MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  37prm Structured version   Unicode version

Theorem 37prm 13445
Description: 37 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
37prm  |- ; 3 7  e.  Prime

Proof of Theorem 37prm
StepHypRef Expression
1 3nn0 10241 . . 3  |-  3  e.  NN0
2 7nn 10140 . . 3  |-  7  e.  NN
31, 2decnncl 10397 . 2  |- ; 3 7  e.  NN
4 8nn0 10246 . . . 4  |-  8  e.  NN0
5 4nn0 10242 . . . 4  |-  4  e.  NN0
64, 5deccl 10398 . . 3  |- ; 8 4  e.  NN0
7 7nn0 10245 . . 3  |-  7  e.  NN0
8 1nn0 10239 . . 3  |-  1  e.  NN0
9 7lt10 10182 . . 3  |-  7  <  10
10 8nn 10141 . . . 4  |-  8  e.  NN
11 3lt10 10186 . . . 4  |-  3  <  10
1210, 5, 1, 11declti 10409 . . 3  |-  3  < ; 8
4
131, 6, 7, 8, 9, 12decltc 10406 . 2  |- ; 3 7  < ;; 8 4 1
14 3nn 10136 . . 3  |-  3  e.  NN
15 1lt10 10188 . . 3  |-  1  <  10
1614, 7, 8, 15declti 10409 . 2  |-  1  < ; 3
7
17 3t2e6 10130 . . 3  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
18 df-7 10065 . . 3  |-  7  =  ( 6  +  1 )
191, 1, 17, 18dec2dvds 13401 . 2  |-  -.  2  || ; 3 7
20 2nn0 10240 . . . 4  |-  2  e.  NN0
218, 20deccl 10398 . . 3  |- ; 1 2  e.  NN0
22 1nn 10013 . . 3  |-  1  e.  NN
23 6nn0 10244 . . . 4  |-  6  e.  NN0
24 6p1e7 10109 . . . 4  |-  ( 6  +  1 )  =  7
25 eqid 2438 . . . . 5  |- ; 1 2  = ; 1 2
26 0nn0 10238 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
27 3cn 10074 . . . . . . . 8  |-  3  e.  CC
2827mulid1i 9094 . . . . . . 7  |-  ( 3  x.  1 )  =  3
2928oveq1i 6093 . . . . . 6  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  0 )  =  ( 3  +  0 )
3027addid1i 9255 . . . . . 6  |-  ( 3  +  0 )  =  3
3129, 30eqtri 2458 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  0 )  =  3
3223dec0h 10400 . . . . . 6  |-  6  = ; 0 6
3317, 32eqtri 2458 . . . . 5  |-  ( 3  x.  2 )  = ; 0
6
341, 8, 20, 25, 23, 26, 31, 33decmul2c 10432 . . . 4  |-  ( 3  x. ; 1 2 )  = ; 3
6
351, 23, 24, 34decsuc 10407 . . 3  |-  ( ( 3  x. ; 1 2 )  +  1 )  = ; 3 7
36 1lt3 10146 . . 3  |-  1  <  3
3714, 21, 22, 35, 36ndvdsi 12932 . 2  |-  -.  3  || ; 3 7
38 2nn 10135 . . 3  |-  2  e.  NN
39 2lt5 10152 . . 3  |-  2  <  5
40 5p2e7 10118 . . 3  |-  ( 5  +  2 )  =  7
411, 38, 39, 40dec5dvds2 13403 . 2  |-  -.  5  || ; 3 7
42 5nn0 10243 . . 3  |-  5  e.  NN0
43 7t5e35 10469 . . . 4  |-  ( 7  x.  5 )  = ; 3
5
441, 42, 20, 43, 40decaddi 10428 . . 3  |-  ( ( 7  x.  5 )  +  2 )  = ; 3
7
45 2lt7 10163 . . 3  |-  2  <  7
462, 42, 38, 44, 45ndvdsi 12932 . 2  |-  -.  7  || ; 3 7
478, 22decnncl 10397 . . 3  |- ; 1 1  e.  NN
48 4nn 10137 . . 3  |-  4  e.  NN
49 eqid 2438 . . . 4  |- ; 1 1  = ; 1 1
505dec0h 10400 . . . 4  |-  4  = ; 0 4
5127mulid2i 9095 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  3 )  =  3
52 00id 9243 . . . . . 6  |-  ( 0  +  0 )  =  0
5351, 52oveq12i 6095 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 0  +  0 ) )  =  ( 3  +  0 )
5453, 30eqtri 2458 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 0  +  0 ) )  =  3
5551oveq1i 6093 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  4 )  =  ( 3  +  4 )
5648nncni 10012 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
57 4p3e7 10116 . . . . . . 7  |-  ( 4  +  3 )  =  7
5856, 27, 57addcomli 9260 . . . . . 6  |-  ( 3  +  4 )  =  7
5955, 58eqtri 2458 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  4 )  =  7
607dec0h 10400 . . . . 5  |-  7  = ; 0 7
6159, 60eqtri 2458 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  4 )  = ; 0
7
628, 8, 26, 5, 49, 50, 1, 7, 26, 54, 61decmac 10423 . . 3  |-  ( (; 1
1  x.  3 )  +  4 )  = ; 3
7
63 4lt10 10185 . . . 4  |-  4  <  10
6422, 8, 5, 63declti 10409 . . 3  |-  4  < ; 1
1
6547, 1, 48, 62, 64ndvdsi 12932 . 2  |-  -. ; 1 1  || ; 3 7
668, 14decnncl 10397 . . 3  |- ; 1 3  e.  NN
67 eqid 2438 . . . . 5  |- ; 1 3  = ; 1 3
68 2cn 10072 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
6968mulid2i 9095 . . . . . . 7  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
7069oveq1i 6093 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  0 )  =  ( 2  +  0 )
7168addid1i 9255 . . . . . 6  |-  ( 2  +  0 )  =  2
7270, 71eqtri 2458 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  0 )  =  2
7320, 8, 1, 67, 23, 26, 72, 33decmul1c 10431 . . . 4  |-  (; 1 3  x.  2 )  = ; 2 6
74 2p1e3 10105 . . . 4  |-  ( 2  +  1 )  =  3
7520, 23, 8, 8, 73, 49, 74, 24decadd 10425 . . 3  |-  ( (; 1
3  x.  2 )  + ; 1 1 )  = ; 3
7
768, 8, 14, 36declt 10405 . . 3  |- ; 1 1  < ; 1 3
7766, 20, 47, 75, 76ndvdsi 12932 . 2  |-  -. ; 1 3  || ; 3 7
788, 2decnncl 10397 . . 3  |- ; 1 7  e.  NN
79 eqid 2438 . . . 4  |- ; 1 7  = ; 1 7
801dec0h 10400 . . . 4  |-  3  = ; 0 3
81 0p1e1 10095 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
8269, 81oveq12i 6095 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 2  +  1 )
8382, 74eqtri 2458 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  3
84 7t2e14 10466 . . . . 5  |-  ( 7  x.  2 )  = ; 1
4
858, 5, 1, 84, 57decaddi 10428 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  2 )  +  3 )  = ; 1
7
868, 7, 26, 1, 79, 80, 20, 7, 8, 83, 85decmac 10423 . . 3  |-  ( (; 1
7  x.  2 )  +  3 )  = ; 3
7
8722, 7, 1, 11declti 10409 . . 3  |-  3  < ; 1
7
8878, 20, 14, 86, 87ndvdsi 12932 . 2  |-  -. ; 1 7  || ; 3 7
89 9nn 10142 . . . 4  |-  9  e.  NN
908, 89decnncl 10397 . . 3  |- ; 1 9  e.  NN
918, 10decnncl 10397 . . 3  |- ; 1 8  e.  NN
92 9nn0 10247 . . . 4  |-  9  e.  NN0
9390nncni 10012 . . . . 5  |- ; 1 9  e.  CC
9493mulid1i 9094 . . . 4  |-  (; 1 9  x.  1 )  = ; 1 9
95 eqid 2438 . . . 4  |- ; 1 8  = ; 1 8
96 1p1e2 10096 . . . . . 6  |-  ( 1  +  1 )  =  2
9796oveq1i 6093 . . . . 5  |-  ( ( 1  +  1 )  +  1 )  =  ( 2  +  1 )
9897, 74eqtri 2458 . . . 4  |-  ( ( 1  +  1 )  +  1 )  =  3
99 9p8e17 10452 . . . 4  |-  ( 9  +  8 )  = ; 1
7
1008, 92, 8, 4, 94, 95, 98, 7, 99decaddc 10426 . . 3  |-  ( (; 1
9  x.  1 )  + ; 1 8 )  = ; 3
7
101 8lt9 10172 . . . 4  |-  8  <  9
1028, 4, 89, 101declt 10405 . . 3  |- ; 1 8  < ; 1 9
10390, 8, 91, 100, 102ndvdsi 12932 . 2  |-  -. ; 1 9  || ; 3 7
10420, 14decnncl 10397 . . 3  |- ; 2 3  e.  NN
1058, 48decnncl 10397 . . 3  |- ; 1 4  e.  NN
106104nncni 10012 . . . . 5  |- ; 2 3  e.  CC
107106mulid1i 9094 . . . 4  |-  (; 2 3  x.  1 )  = ; 2 3
108 eqid 2438 . . . 4  |- ; 1 4  = ; 1 4
10920, 1, 8, 5, 107, 108, 74, 58decadd 10425 . . 3  |-  ( (; 2
3  x.  1 )  + ; 1 4 )  = ; 3
7
110 1lt2 10144 . . . 4  |-  1  <  2
1118, 20, 5, 1, 63, 110decltc 10406 . . 3  |- ; 1 4  < ; 2 3
112104, 8, 105, 109, 111ndvdsi 12932 . 2  |-  -. ; 2 3  || ; 3 7
1133, 13, 16, 19, 37, 41, 46, 65, 77, 88, 103, 112prmlem2 13444 1  |- ; 3 7  e.  Prime
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1726  (class class class)co 6083   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    x. cmul 8997   2c2 10051   3c3 10052   4c4 10053   5c5 10054   6c6 10055   7c7 10056   8c8 10057   9c9 10058  ;cdc 10384   Primecprime 13081
This theorem is referenced by:  1259prm  13457
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-rp 10615  df-fz 11046  df-seq 11326  df-exp 11385  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-dvds 12855  df-prm 13082
  Copyright terms: Public domain W3C validator