Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3cyclfrgrarn Structured version   Unicode version

Theorem 3cyclfrgrarn 28304
 Description: Every vertex in a friendship graph ( with more than 1 vertex) is part of a 3-cycle. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
3cyclfrgrarn FriendGrph
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,

Proof of Theorem 3cyclfrgrarn
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frisusgra 28283 . . . 4 FriendGrph USGrph
2 usgrav 21361 . . . 4 USGrph
31, 2syl 16 . . 3 FriendGrph
4 hashgt12el2 11673 . . . . . . . . . . . . . 14
543expa 1153 . . . . . . . . . . . . 13
6 3cyclfrgrarn1 28303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 FriendGrph
763expb 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 FriendGrph
87expcom 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 FriendGrph
98ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 FriendGrph
109expcom 425 . . . . . . . . . . . . . . . 16 FriendGrph
1110com23 74 . . . . . . . . . . . . . . 15 FriendGrph
1211com34 79 . . . . . . . . . . . . . 14 FriendGrph
1312rexlimiv 2816 . . . . . . . . . . . . 13 FriendGrph
145, 13syl 16 . . . . . . . . . . . 12 FriendGrph
1514expcom 425 . . . . . . . . . . 11 FriendGrph
1615com24 83 . . . . . . . . . 10 FriendGrph
1716pm2.43i 45 . . . . . . . . 9 FriendGrph
1817com13 76 . . . . . . . 8 FriendGrph
1918imp 419 . . . . . . 7 FriendGrph
2019ralrimiv 2780 . . . . . 6 FriendGrph
2120exp31 588 . . . . 5 FriendGrph
2221com23 74 . . . 4 FriendGrph
2322adantr 452 . . 3 FriendGrph
243, 23mpcom 34 . 2 FriendGrph
2524imp 419 1 FriendGrph
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wcel 1725   wne 2598  wral 2697  wrex 2698  cvv 2948  cpr 3807   class class class wbr 4204   crn 4871  cfv 5446  c1 8981   clt 9110  chash 11608   USGrph cusg 21355   FriendGrph cfrgra 28279 This theorem is referenced by:  3cyclfrgrarn2  28305  3cyclfrgra  28306  vdn0frgrav2  28315  vdgn0frgrav2  28316 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-card 7816  df-cda 8038  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-2 10048  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-fz 11034  df-hash 11609  df-usgra 21357  df-frgra 28280
 Copyright terms: Public domain W3C validator