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Theorem 2vmadivsumlem 21224
Description: Lemma for 2vmadivsum 21225. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
2vmadivsum.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
2vmadivsum.2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo )
( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  i )  /  i )  -  ( log `  y ) ) )  <_  A
)
Assertion
Ref Expression
2vmadivsumlem  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x
)  /  2 ) ) )  e.  O
( 1 ) )
Distinct variable groups:    i, m, n, x, y, A    ph, m, n, x
Allowed substitution hints:    ph( y, i)

Proof of Theorem 2vmadivsumlem
StepHypRef Expression
1 vmalogdivsum2 21222 . . 3  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  e.  O ( 1 )
21a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  e.  O ( 1 ) )
3 fzfid 11302 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
4 elfznn 11070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
54adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
6 vmacl 20891 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
75, 6syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  RR )
87, 5nndivred 10038 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  RR )
9 fzfid 11302 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  e. 
Fin )
10 elfznn 11070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) )  ->  m  e.  NN )
1110adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
12 vmacl 20891 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  (Λ `  m )  e.  RR )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  ->  (Λ `  m
)  e.  RR )
1413, 11nndivred 10038 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (Λ `  m )  /  m
)  e.  RR )
159, 14fsumrecl 12518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  e.  RR )
168, 15remulcld 9106 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
) )  e.  RR )
173, 16fsumrecl 12518 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  e.  RR )
18 elioore 10936 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  ->  x  e.  RR )
1918adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  x  e.  RR )
20 eliooord 10960 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  ->  (
1  <  x  /\  x  <  +oo ) )
2120adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
1  <  x  /\  x  <  +oo ) )
2221simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  <  x )
2319, 22rplogcld 20514 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR+ )
2417, 23rerpdivcld 10665 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
25 1rp 10606 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR+
2625a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  e.  RR+ )
2726rpred 10638 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  e.  RR )
2827, 19, 22ltled 9211 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  <_  x )
2919, 26, 28rpgecld 10673 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  x  e.  RR+ )
3029relogcld 20508 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
3130rehalfcld 10204 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  /  2 )  e.  RR )
3224, 31resubcld 9455 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x
)  /  2 ) )  e.  RR )
3332recnd 9104 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x
)  /  2 ) )  e.  CC )
3429adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
355nnrpd 10637 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
3634, 35rpdivcld 10655 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR+ )
3736relogcld 20508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
388, 37remulcld 9106 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) )  e.  RR )
393, 38fsumrecl 12518 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  e.  RR )
4039, 23rerpdivcld 10665 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
4140, 31resubcld 9455 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) )  e.  RR )
4241recnd 9104 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) )  e.  CC )
4317recnd 9104 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  e.  CC )
4439recnd 9104 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  e.  CC )
4530recnd 9104 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  CC )
4623rpne0d 10643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  =/=  0 )
4743, 44, 45, 46divsubdird 9819 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  / 
( log `  x
) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) ) ) )
488recnd 9104 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  CC )
4915recnd 9104 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  e.  CC )
5037recnd 9104 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
5148, 49, 50subdid 9479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  =  ( ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  -  ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )
5251sumeq2dv 12487 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  -  ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )
5316recnd 9104 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
) )  e.  CC )
5438recnd 9104 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) )  e.  CC )
553, 53, 54fsumsub 12561 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  -  ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )
5652, 55eqtrd 2467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )
5756oveq1d 6088 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  / 
( log `  x
) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  / 
( log `  x
) ) )
5824recnd 9104 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  /  ( log `  x ) )  e.  CC )
5940recnd 9104 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  e.  CC )
6031recnd 9104 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  /  2 )  e.  CC )
6158, 59, 60nnncan2d 9436 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x
)  /  2 ) )  -  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) ) ) )
6247, 57, 613eqtr4d 2477 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  / 
( log `  x
) )  =  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x
)  /  2 ) )  -  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) ) )
6362mpteq2dva 4287 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  / 
( log `  x
) ) )  =  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) )  -  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) ) ) )
64 1re 9080 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
6564a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
663, 8fsumrecl 12518 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  e.  RR )
6766, 23rerpdivcld 10665 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
68 2vmadivsum.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
6968rpred 10638 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
7069adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  A  e.  RR )
71 ioossre 10962 . . . . . . . 8  |-  ( 1 (,)  +oo )  C_  RR
7265recnd 9104 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
73 o1const 12403 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1 (,)  +oo )  C_  RR  /\  1  e.  CC )  ->  (
x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  1 )  e.  O ( 1 ) )
7471, 72, 73sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  1 )  e.  O
( 1 ) )
7567recnd 9104 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  /  ( log `  x ) )  e.  CC )
7627recnd 9104 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  e.  CC )
7766recnd 9104 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  e.  CC )
7877, 45, 45, 46divsubdird 9819 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  /  ( log `  x ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x
)  /  ( log `  x ) ) ) )
7977, 45subcld 9401 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  ( log `  x ) )  e.  CC )
8079, 45, 46divrecd 9783 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  /  ( log `  x ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( log `  x ) )  x.  ( 1  /  ( log `  x ) ) ) )
8145, 46dividd 9778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  /  ( log `  x ) )  =  1 )
8281oveq2d 6089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) )  -  (
( log `  x
)  /  ( log `  x ) ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  /  ( log `  x ) )  - 
1 ) )
8378, 80, 823eqtr3d 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  x.  (
1  /  ( log `  x ) ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  /  ( log `  x ) )  - 
1 ) )
8483mpteq2dva 4287 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  x.  (
1  /  ( log `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  /  ( log `  x ) )  -  1 ) ) )
8566, 30resubcld 9455 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  ( log `  x ) )  e.  RR )
8627, 23rerpdivcld 10665 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
1  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
8729ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  ->  x  e.  RR+ )
)
8887ssrdv 3346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1 (,)  +oo )  C_  RR+ )
89 vmadivsum 21166 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  e.  O ( 1 )
9089a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  e.  O ( 1 ) )
9188, 90o1res2 12347 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  e.  O ( 1 ) )
92 divlogrlim 20516 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  |->  ( 1  /  ( log `  x
) ) )  ~~> r  0
93 rlimo1 12400 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( 1  /  ( log `  x
) ) )  ~~> r  0  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( 1  / 
( log `  x
) ) )  e.  O ( 1 ) )
9492, 93mp1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( 1  /  ( log `  x ) ) )  e.  O ( 1 ) )
9585, 86, 91, 94o1mul2 12408 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  x.  (
1  /  ( log `  x ) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
9684, 95eqeltrrd 2510 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) )  -  1 ) )  e.  O
( 1 ) )
9775, 76, 96o1dif 12413 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) ) )  e.  O ( 1 )  <-> 
( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  1 )  e.  O
( 1 ) ) )
9874, 97mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) ) )  e.  O ( 1 ) )
9969recnd 9104 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
100 o1const 12403 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 (,)  +oo )  C_  RR  /\  A  e.  CC )  ->  (
x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  A )  e.  O ( 1 ) )
10171, 99, 100sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  A )  e.  O
( 1 ) )
10267, 70, 98, 101o1mul2 12408 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) )  x.  A
) )  e.  O
( 1 ) )
10367, 70remulcld 9106 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) )  x.  A
)  e.  RR )
10415, 37resubcld 9455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) )  e.  RR )
1058, 104remulcld 9106 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  e.  RR )
1063, 105fsumrecl 12518 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  e.  RR )
107106recnd 9104 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  e.  CC )
108107, 45, 46divcld 9780 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  / 
( log `  x
) )  e.  CC )
109107abscld 12228 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  e.  RR )
11066, 70remulcld 9106 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  A
)  e.  RR )
111105recnd 9104 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  e.  CC )
112111abscld 12228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  e.  RR )
1133, 112fsumrecl 12518 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  e.  RR )
1143, 111fsumabs 12570 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( abs `  (
( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) ) )
11570adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  A  e.  RR )
1168, 115remulcld 9106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  A
)  e.  RR )
117104recnd 9104 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) )  e.  CC )
11848, 117absmuld 12246 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( (Λ `  n
)  /  n ) )  x.  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) ) )
119 vmage0 20894 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  (Λ `  n )
)
1205, 119syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  (Λ `  n ) )
1217, 35, 120divge0d 10674 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( (Λ `  n )  /  n ) )
1228, 121absidd 12215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( (Λ `  n
)  /  n ) )  =  ( (Λ `  n )  /  n
) )
123122oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( (Λ `  n
)  /  n ) )  x.  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  =  ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) ) )
124118, 123eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  =  ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) ) )
125117abscld 12228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  e.  RR )
12636rpred 10638 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR )
1275nncnd 10006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  CC )
128127mulid2d 9096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  x.  n )  =  n )
129 fznnfl 11233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  <->  ( n  e.  NN  /\  n  <_  x ) ) )
13019, 129syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  <->  ( n  e.  NN  /\  n  <_  x ) ) )
131130simplbda 608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  <_  x )
132128, 131eqbrtrd 4224 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  x.  n )  <_  x )
13364a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  RR )
13419adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR )
135133, 134, 35lemuldivd 10683 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
1  x.  n )  <_  x  <->  1  <_  ( x  /  n ) ) )
136132, 135mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  <_  ( x  /  n ) )
137 elicopnf 10990 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
( x  /  n
)  e.  ( 1 [,)  +oo )  <->  ( (
x  /  n )  e.  RR  /\  1  <_  ( x  /  n
) ) ) )
13864, 137ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  /  n )  e.  ( 1 [,) 
+oo )  <->  ( (
x  /  n )  e.  RR  /\  1  <_  ( x  /  n
) ) )
139126, 136, 138sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  ( 1 [,)  +oo )
)
140 2vmadivsum.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo )
( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  i )  /  i )  -  ( log `  y ) ) )  <_  A
)
141140ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  i )  /  i )  -  ( log `  y ) ) )  <_  A
)
142 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  =  m  ->  (Λ `  i )  =  (Λ `  m ) )
143 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  =  m  ->  i  =  m )
144142, 143oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  =  m  ->  (
(Λ `  i )  / 
i )  =  ( (Λ `  m )  /  m ) )
145144cbvsumv 12480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  i
)  /  i )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )
146 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  ( |_ `  y )  =  ( |_ `  (
x  /  n ) ) )
147146oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  (
1 ... ( |_ `  y ) )  =  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )
148147sumeq1d 12485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )
149145, 148syl5eq 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  i
)  /  i )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )
150 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  ( log `  y )  =  ( log `  (
x  /  n ) ) )
151149, 150oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  i )  /  i )  -  ( log `  y ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )
152151fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  i
)  /  i )  -  ( log `  y
) ) )  =  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )
153152breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  (
( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  i )  /  i )  -  ( log `  y ) ) )  <_  A  <->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  <_  A ) )
154153rspcv 3040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  /  n )  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  ( A. y  e.  (
1 [,)  +oo ) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  i )  /  i )  -  ( log `  y ) ) )  <_  A  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  <_  A )
)
155139, 141, 154sylc 58 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  <_  A )
156125, 115, 8, 121, 155lemul2ad 9941 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  <_  ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  A ) )
157124, 156eqbrtrd 4224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  <_  ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  A ) )
1583, 112, 116, 157fsumle 12568 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  A ) )
15999adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  A  e.  CC )
1603, 159, 48fsummulc1 12558 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  A
)  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  A ) )
161158, 160breqtrrd 4230 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  A
) )
162109, 113, 110, 114, 161letrd 9217 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  A ) )
163109, 110, 23, 162lediv1dd 10692 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  /  ( log `  x ) )  <_  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  A )  /  ( log `  x
) ) )
164107, 45, 46absdivd 12247 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  / 
( log `  x
) ) )  =  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  /  ( abs `  ( log `  x
) ) ) )
16523rpge0d 10642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  0  <_  ( log `  x
) )
16630, 165absidd 12215 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( log `  x
) )  =  ( log `  x ) )
167166oveq2d 6089 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  /  ( abs `  ( log `  x
) ) )  =  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )
168164, 167eqtrd 2467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  / 
( log `  x
) ) )  =  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )
1693, 8, 121fsumge0 12564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  0  <_ 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n ) )
17066, 23, 169divge0d 10674 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  0  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) ) )
17168adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  A  e.  RR+ )
172171rpge0d 10642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  0  <_  A )
17367, 70, 170, 172mulge0d 9593 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  0  <_  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) )  x.  A
) )
174103, 173absidd 12215 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  /  ( log `  x ) )  x.  A ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) )  x.  A
) )
17577, 159, 45, 46div23d 9817 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  A )  / 
( log `  x
) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) )  x.  A
) )
176174, 175eqtr4d 2470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  /  ( log `  x ) )  x.  A ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  A )  / 
( log `  x
) ) )
177163, 168, 1763brtr4d 4234 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  / 
( log `  x
) ) )  <_ 
( abs `  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) )  x.  A
) ) )
178177adantrr 698 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  /\  1  <_  x
) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  / 
( log `  x
) ) )  <_ 
( abs `  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) )  x.  A
) ) )
17965, 102, 103, 108, 178o1le 12436 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  / 
( log `  x
) ) )  e.  O ( 1 ) )
18063, 179eqeltrrd 2510 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) )  -  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
18133, 42, 180o1dif 12413 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  e.  O ( 1 )  <-> 
( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  e.  O ( 1 ) ) )
1822, 181mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x
)  /  2 ) ) )  e.  O
( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697    C_ wss 3312   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8978   RRcr 8979   0cc0 8980   1c1 8981    x. cmul 8985    +oocpnf 9107    < clt 9110    <_ cle 9111    - cmin 9281    / cdiv 9667   NNcn 9990   2c2 10039   RR+crp 10602   (,)cioo 10906   [,)cico 10908   ...cfz 11033   |_cfl 11191   abscabs 12029    ~~> r crli 12269   O ( 1 )co1 12270   sum_csu 12469   logclog 20442  Λcvma 20864
This theorem is referenced by:  2vmadivsum  21225
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058  ax-addf 9059  ax-mulf 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7469  df-card 7816  df-cda 8038  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-10 10056  df-n0 10212  df-z 10273  df-dec 10373  df-uz 10479  df-q 10565  df-rp 10603  df-xneg 10700  df-xadd 10701  df-xmul 10702  df-ioo 10910  df-ioc 10911  df-ico 10912  df-icc 10913  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-fl 11192  df-mod 11241  df-seq 11314  df-exp 11373  df-fac 11557  df-bc 11584  df-hash 11609  df-shft 11872  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-abs 12031  df-limsup 12255  df-clim 12272  df-rlim 12273  df-o1 12274  df-lo1 12275  df-sum 12470  df-ef 12660  df-e 12661  df-sin 12662  df-cos 12663  df-pi 12665  df-dvds 12843  df-gcd 12997  df-prm 13070  df-pc 13201  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ress 13466  df-plusg 13532  df-mulr 13533  df-starv 13534  df-sca 13535  df-vsca 13536  df-tset 13538  df-ple 13539  df-ds 13541  df-unif 13542  df-hom 13543  df-cco 13544  df-rest 13640  df-topn 13641  df-topgen 13657  df-pt 13658  df-prds 13661  df-xrs 13716  df-0g 13717  df-gsum 13718  df-qtop 13723  df-imas 13724  df-xps 13726  df-mre 13801  df-mrc 13802  df-acs 13804  df-mnd 14680  df-submnd 14729  df-mulg 14805  df-cntz 15106  df-cmn 15404  df-psmet 16684  df-xmet 16685  df-met 16686  df-bl 16687  df-mopn 16688  df-fbas 16689  df-fg 16690  df-cnfld 16694  df-top 16953  df-bases 16955  df-topon 16956  df-topsp 16957  df-cld 17073  df-ntr 17074  df-cls 17075  df-nei 17152  df-lp 17190  df-perf 17191  df-cn 17281  df-cnp 17282  df-haus 17369  df-cmp 17440  df-tx 17584  df-hmeo 17777  df-fil 17868  df-fm 17960  df-flim 17961  df-flf 17962  df-xms 18340  df-ms 18341  df-tms 18342  df-cncf 18898  df-limc 19743  df-dv 19744  df-log 20444  df-cxp 20445  df-em 20821  df-cht 20869  df-vma 20870  df-chp 20871  df-ppi 20872
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