, b)    S( w)    E( w, b)    F( w, b)    M( w)    N( w, a, b)    Y( z, w)

Proof of Theorem 2sqlem8
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sq.1 . 2  |-  S  =  ran  ( w  e.  ZZ [ _i ]  |->  ( ( abs `  w
) ^ 2 ) )
2 2sqlem8.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
3 eluz2b3 10307 . . . 4  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( M  e.  NN  /\  M  =/=  1 ) )
42, 3sylib 188 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  M  =/=  1 ) )
54simpld 445 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
6 2sqlem9.7 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  ||  N )
7 eluzelz 10254 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  M  e.  ZZ )
82, 7syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
9 2sqlem8.n . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
109nnzd 10132 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
11 2sqlem8.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
12 2sqlem8.c . . . . . . . . . . . 12  |-  C  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
1311, 5, 124sqlem5 13005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ZZ  /\  ( ( A  -  C )  /  M
)  e.  ZZ ) )
1413simpld 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
15 zsqcl 11190 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ZZ  ->  ( C ^ 2 )  e.  ZZ )
1614, 15syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  ZZ )
17 2sqlem8.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
18 2sqlem8.d . . . . . . . . . . . 12  |-  D  =  ( ( ( B  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
1917, 5, 184sqlem5 13005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( D  e.  ZZ  /\  ( ( B  -  D )  /  M
)  e.  ZZ ) )
2019simpld 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
21 zsqcl 11190 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ZZ  ->  ( D ^ 2 )  e.  ZZ )
2220, 21syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( D ^ 2 )  e.  ZZ )
2316, 22zaddcld 10137 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) )  e.  ZZ )
2411, 5, 124sqlem8 13008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( A ^ 2 )  -  ( C ^
2 ) ) )
2517, 5, 184sqlem8 13008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( B ^ 2 )  -  ( D ^
2 ) ) )
26 zsqcl 11190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
2711, 26syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
2827, 16zsubcld 10138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  -  ( C ^ 2 ) )  e.  ZZ )
29 zsqcl 11190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( B ^ 2 )  e.  ZZ )
3017, 29syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  e.  ZZ )
3130, 22zsubcld 10138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( B ^
2 )  -  ( D ^ 2 ) )  e.  ZZ )
32 dvds2add 12576 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( C ^ 2 ) )  e.  ZZ  /\  (
( B ^ 2 )  -  ( D ^ 2 ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( M  ||  ( ( A ^
2 )  -  ( C ^ 2 ) )  /\  M  ||  (
( B ^ 2 )  -  ( D ^ 2 ) ) )  ->  M  ||  (
( ( A ^
2 )  -  ( C ^ 2 ) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( D ^ 2 ) ) ) ) )
338, 28, 31, 32syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  ||  ( ( A ^
2 )  -  ( C ^ 2 ) )  /\  M  ||  (
( B ^ 2 )  -  ( D ^ 2 ) ) )  ->  M  ||  (
( ( A ^
2 )  -  ( C ^ 2 ) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( D ^ 2 ) ) ) ) )
3424, 25, 33mp2and 660 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( C ^ 2 ) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( D ^ 2 ) ) ) )
35 2sqlem8.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  =  ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) ) )
3635oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  -  (
( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) )
3727zcnd 10134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
3830zcnd 10134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
3916zcnd 10134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  CC )
4022zcnd 10134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( D ^ 2 )  e.  CC )
4137, 38, 39, 40addsub4d 9220 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  (
( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( C ^ 2 ) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( D ^ 2 ) ) ) )
4236, 41eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  -  (
( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( C ^ 2 ) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( D ^ 2 ) ) ) )
4334, 42breqtrrd 4065 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  ||  ( N  -  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) )
44 dvdssub2 12582 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) )  e.  ZZ )  /\  M  ||  ( N  -  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) )  ->  ( M  ||  N 
<->  M  ||  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) ) ) )
458, 10, 23, 43, 44syl31anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M  ||  N  <->  M 
||  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) )
466, 45mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) ) )
47 2sqlem7.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  Y  =  { z  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( ( x  gcd  y )  =  1  /\  z  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) }
48 2sqlem9.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. b  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) A. a  e.  Y  ( b  ||  a  ->  b  e.  S ) )
49 2sqlem8.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  =  1 )
501, 47, 48, 6, 9, 2, 11, 17, 49, 35, 12, 182sqlem8a 20626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  D
)  e.  NN )
5150nnzd 10132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  D
)  e.  ZZ )
52 zsqcl2 11197 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  gcd  D )  e.  ZZ  ->  (
( C  gcd  D
) ^ 2 )  e.  NN0 )
5351, 52syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D ) ^ 2 )  e.  NN0 )
5453nn0cnd 10036 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D ) ^ 2 )  e.  CC )
55 2sqlem8.e . . . . . . . . . . 11  |-  E  =  ( C  /  ( C  gcd  D ) )
56 gcddvds 12710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( ( C  gcd  D )  ||  C  /\  ( C  gcd  D ) 
||  D ) )
5714, 20, 56syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  ||  C  /\  ( C  gcd  D ) 
||  D ) )
5857simpld 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  D
)  ||  C )
5950nnne0d 9806 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  D
)  =/=  0 )
60 dvdsval2 12550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  gcd  D
)  e.  ZZ  /\  ( C  gcd  D )  =/=  0  /\  C  e.  ZZ )  ->  (
( C  gcd  D
)  ||  C  <->  ( C  /  ( C  gcd  D ) )  e.  ZZ ) )
6151, 59, 14, 60syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  ||  C  <->  ( C  /  ( C  gcd  D ) )  e.  ZZ ) )
6258, 61mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C  /  ( C  gcd  D ) )  e.  ZZ )
6355, 62syl5eqel 2380 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E  e.  ZZ )
64 zsqcl2 11197 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  e.  ZZ  ->  ( E ^ 2 )  e. 
NN0 )
6563, 64syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  NN0 )
6665nn0cnd 10036 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  CC )
67 2sqlem8.f . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( D  /  ( C  gcd  D ) )
6857simprd 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  D
)  ||  D )
69 dvdsval2 12550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  gcd  D
)  e.  ZZ  /\  ( C  gcd  D )  =/=  0  /\  D  e.  ZZ )  ->  (
( C  gcd  D
)  ||  D  <->  ( D  /  ( C  gcd  D ) )  e.  ZZ ) )
7051, 59, 20, 69syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  ||  D  <->  ( D  /  ( C  gcd  D ) )  e.  ZZ ) )
7168, 70mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( D  /  ( C  gcd  D ) )  e.  ZZ )
7267, 71syl5eqel 2380 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ZZ )
73 zsqcl2 11197 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ZZ  ->  ( F ^ 2 )  e. 
NN0 )
7472, 73syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  NN0 )
7574nn0cnd 10036 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  CC )
7654, 66, 75adddid 8875 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D ) ^
2 )  x.  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( C  gcd  D ) ^ 2 )  x.  ( E ^
2 ) )  +  ( ( ( C  gcd  D ) ^
2 )  x.  ( F ^ 2 ) ) ) )
7751zcnd 10134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  D
)  e.  CC )
7863zcnd 10134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
7977, 78sqmuld 11273 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D )  x.  E ) ^ 2 )  =  ( ( ( C  gcd  D
) ^ 2 )  x.  ( E ^
2 ) ) )
8055oveq2i 5885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  gcd  D )  x.  E )  =  ( ( C  gcd  D )  x.  ( C  /  ( C  gcd  D ) ) )
8114zcnd 10134 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
8281, 77, 59divcan2d 9554 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  x.  ( C  /  ( C  gcd  D ) ) )  =  C )
8380, 82syl5eq 2340 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  x.  E )  =  C )
8483oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D )  x.  E ) ^ 2 )  =  ( C ^ 2 ) )
8579, 84eqtr3d 2330 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D ) ^
2 )  x.  ( E ^ 2 ) )  =  ( C ^
2 ) )
8672zcnd 10134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  CC )
8777, 86sqmuld 11273 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D )  x.  F ) ^ 2 )  =  ( ( ( C  gcd  D
) ^ 2 )  x.  ( F ^
2 ) ) )
8867oveq2i 5885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  gcd  D )  x.  F )  =  ( ( C  gcd  D )  x.  ( D  /  ( C  gcd  D ) ) )
8920zcnd 10134 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
9089, 77, 59divcan2d 9554 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  x.  ( D  /  ( C  gcd  D ) ) )  =  D )
9188, 90syl5eq 2340 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  x.  F )  =  D )
9291oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D )  x.  F ) ^ 2 )  =  ( D ^ 2 ) )
9387, 92eqtr3d 2330 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D ) ^
2 )  x.  ( F ^ 2 ) )  =  ( D ^
2 ) )
9485, 93oveq12d 5892 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( C  gcd  D ) ^ 2 )  x.  ( E ^ 2 ) )  +  ( ( ( C  gcd  D ) ^ 2 )  x.  ( F ^
2 ) ) )  =  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )
9576, 94eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D ) ^
2 )  x.  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  =  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) ) )
9646, 95breqtrrd 4065 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( ( C  gcd  D
) ^ 2 )  x.  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) )
97 zsqcl 11190 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  gcd  D )  e.  ZZ  ->  (
( C  gcd  D
) ^ 2 )  e.  ZZ )
9851, 97syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D ) ^ 2 )  e.  ZZ )
99 gcdcom 12715 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( ( C  gcd  D ) ^ 2 )  e.  ZZ )  -> 
( M  gcd  (
( C  gcd  D
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( C  gcd  D
) ^ 2 )  gcd  M ) )
1008, 98, 99syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  gcd  (
( C  gcd  D
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( C  gcd  D
) ^ 2 )  gcd  M ) )
101 gcddvds 12710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( C  gcd  D
)  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  ( C  gcd  D )  /\  ( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  M ) )
10251, 8, 101syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  ( C  gcd  D )  /\  ( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  M ) )
103102simpld 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  ( C  gcd  D ) )
10451, 8gcdcld 12713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M )  e.  NN0 )
105104nn0zd 10131 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M )  e.  ZZ )
106 dvdstr 12578 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( C  gcd  D )  gcd  M )  e.  ZZ  /\  ( C  gcd  D )  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  ( C  gcd  D )  /\  ( C  gcd  D ) 
||  C )  -> 
( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  C ) )
107105, 51, 14, 106syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( C  gcd  D )  gcd  M )  ||  ( C  gcd  D )  /\  ( C  gcd  D )  ||  C )  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  C
) )
108103, 58, 107mp2and 660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  C )
109102simprd 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  M )
11013simprd 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  C )  /  M
)  e.  ZZ )
1115nnne0d 9806 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
11211, 14zsubcld 10138 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  -  C
)  e.  ZZ )
113 dvdsval2 12550 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0  /\  ( A  -  C )  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  ( A  -  C )  <->  ( ( A  -  C )  /  M )  e.  ZZ ) )
1148, 111, 112, 113syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  ||  ( A  -  C )  <->  ( ( A  -  C
)  /  M )  e.  ZZ ) )
115110, 114mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  ||  ( A  -  C ) )
116 dvdstr 12578 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( C  gcd  D )  gcd  M )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  ( A  -  C )  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  M  /\  M  ||  ( A  -  C ) )  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  ( A  -  C )
) )
117105, 8, 112, 116syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( C  gcd  D )  gcd  M )  ||  M  /\  M  ||  ( A  -  C )
)  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  ( A  -  C )
) )
118109, 115, 117mp2and 660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  ( A  -  C ) )
119 dvdssub2 12582 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  ( A  -  C ) )  -> 
( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  A  <->  ( ( C  gcd  D
)  gcd  M )  ||  C ) )
120105, 11, 14, 118, 119syl31anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  A  <->  ( ( C  gcd  D
)  gcd  M )  ||  C ) )
121108, 120mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  A )
122 dvdstr 12578 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( C  gcd  D )  gcd  M )  e.  ZZ  /\  ( C  gcd  D )  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  ( C  gcd  D )  /\  ( C  gcd  D ) 
||  D )  -> 
( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  D ) )
123105, 51, 20, 122syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( C  gcd  D )  gcd  M )  ||  ( C  gcd  D )  /\  ( C  gcd  D )  ||  D )  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  D
) )
124103, 68, 123mp2and 660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  D )
12519simprd 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  D )  /  M
)  e.  ZZ )
12617, 20zsubcld 10138 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( B  -  D
)  e.  ZZ )
127 dvdsval2 12550 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0  /\  ( B  -  D )  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  ( B  -  D )  <->  ( ( B  -  D )  /  M )  e.  ZZ ) )
1288, 111, 126, 127syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  ||  ( B  -  D )  <->  ( ( B  -  D
)  /  M )  e.  ZZ ) )
129125, 128mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  ||  ( B  -  D ) )
130 dvdstr 12578 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( C  gcd  D )  gcd  M )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  ( B  -  D )  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  M  /\  M  ||  ( B  -  D ) )  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  ( B  -  D )
) )
131105, 8, 126, 130syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( C  gcd  D )  gcd  M )  ||  M  /\  M  ||  ( B  -  D )
)  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  ( B  -  D )
) )
132109, 129, 131mp2and 660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  ( B  -  D ) )
133 dvdssub2 12582 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  ( B  -  D ) )  -> 
( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  B  <->  ( ( C  gcd  D
)  gcd  M )  ||  D ) )
134105, 17, 20, 132, 133syl31anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  B  <->  ( ( C  gcd  D
)  gcd  M )  ||  D ) )
135124, 134mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  B )
136 ax-1ne0 8822 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  =/=  0
137136a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  =/=  0 )
13849, 137eqnetrd 2477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  =/=  0 )
139138neneqd 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  ( A  gcd  B )  =  0 )
140 gcdeq0 12716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  =  0  <->  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) ) )
14111, 17, 140syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A  gcd  B )  =  0  <->  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) ) )
142139, 141mtbid 291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )
143 dvdslegcd 12711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )  -> 
( ( ( ( C  gcd  D )  gcd  M )  ||  A  /\  ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  B
)  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  <_  ( A  gcd  B ) ) )
144105, 11, 17, 142, 143syl31anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( C  gcd  D )  gcd  M )  ||  A  /\  ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  B
)  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  <_  ( A  gcd  B ) ) )
145121, 135, 144mp2and 660 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M )  <_  ( A  gcd  B ) )
146145, 49breqtrd 4063 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M )  <_  1 )
147 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  gcd  D
)  =  0  /\  M  =  0 )  ->  M  =  0 )
148147necon3ai 2499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  =/=  0  ->  -.  ( ( C  gcd  D )  =  0  /\  M  =  0 ) )
149111, 148syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  ( ( C  gcd  D )  =  0  /\  M  =  0 ) )
150 gcdn0cl 12709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  gcd  D )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  -.  ( ( C  gcd  D )  =  0  /\  M  =  0 ) )  -> 
( ( C  gcd  D )  gcd  M )  e.  NN )
15151, 8, 149, 150syl21anc 1181 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M )  e.  NN )
152 nnle1eq1 9790 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  gcd  D
)  gcd  M )  e.  NN  ->  ( (
( C  gcd  D
)  gcd  M )  <_  1  <->  ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  =  1 ) )
153151, 152syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  <_  1  <->  ( ( C  gcd  D
)  gcd  M )  =  1 ) )
154146, 153mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M )  =  1 )
155 2nn 9893 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN
156155a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  e.  NN )
157 rplpwr 12751 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  gcd  D
)  e.  NN  /\  M  e.  NN  /\  2  e.  NN )  ->  (
( ( C  gcd  D )  gcd  M )  =  1  ->  (
( ( C  gcd  D ) ^ 2 )  gcd  M )  =  1 ) )
15850, 5, 156, 157syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  =  1  ->  ( ( ( C  gcd  D ) ^ 2 )  gcd 
M )  =  1 ) )
159154, 158mpd 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D ) ^
2 )  gcd  M
)  =  1 )
160100, 159eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  gcd  (
( C  gcd  D
) ^ 2 ) )  =  1 )
16165, 74nn0addcld 10038 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  NN0 )
162161nn0zd 10131 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  ZZ )
163 coprmdvds 12797 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( ( C  gcd  D ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( M  ||  ( ( ( C  gcd  D ) ^
2 )  x.  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  /\  ( M  gcd  ( ( C  gcd  D ) ^
2 ) )  =  1 )  ->  M  ||  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) )
1648, 98, 162, 163syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  ||  ( ( ( C  gcd  D ) ^
2 )  x.  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  /\  ( M  gcd  ( ( C  gcd  D ) ^
2 ) )  =  1 )  ->  M  ||  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) )
16596, 160, 164mp2and 660 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) )
166 dvdsval2 12550 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0  /\  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  ZZ )  -> 
( M  ||  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  <-> 
( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  e.  ZZ ) )
1678, 111, 162, 166syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  ||  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  <-> 
( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  e.  ZZ ) )
168165, 167mpbid 201 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  e.  ZZ )
16965nn0red 10035 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  RR )
17074nn0red 10035 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  RR )
171169, 170readdcld 8878 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  RR )
1725nnred 9777 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
1731, 472sqlem7 20625 . . . . . . 7  |-  Y  C_  ( S  i^i  NN )
174 inss2 3403 . . . . . . 7  |-  ( S  i^i  NN )  C_  NN
175173, 174sstri 3201 . . . . . 6  |-  Y  C_  NN
17677mulid1d 8868 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  x.  1 )  =  ( C  gcd  D ) )
17783, 91oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D )  x.  E )  gcd  (
( C  gcd  D
)  x.  F ) )  =  ( C  gcd  D ) )
17814, 20gcdcld 12713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  D
)  e.  NN0 )
179 mulgcd 12741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  gcd  D
)  e.  NN0  /\  E  e.  ZZ  /\  F  e.  ZZ )  ->  (
( ( C  gcd  D )  x.  E )  gcd  ( ( C  gcd  D )  x.  F ) )  =  ( ( C  gcd  D )  x.  ( E  gcd  F ) ) )
180178, 63, 72, 179syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D )  x.  E )  gcd  (
( C  gcd  D
)  x.  F ) )  =  ( ( C  gcd  D )  x.  ( E  gcd  F ) ) )
181176, 177, 1803eqtr2rd 2335 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  x.  ( E  gcd  F ) )  =  ( ( C  gcd  D )  x.  1 ) )
18263, 72gcdcld 12713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E  gcd  F
)  e.  NN0 )
183182nn0cnd 10036 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E  gcd  F
)  e.  CC )
184 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
185184a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
186183, 185, 77, 59mulcand 9417 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D )  x.  ( E  gcd  F
) )  =  ( ( C  gcd  D
)  x.  1 )  <-> 
( E  gcd  F
)  =  1 ) )
187181, 186mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E  gcd  F
)  =  1 )
188 eqidd 2297 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) )
189 oveq1 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  E  ->  (
x  gcd  y )  =  ( E  gcd  y ) )
190189eqeq1d 2304 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  E  ->  (
( x  gcd  y
)  =  1  <->  ( E  gcd  y )  =  1 ) )
191 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  E  ->  (
x ^ 2 )  =  ( E ^
2 ) )
192191oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  E  ->  (
( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
193192eqeq2d 2307 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  E  ->  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  <->  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) )
194190, 193anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  E  ->  (
( ( x  gcd  y )  =  1  /\  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  <->  ( ( E  gcd  y )  =  1  /\  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  =  ( ( E ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) ) )
195 oveq2 5882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  F  ->  ( E  gcd  y )  =  ( E  gcd  F
) )
196195eqeq1d 2304 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  F  ->  (
( E  gcd  y
)  =  1  <->  ( E  gcd  F )  =  1 ) )
197 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  F  ->  (
y ^ 2 )  =  ( F ^
2 ) )
198197oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  F  ->  (
( E ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )
199198eqeq2d 2307 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  F  ->  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  <->  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) )
200196, 199anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  F  ->  (
( ( E  gcd  y )  =  1  /\  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  <->  ( ( E  gcd  F )  =  1  /\  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  =  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) ) )
201194, 200rspc2ev 2905 . . . . . . . 8  |-  ( ( E  e.  ZZ  /\  F  e.  ZZ  /\  (
( E  gcd  F
)  =  1  /\  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( ( x  gcd  y )  =  1  /\  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) )
20263, 72, 187, 188, 201syl112anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( x  gcd  y
)  =  1  /\  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) ) )
203 ovex 5899 . . . . . . . 8  |-  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  e. 
_V
204 eqeq1 2302 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  ->  (
z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  <->  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) )
205204anbi2d 684 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  ->  (
( ( x  gcd  y )  =  1  /\  z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  <->  ( ( x  gcd  y )  =  1  /\  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) ) )
2062052rexbidv 2599 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( x  gcd  y
)  =  1  /\  z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( x  gcd  y
)  =  1  /\  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) ) ) )
207203, 206, 47elab2 2930 . . . . . . 7  |-  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  Y  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( ( x  gcd  y )  =  1  /\  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) )
208202, 207sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  Y )
209175, 208sseldi 3191 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  NN )
210209nngt0d 9805 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) )
2115nngt0d 9805 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  M )
212171, 172, 210, 211divgt0d 9708 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) )
213 elnnz 10050 . . 3  |-  ( ( ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M )  e.  NN  <->  ( (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M )  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
) ) )
214168, 212, 213sylanbrc 645 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  e.  NN )
215 prmnn 12777 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  NN )
216215ad2antrl 708 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  p  e.  NN )
217216nnred 9777 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  p  e.  RR )
218168adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M )  e.  ZZ )
219218zred 10133 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M )  e.  RR )
220 peano2zm 10078 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
2218, 220syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
222221zred 10133 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  e.  RR )
223222adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  ( M  -  1 )  e.  RR )
224 simprr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  p  ||  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
) )
225 prmz 12778 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ZZ )
226225ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  p  e.  ZZ )
227214adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M )  e.  NN )
228 dvdsle 12590 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  e.  NN )  ->  ( p  ||  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  ->  p  <_  ( ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )
229226, 227, 228syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  (
p  ||  ( (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M )  ->  p  <_  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  /  M ) ) )
230224, 229mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  p  <_  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
) )
231 zsqcl 11190 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ^ 2 )  e.  ZZ )
2328, 231syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  e.  ZZ )
233232zred 10133 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  e.  RR )
234233rehalfcld 9974 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  /  2
)  e.  RR )
23516zred 10133 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  RR )
23622zred 10133 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( D ^ 2 )  e.  RR )
237235, 236readdcld 8878 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) )  e.  RR )
238 1re 8853 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR
239238a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
24050nnsqcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D ) ^ 2 )  e.  NN )
241240nnred 9777 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D ) ^ 2 )  e.  RR )
242161nn0ge0d 10037 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )
243240nnge1d 9804 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  1  <_  ( ( C  gcd  D ) ^
2 ) )
244239, 241, 171, 242, 243lemul1ad 9712 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  <_  ( (
( C  gcd  D
) ^ 2 )  x.  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) )
245161nn0cnd 10036 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  CC )
246245mulid2d 8869 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) )
247244, 246, 953brtr3d 4068 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  <_  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )
248234rehalfcld 9974 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  e.  RR )
24911, 5, 124sqlem7 13007 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) )
25017, 5, 184sqlem7 13007 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( D ^ 2 )  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) )
251235, 236, 248, 248, 249, 250le2addd 9406 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) )  <_  ( (
( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  +  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 ) ) )
252234recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  /  2
)  e.  CC )
2532522halvesd 9973 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  +  ( ( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 ) )  =  ( ( M ^ 2 )  /  2 ) )
254251, 253breqtrd 4063 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) )  <_  ( ( M ^ 2 )  / 
2 ) )
255171, 237, 234, 247, 254letrd 8989 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  <_  ( ( M ^ 2 )  / 
2 ) )
2565nnsqcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  e.  NN )
257256nnrpd 10405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  e.  RR+ )
258 rphalflt 10396 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M ^ 2 )  e.  RR+  ->  ( ( M ^ 2 )  /  2 )  < 
( M ^ 2 ) )
259257, 258syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  /  2
)  <  ( M ^ 2 ) )
260171, 234, 233, 255, 259lelttrd 8990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  <  ( M ^ 2 ) )
2618zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
262261sqvald 11258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  =  ( M  x.  M ) )
263260, 262breqtrd 4063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  <  ( M  x.  M ) )
264 ltdivmul 9644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  ( M  e.  RR  /\  0  <  M ) )  -> 
( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  /  M )  <  M  <->  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  <  ( M  x.  M ) ) )
265171, 172, 172, 211, 264syl112anc 1186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  /  M )  <  M  <->  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  <  ( M  x.  M ) ) )
266263, 265mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  <  M )
267 zltlem1 10086 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  /  M )  <  M  <->  ( ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M )  <_  ( M  - 
1 ) ) )
268168, 8, 267syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  /  M )  <  M  <->  ( ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M )  <_  ( M  - 
1 ) ) )
269266, 268mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  <_  ( M  -  1 ) )
270269adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M )  <_  ( M  - 
1 ) )
271217, 219, 223, 230, 270letrd 8989 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  p  <_  ( M  -  1 ) )
272221adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
273 fznn 10868 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  -  1 )  e.  ZZ  ->  (
p  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) )  <->  ( p  e.  NN  /\  p  <_ 
( M  -  1 ) ) ) )
274272, 273syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  (
p  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) )  <->  ( p  e.  NN  /\  p  <_ 
( M  -  1 ) ) ) )
275216, 271, 274mpbir2and 888 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  p  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )
276208adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  Y )
277275, 276jca 518 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  (
p  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) )  /\  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  Y ) )
27848adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  A. b  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) A. a  e.  Y  ( b  ||  a  ->  b  e.  S
) )
279 dvdsmul2 12567 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  /  M )  ||  ( M  x.  ( (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )
2808, 168, 279syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  ||  ( M  x.  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
) ) )
281245, 261, 111divcan2d 9554 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  x.  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) )  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) )
282280, 281breqtrd 4063 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  ||  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )
283282adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) 
||  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )
284162adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  ZZ )
285 dvdstr 12578 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  e.  ZZ  /\  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( p 
||  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  /  M )  /\  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) 
||  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  ->  p  ||  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) )
286226, 218, 284, 285syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  (
( p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M )  /\  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  /  M )  ||  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  ->  p  ||  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) )
287224, 283, 286mp2and 660 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  p  ||  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )
288 breq1 4042 . . . . . . 7  |-  ( b  =  p  ->  (
b  ||  a  <->  p  ||  a
) )
289 eleq1 2356 . . . . . . 7  |-  ( b  =  p  ->  (
b  e.  S  <->  p  e.  S ) )
290288, 289imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( b  =  p  ->  (
( b  ||  a  ->  b  e.  S )  <-> 
( p  ||  a  ->  p  e.  S ) ) )
291 breq2 4043 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  ->  (
p  ||  a  <->  p  ||  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) )
292291imbi1d 308 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  ->  (
( p  ||  a  ->  p  e.  S )  <-> 
( p  ||  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  ->  p  e.  S
) ) )
293290, 292rspc2v 2903 . . . . 5  |-  ( ( p  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) )  /\  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  Y )  ->  ( A. b  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) A. a  e.  Y  ( b  ||  a  ->  b  e.  S
)  ->  ( p  ||  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  ->  p  e.  S ) ) )
294277, 278, 287, 293syl3c 57 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  p  e.  S )
295294expr 598 . . 3  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  ||  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  ->  p  e.  S ) )
296295ralrimiva 2639 . 2  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M )  ->  p  e.  S )
)
297 inss1 3402 . . . . 5  |-  ( S  i^i  NN )  C_  S
298173, 297sstri 3201 . . . 4  |-  Y  C_  S
299298, 208sseldi 3191 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  S )
300281, 299eqeltrd 2370 . 2  |-  ( ph  ->  ( M  x.  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) )  e.  S )
3011, 5, 214, 296, 3002sqlem6 20624 1  |-  ( ph  ->  M  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    i^i cin 3164   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ran crn 4706   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370   ...cfz 10798    mod cmo 10989   ^cexp 11120   abscabs 11735    || cdivides 12547    gcd cgcd 12701   Primecprime 12774   ZZ [ _i ]cgz 12992
This theorem is referenced by:  2sqlem9  20628
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-prm 12775  df-gz 12993
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