Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3cyclfrgra Structured version   Unicode version

Theorem 3cyclfrgra 28306
 Description: Every vertex in a friendship graph (with more than 1 vertex) is part of a 3-cycle. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
3cyclfrgra FriendGrph Cycles
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,

Proof of Theorem 3cyclfrgra
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3cyclfrgrarn 28304 . 2 FriendGrph
2 frisusgra 28283 . . . . . . 7 FriendGrph USGrph
32ad4antr 713 . . . . . 6 FriendGrph USGrph
4 simpr 448 . . . . . . . . 9 FriendGrph
54adantr 452 . . . . . . . 8 FriendGrph
6 simprl 733 . . . . . . . 8 FriendGrph
7 simprr 734 . . . . . . . 8 FriendGrph
85, 6, 73jca 1134 . . . . . . 7 FriendGrph
98adantr 452 . . . . . 6 FriendGrph
10 simpr 448 . . . . . 6 FriendGrph
11 constr3cyclpe 21640 . . . . . 6 USGrph Cycles
123, 9, 10, 11syl3anc 1184 . . . . 5 FriendGrph Cycles
1312ex 424 . . . 4 FriendGrph Cycles
1413rexlimdvva 2829 . . 3 FriendGrph Cycles
1514ralimdva 2776 . 2 FriendGrph Cycles
161, 15mpd 15 1 FriendGrph Cycles
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  wrex 2698  cpr 3807   class class class wbr 4204   crn 4871  cfv 5446  (class class class)co 6073  cc0 8980  c1 8981   clt 9110  c3 10040  chash 11608   USGrph cusg 21355   Cycles ccycl 21505   FriendGrph cfrgra 28279 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-card 7816  df-cda 8038  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-hash 11609  df-word 11713  df-usgra 21357  df-wlk 21506  df-trail 21507  df-pth 21508  df-cycl 21511  df-frgra 28280
 Copyright terms: Public domain W3C validator