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Theorem 3cyclfrgrarn1 28402
Description: Every vertex in a friendship graph ( with more than 1 vertex) is part of a 3-cycle. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
3cyclfrgrarn1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  /\  A  =/=  C
)  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) )
Distinct variable groups:    b, c, A    E, c, b    V, c, b
Allowed substitution hints:    C( b, c)

Proof of Theorem 3cyclfrgrarn1
Dummy variables  a  x  z  u  v 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2pthfrgrarn2 28400 . . 3  |-  ( V FriendGrph  E  ->  A. a  e.  V  A. z  e.  ( V  \  { a } ) E. x  e.  V  ( ( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  {
x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( a  =/=  x  /\  x  =/=  z ) ) )
2 necom 2685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =/=  C  <->  C  =/=  A )
3 eldifsn 3927 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  ( V  \  { A } )  <->  ( C  e.  V  /\  C  =/= 
A ) )
43simplbi2com 1383 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  =/=  A  ->  ( C  e.  V  ->  C  e.  ( V  \  { A } ) ) )
52, 4sylbi 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =/=  C  ->  ( C  e.  V  ->  C  e.  ( V  \  { A } ) ) )
65com12 29 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  V  ->  ( A  =/=  C  ->  C  e.  ( V  \  { A } ) ) )
76adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( A  =/=  C  ->  C  e.  ( V 
\  { A }
) ) )
87imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  A  =/=  C )  ->  C  e.  ( V  \  { A } ) )
9 sneq 3825 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  A  ->  { a }  =  { A } )
109difeq2d 3465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  A  ->  ( V  \  { a } )  =  ( V 
\  { A }
) )
11 preq1 3883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  A  ->  { a ,  x }  =  { A ,  x }
)
1211eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  A  ->  ( { a ,  x }  e.  ran  E  <->  { A ,  x }  e.  ran  E ) )
1312anbi1d 686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  A  ->  (
( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E ) ) )
14 neeq1 2609 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  A  ->  (
a  =/=  x  <->  A  =/=  x ) )
1514anbi1d 686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  A  ->  (
( a  =/=  x  /\  x  =/=  z
)  <->  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  z ) ) )
1613, 15anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  A  ->  (
( ( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  (
a  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  <-> 
( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  z ) ) ) )
1716rexbidv 2726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  A  ->  ( E. x  e.  V  ( ( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  (
a  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  <->  E. x  e.  V  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  z ) ) ) )
1810, 17raleqbidv 2916 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  A  ->  ( A. z  e.  ( V  \  { a } ) E. x  e.  V  ( ( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  {
x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( a  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  <->  A. z  e.  ( V  \  { A } ) E. x  e.  V  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  {
x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  z ) ) ) )
1918rspcv 3048 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. a  e.  V  A. z  e.  ( V  \  { a } ) E. x  e.  V  ( ( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  {
x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( a  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  ->  A. z  e.  ( V  \  { A }
) E. x  e.  V  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  {
x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  z ) ) ) )
2019adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( A. a  e.  V  A. z  e.  ( V  \  {
a } ) E. x  e.  V  ( ( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( a  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  ->  A. z  e.  ( V  \  { A }
) E. x  e.  V  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  {
x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  z ) ) ) )
2120adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  A  =/=  C )  ->  ( A. a  e.  V  A. z  e.  ( V  \  { a } ) E. x  e.  V  ( ( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  (
a  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  ->  A. z  e.  ( V  \  { A } ) E. x  e.  V  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  {
x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  z ) ) ) )
22 preq2 3884 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  C  ->  { x ,  z }  =  { x ,  C } )
2322eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  C  ->  ( { x ,  z }  e.  ran  E  <->  { x ,  C }  e.  ran  E ) )
2423anbi2d 685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  C  ->  (
( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E ) ) )
25 neeq2 2610 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  C  ->  (
x  =/=  z  <->  x  =/=  C ) )
2625anbi2d 685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  C  ->  (
( A  =/=  x  /\  x  =/=  z
)  <->  ( A  =/=  x  /\  x  =/= 
C ) ) )
2724, 26anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  C  ->  (
( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  <->  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  {
x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C
) ) ) )
2827rexbidv 2726 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  C  ->  ( E. x  e.  V  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  <->  E. x  e.  V  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  {
x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C
) ) ) )
2928rspcv 3048 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( V  \  { A } )  -> 
( A. z  e.  ( V  \  { A } ) E. x  e.  V  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  {
x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  ->  E. x  e.  V  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C ) ) ) )
308, 21, 29sylsyld 54 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  A  =/=  C )  ->  ( A. a  e.  V  A. z  e.  ( V  \  { a } ) E. x  e.  V  ( ( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  (
a  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  ->  E. x  e.  V  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C ) ) ) )
31 2pthfrgrarn 28399 . . . . . . . . . 10  |-  ( V FriendGrph  E  ->  A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { u }
) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E ) )
32 necom 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A  =/=  x  <->  x  =/=  A )
33 eldifsn 3927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  e.  ( V  \  { A } )  <->  ( x  e.  V  /\  x  =/=  A ) )
3433simplbi2com 1383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =/=  A  ->  (
x  e.  V  ->  x  e.  ( V  \  { A } ) ) )
3532, 34sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  =/=  x  ->  (
x  e.  V  ->  x  e.  ( V  \  { A } ) ) )
3635adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  =/=  x  /\  A  e.  V )  ->  ( x  e.  V  ->  x  e.  ( V 
\  { A }
) ) )
3736imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  =/=  x  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  V )  ->  x  e.  ( V  \  { A } ) )
38 sneq 3825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( u  =  A  ->  { u }  =  { A } )
3938difeq2d 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( u  =  A  ->  ( V  \  { u }
)  =  ( V 
\  { A }
) )
40 preq1 3883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( u  =  A  ->  { u ,  y }  =  { A ,  y } )
4140eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( u  =  A  ->  ( { u ,  y }  e.  ran  E  <->  { A ,  y }  e.  ran  E ) )
4241anbi1d 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( u  =  A  ->  (
( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E ) ) )
4342rexbidv 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( u  =  A  ->  ( E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E
)  <->  E. y  e.  V  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E
) ) )
4439, 43raleqbidv 2916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( u  =  A  ->  ( A. v  e.  ( V  \  { u }
) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E )  <->  A. v  e.  ( V  \  { A } ) E. y  e.  V  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  {
y ,  v }  e.  ran  E ) ) )
4544rspcv 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { u }
) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E )  ->  A. v  e.  ( V  \  { A } ) E. y  e.  V  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  {
y ,  v }  e.  ran  E ) ) )
4645adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  =/=  x  /\  A  e.  V )  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  {
u } ) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E
)  ->  A. v  e.  ( V  \  { A } ) E. y  e.  V  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  {
y ,  v }  e.  ran  E ) ) )
4746adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  =/=  x  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  V )  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { u }
) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E )  ->  A. v  e.  ( V  \  { A } ) E. y  e.  V  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  {
y ,  v }  e.  ran  E ) ) )
48 preq2 3884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( v  =  x  ->  { y ,  v }  =  { y ,  x } )
4948eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( v  =  x  ->  ( { y ,  v }  e.  ran  E  <->  { y ,  x }  e.  ran  E ) )
5049anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( v  =  x  ->  (
( { A , 
y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  x }  e.  ran  E ) ) )
5150rexbidv 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( v  =  x  ->  ( E. y  e.  V  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E
)  <->  E. y  e.  V  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  x }  e.  ran  E ) ) )
5251rspcv 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( V  \  { A } )  -> 
( A. v  e.  ( V  \  { A } ) E. y  e.  V  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  {
y ,  v }  e.  ran  E )  ->  E. y  e.  V  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  x }  e.  ran  E ) ) )
5337, 47, 52sylsyld 54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  =/=  x  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  V )  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { u }
) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E )  ->  E. y  e.  V  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  {
y ,  x }  e.  ran  E ) ) )
54 prcom 3882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  { A ,  y }  =  { y ,  A }
5554eleq1i 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( { A ,  y }  e.  ran  E  <->  { y ,  A }  e.  ran  E )
56 prcom 3882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  { y ,  x }  =  { x ,  y }
5756eleq1i 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( { y ,  x }  e.  ran  E  <->  { x ,  y }  e.  ran  E )
5855, 57anbi12ci 680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  x }  e.  ran  E )  <-> 
( { x ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  A }  e.  ran  E ) )
59 preq2 3884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( b  =  x  ->  { A ,  b }  =  { A ,  x }
)
6059eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( b  =  x  ->  ( { A ,  b }  e.  ran  E  <->  { A ,  x }  e.  ran  E ) )
61 preq1 3883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( b  =  x  ->  { b ,  c }  =  { x ,  c } )
6261eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( b  =  x  ->  ( { b ,  c }  e.  ran  E  <->  { x ,  c }  e.  ran  E ) )
63 biidd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( b  =  x  ->  ( { c ,  A }  e.  ran  E  <->  { c ,  A }  e.  ran  E ) )
6460, 62, 633anbi123d 1254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( b  =  x  ->  (
( { A , 
b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) )
65 biidd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( c  =  y  ->  ( { A ,  x }  e.  ran  E  <->  { A ,  x }  e.  ran  E ) )
66 preq2 3884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( c  =  y  ->  { x ,  c }  =  { x ,  y } )
6766eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( c  =  y  ->  ( { x ,  c }  e.  ran  E  <->  { x ,  y }  e.  ran  E ) )
68 preq1 3883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( c  =  y  ->  { c ,  A }  =  { y ,  A } )
6968eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( c  =  y  ->  ( { c ,  A }  e.  ran  E  <->  { y ,  A }  e.  ran  E ) )
7065, 67, 693anbi123d 1254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( c  =  y  ->  (
( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  A }  e.  ran  E ) ) )
7164, 70rspc2ev 3060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) )
72713expa 1153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( x  e.  V  /\  y  e.  V
)  /\  ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  {
x ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) )
7372expcom 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  A }  e.  ran  E )  -> 
( ( x  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) )
74733expib 1156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( { A ,  x }  e.  ran  E  ->  (
( { x ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  A }  e.  ran  E )  ->  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
7558, 74syl5bi 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( { A ,  x }  e.  ran  E  ->  (
( { A , 
y }  e.  ran  E  /\  { y ,  x }  e.  ran  E )  ->  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
7675adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  -> 
( ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  x }  e.  ran  E )  ->  (
( x  e.  V  /\  y  e.  V
)  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
7776com13 76 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  ( ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  x }  e.  ran  E )  ->  (
( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
7877rexlimdva 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  V  ->  ( E. y  e.  V  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  x }  e.  ran  E )  ->  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  {
x ,  C }  e.  ran  E )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
7978com13 76 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  -> 
( E. y  e.  V  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  x }  e.  ran  E )  ->  (
x  e.  V  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
8053, 79syl9 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  =/=  x  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  V )  ->  (
( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { u } ) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E
)  ->  ( x  e.  V  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) )
8180exp31 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  =/=  x  ->  ( A  e.  V  ->  ( x  e.  V  -> 
( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { u } ) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E
)  ->  ( x  e.  V  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) ) ) )
8281com24 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  =/=  x  ->  (
( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  ->  ( x  e.  V  ->  ( A  e.  V  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { u }
) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E )  ->  (
x  e.  V  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) ) ) )
8382adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C )  -> 
( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  ->  ( x  e.  V  ->  ( A  e.  V  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { u }
) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E )  ->  (
x  e.  V  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) ) ) )
8483impcom 420 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C ) )  -> 
( x  e.  V  ->  ( A  e.  V  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  {
u } ) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E
)  ->  ( x  e.  V  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) ) )
8584com15 89 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  V  ->  (
x  e.  V  -> 
( A  e.  V  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  {
u } ) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E
)  ->  ( (
( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C ) )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) ) )
8685pm2.43i 45 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  V  ->  ( A  e.  V  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { u }
) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E )  ->  (
( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C ) )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) )
8786com12 29 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  V  -> 
( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  {
u } ) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E
)  ->  ( (
( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C ) )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) )
8887adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( x  e.  V  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  {
u } ) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E
)  ->  ( (
( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C ) )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) )
8988adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  A  =/=  C )  ->  ( x  e.  V  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { u } ) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E
)  ->  ( (
( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C ) )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) )
9089com4t 81 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { u } ) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E
)  ->  ( (
( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C ) )  -> 
( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  /\  A  =/=  C )  ->  (
x  e.  V  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) )
9131, 90syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C
) )  ->  (
( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  /\  A  =/=  C )  ->  (
x  e.  V  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) )
9291com14 84 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  V  ->  (
( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C ) )  -> 
( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  /\  A  =/=  C )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) )
9392rexlimiv 2824 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  V  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C ) )  -> 
( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  /\  A  =/=  C )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
9430, 93syl6 31 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  A  =/=  C )  ->  ( A. a  e.  V  A. z  e.  ( V  \  { a } ) E. x  e.  V  ( ( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  (
a  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  ->  ( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  /\  A  =/=  C
)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) )
9594pm2.43a 47 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  A  =/=  C )  ->  ( A. a  e.  V  A. z  e.  ( V  \  { a } ) E. x  e.  V  ( ( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  (
a  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
9695ex 424 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( A  =/=  C  ->  ( A. a  e.  V  A. z  e.  ( V  \  {
a } ) E. x  e.  V  ( ( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( a  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  -> 
( V FriendGrph  E  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) )
9796com4t 81 . . 3  |-  ( A. a  e.  V  A. z  e.  ( V  \  { a } ) E. x  e.  V  ( ( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  (
a  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( A  =/=  C  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) )
981, 97mpcom 34 . 2  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( A  =/=  C  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
99983imp 1147 1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  /\  A  =/=  C
)  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706    \ cdif 3317   {csn 3814   {cpr 3815   class class class wbr 4212   ran crn 4879   FriendGrph cfrgra 28378
This theorem is referenced by:  3cyclfrgrarn  28403
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-hash 11619  df-usgra 21367  df-frgra 28379
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