Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3atlem5 Structured version   Unicode version

Theorem 3atlem5 30346
Description: Lemma for 3at 30349. (Contributed by NM, 23-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3at.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
3at.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
3at.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
3atlem5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  U ) )

Proof of Theorem 3atlem5
StepHypRef Expression
1 oveq2 6091 . . . . . 6  |-  ( U  =  P  ->  (
( S  .\/  T
)  .\/  U )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  P ) )
21eqcoms 2441 . . . . 5  |-  ( P  =  U  ->  (
( S  .\/  T
)  .\/  U )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  P ) )
32breq2d 4226 . . . 4  |-  ( P  =  U  ->  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )  <-> 
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) ) )
42eqeq2d 2449 . . . 4  |-  ( P  =  U  ->  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  U )  <->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  P ) ) )
53, 4imbi12d 313 . . 3  |-  ( P  =  U  ->  (
( ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  U ) )  <-> 
( ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  P ) ) ) )
6 simp1l 982 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A )
)  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/= 
Q  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) ) )  /\  P  =/=  U  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A )
) )
7 simp1r1 1054 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A )
)  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/= 
Q  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) ) )  /\  P  =/=  U  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )
8 simp2 959 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A )
)  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/= 
Q  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) ) )  /\  P  =/=  U  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  P  =/=  U )
9 simp1r3 1056 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A )
)  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/= 
Q  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) ) )  /\  P  =/=  U  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )
10 simp3 960 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A )
)  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/= 
Q  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) ) )  /\  P  =/=  U  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )
11 3at.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
12 3at.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
13 3at.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
1411, 12, 133atlem3 30344 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  U  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  U ) )
156, 7, 8, 9, 10, 14syl131anc 1198 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A )
)  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/= 
Q  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) ) )  /\  P  =/=  U  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  U ) )
16153expia 1156 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A )
)  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/= 
Q  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) ) )  /\  P  =/=  U )  -> 
( ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  U ) ) )
17 simp11 988 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  K  e.  HL )
18 simp123 1092 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  R  e.  A )
19 simp122 1091 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  Q  e.  A )
20 simp121 1090 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  P  e.  A )
2118, 19, 203jca 1135 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  ( R  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  P  e.  A )
)
22 simp131 1093 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  S  e.  A )
23 simp132 1094 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  T  e.  A )
2422, 23jca 520 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  ( S  e.  A  /\  T  e.  A )
)
25 simp21 991 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )
26 simp22 992 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  P  =/=  Q )
2711, 12, 13hlatexch2 30255 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  R  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  P  =/=  Q )  ->  ( P  .<_  ( R  .\/  Q
)  ->  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
2817, 20, 18, 19, 26, 27syl131anc 1198 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  ( P  .<_  ( R  .\/  Q )  ->  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
2925, 28mtod 171 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  -.  P  .<_  ( R  .\/  Q ) )
30 hllat 30223 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
3117, 30syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  K  e.  Lat )
32 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3332, 13atbase 30149 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  A  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
3418, 33syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
3532, 13atbase 30149 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
3620, 35syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
3732, 13atbase 30149 . . . . . . . 8  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
3819, 37syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
3932, 11, 12latnlej1r 14501 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R  e.  ( Base `  K )  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K
) )  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  R  =/=  Q )
4031, 34, 36, 38, 25, 39syl131anc 1198 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  R  =/=  Q )
41 simp3 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  (
( R  .\/  Q
)  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )
4211, 12, 133atlem4 30345 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( R  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  P  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  ( -.  P  .<_  ( R  .\/  Q )  /\  R  =/=  Q
)  /\  ( ( R  .\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  (
( R  .\/  Q
)  .\/  P )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  P ) )
4317, 21, 24, 29, 40, 41, 42syl321anc 1207 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  (
( R  .\/  Q
)  .\/  P )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  P ) )
44433expia 1156 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  ( (
( R  .\/  Q
)  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P )  ->  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  =  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  P ) ) )
45 simpl1 961 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  K  e.  HL )
4645, 30syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  K  e.  Lat )
47 simpl21 1036 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  P  e.  A )
4847, 35syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  P  e.  ( Base `  K )
)
49 simpl22 1037 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  Q  e.  A )
5049, 37syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K )
)
51 simpl23 1038 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  R  e.  A )
5251, 33syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  R  e.  ( Base `  K )
)
5332, 12latj31 14530 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K )  /\  R  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P ) )
5446, 48, 50, 52, 53syl13anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( R  .\/  Q ) 
.\/  P ) )
5554breq1d 4224 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  ( (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P )  <-> 
( ( R  .\/  Q )  .\/  P ) 
.<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) ) )
5654eqeq1d 2446 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  ( (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  P )  <->  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  =  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  P ) ) )
5744, 55, 563imtr4d 261 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  ( (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  P ) ) )
585, 16, 57pm2.61ne 2681 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  ( (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  U ) ) )
59583impia 1151 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   class class class wbr 4214   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471   lecple 13538   joincjn 14403   Latclat 14476   Atomscatm 30123   HLchlt 30210
This theorem is referenced by:  3atlem6  30347  3atlem7  30348
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-undef 6545  df-riota 6551  df-poset 14405  df-plt 14417  df-lub 14433  df-join 14435  df-lat 14477  df-covers 30126  df-ats 30127  df-atl 30158  df-cvlat 30182  df-hlat 30211
  Copyright terms: Public domain W3C validator