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Theorem 3cyclfrgrarn1 28435
Description: Every vertex in a friendship graph ( with more than 1 vertex) is part of a 3-cycle. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
3cyclfrgrarn1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  /\  A  =/=  C
)  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) )
Distinct variable groups:    b, c, A    E, c, b    V, c, b
Allowed substitution hints:    C( b, c)

Proof of Theorem 3cyclfrgrarn1
Dummy variables  a  x  z  u  v 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2pthfrgrarn2 28434 . . 3  |-  ( V FriendGrph  E  ->  A. a  e.  V  A. z  e.  ( V  \  { a } ) E. x  e.  V  ( ( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  {
x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( a  =/=  x  /\  x  =/=  z ) ) )
2 necom 2540 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =/=  C  <->  C  =/=  A )
3 eldifsn 3762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  ( V  \  { A } )  <->  ( C  e.  V  /\  C  =/= 
A ) )
43simplbi2com 1364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  =/=  A  ->  ( C  e.  V  ->  C  e.  ( V  \  { A } ) ) )
52, 4sylbi 187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =/=  C  ->  ( C  e.  V  ->  C  e.  ( V  \  { A } ) ) )
65com12 27 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  V  ->  ( A  =/=  C  ->  C  e.  ( V  \  { A } ) ) )
76adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( A  =/=  C  ->  C  e.  ( V 
\  { A }
) ) )
87imp 418 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  A  =/=  C )  ->  C  e.  ( V  \  { A } ) )
9 sneq 3664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  A  ->  { a }  =  { A } )
109difeq2d 3307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  A  ->  ( V  \  { a } )  =  ( V 
\  { A }
) )
11 preq1 3719 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  A  ->  { a ,  x }  =  { A ,  x }
)
1211eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  A  ->  ( { a ,  x }  e.  ran  E  <->  { A ,  x }  e.  ran  E ) )
1312anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  A  ->  (
( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E ) ) )
14 neeq1 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  A  ->  (
a  =/=  x  <->  A  =/=  x ) )
1514anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  A  ->  (
( a  =/=  x  /\  x  =/=  z
)  <->  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  z ) ) )
1613, 15anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  A  ->  (
( ( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  (
a  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  <-> 
( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  z ) ) ) )
1716rexbidv 2577 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  A  ->  ( E. x  e.  V  ( ( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  (
a  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  <->  E. x  e.  V  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  z ) ) ) )
1810, 17raleqbidv 2761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  A  ->  ( A. z  e.  ( V  \  { a } ) E. x  e.  V  ( ( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  {
x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( a  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  <->  A. z  e.  ( V  \  { A } ) E. x  e.  V  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  {
x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  z ) ) ) )
1918rspcv 2893 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. a  e.  V  A. z  e.  ( V  \  { a } ) E. x  e.  V  ( ( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  {
x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( a  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  ->  A. z  e.  ( V  \  { A }
) E. x  e.  V  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  {
x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  z ) ) ) )
2019adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( A. a  e.  V  A. z  e.  ( V  \  {
a } ) E. x  e.  V  ( ( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( a  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  ->  A. z  e.  ( V  \  { A }
) E. x  e.  V  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  {
x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  z ) ) ) )
2120adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  A  =/=  C )  ->  ( A. a  e.  V  A. z  e.  ( V  \  { a } ) E. x  e.  V  ( ( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  (
a  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  ->  A. z  e.  ( V  \  { A } ) E. x  e.  V  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  {
x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  z ) ) ) )
22 preq2 3720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  C  ->  { x ,  z }  =  { x ,  C } )
2322eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  C  ->  ( { x ,  z }  e.  ran  E  <->  { x ,  C }  e.  ran  E ) )
2423anbi2d 684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  C  ->  (
( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E ) ) )
25 neeq2 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  C  ->  (
x  =/=  z  <->  x  =/=  C ) )
2625anbi2d 684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  C  ->  (
( A  =/=  x  /\  x  =/=  z
)  <->  ( A  =/=  x  /\  x  =/= 
C ) ) )
2724, 26anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  C  ->  (
( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  <->  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  {
x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C
) ) ) )
2827rexbidv 2577 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  C  ->  ( E. x  e.  V  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  <->  E. x  e.  V  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  {
x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C
) ) ) )
2928rspcv 2893 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( V  \  { A } )  -> 
( A. z  e.  ( V  \  { A } ) E. x  e.  V  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  {
x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  ->  E. x  e.  V  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C ) ) ) )
308, 21, 29sylsyld 52 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  A  =/=  C )  ->  ( A. a  e.  V  A. z  e.  ( V  \  { a } ) E. x  e.  V  ( ( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  (
a  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  ->  E. x  e.  V  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C ) ) ) )
31 2pthfrgrarn 28433 . . . . . . . . . 10  |-  ( V FriendGrph  E  ->  A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { u }
) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E ) )
32 necom 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A  =/=  x  <->  x  =/=  A )
33 eldifsn 3762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  e.  ( V  \  { A } )  <->  ( x  e.  V  /\  x  =/=  A ) )
3433simplbi2com 1364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =/=  A  ->  (
x  e.  V  ->  x  e.  ( V  \  { A } ) ) )
3532, 34sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  =/=  x  ->  (
x  e.  V  ->  x  e.  ( V  \  { A } ) ) )
3635adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  =/=  x  /\  A  e.  V )  ->  ( x  e.  V  ->  x  e.  ( V 
\  { A }
) ) )
3736imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  =/=  x  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  V )  ->  x  e.  ( V  \  { A } ) )
38 sneq 3664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( u  =  A  ->  { u }  =  { A } )
3938difeq2d 3307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( u  =  A  ->  ( V  \  { u }
)  =  ( V 
\  { A }
) )
40 preq1 3719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( u  =  A  ->  { u ,  y }  =  { A ,  y } )
4140eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( u  =  A  ->  ( { u ,  y }  e.  ran  E  <->  { A ,  y }  e.  ran  E ) )
4241anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( u  =  A  ->  (
( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E ) ) )
4342rexbidv 2577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( u  =  A  ->  ( E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E
)  <->  E. y  e.  V  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E
) ) )
4439, 43raleqbidv 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( u  =  A  ->  ( A. v  e.  ( V  \  { u }
) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E )  <->  A. v  e.  ( V  \  { A } ) E. y  e.  V  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  {
y ,  v }  e.  ran  E ) ) )
4544rspcv 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { u }
) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E )  ->  A. v  e.  ( V  \  { A } ) E. y  e.  V  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  {
y ,  v }  e.  ran  E ) ) )
4645adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  =/=  x  /\  A  e.  V )  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  {
u } ) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E
)  ->  A. v  e.  ( V  \  { A } ) E. y  e.  V  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  {
y ,  v }  e.  ran  E ) ) )
4746adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  =/=  x  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  V )  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { u }
) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E )  ->  A. v  e.  ( V  \  { A } ) E. y  e.  V  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  {
y ,  v }  e.  ran  E ) ) )
48 preq2 3720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( v  =  x  ->  { y ,  v }  =  { y ,  x } )
4948eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( v  =  x  ->  ( { y ,  v }  e.  ran  E  <->  { y ,  x }  e.  ran  E ) )
5049anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( v  =  x  ->  (
( { A , 
y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  x }  e.  ran  E ) ) )
5150rexbidv 2577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( v  =  x  ->  ( E. y  e.  V  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E
)  <->  E. y  e.  V  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  x }  e.  ran  E ) ) )
5251rspcv 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( V  \  { A } )  -> 
( A. v  e.  ( V  \  { A } ) E. y  e.  V  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  {
y ,  v }  e.  ran  E )  ->  E. y  e.  V  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  x }  e.  ran  E ) ) )
5337, 47, 52sylsyld 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  =/=  x  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  V )  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { u }
) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E )  ->  E. y  e.  V  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  {
y ,  x }  e.  ran  E ) ) )
54 prcom 3718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  { A ,  y }  =  { y ,  A }
5554eleq1i 2359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( { A ,  y }  e.  ran  E  <->  { y ,  A }  e.  ran  E )
56 prcom 3718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  { y ,  x }  =  { x ,  y }
5756eleq1i 2359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( { y ,  x }  e.  ran  E  <->  { x ,  y }  e.  ran  E )
5855, 57anbi12ci 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  x }  e.  ran  E )  <-> 
( { x ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  A }  e.  ran  E ) )
59 preq2 3720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( b  =  x  ->  { A ,  b }  =  { A ,  x }
)
6059eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( b  =  x  ->  ( { A ,  b }  e.  ran  E  <->  { A ,  x }  e.  ran  E ) )
61 preq1 3719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( b  =  x  ->  { b ,  c }  =  { x ,  c } )
6261eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( b  =  x  ->  ( { b ,  c }  e.  ran  E  <->  { x ,  c }  e.  ran  E ) )
63 biidd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( b  =  x  ->  ( { c ,  A }  e.  ran  E  <->  { c ,  A }  e.  ran  E ) )
6460, 62, 633anbi123d 1252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( b  =  x  ->  (
( { A , 
b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) )
65 biidd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( c  =  y  ->  ( { A ,  x }  e.  ran  E  <->  { A ,  x }  e.  ran  E ) )
66 preq2 3720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( c  =  y  ->  { x ,  c }  =  { x ,  y } )
6766eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( c  =  y  ->  ( { x ,  c }  e.  ran  E  <->  { x ,  y }  e.  ran  E ) )
68 preq1 3719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( c  =  y  ->  { c ,  A }  =  { y ,  A } )
6968eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( c  =  y  ->  ( { c ,  A }  e.  ran  E  <->  { y ,  A }  e.  ran  E ) )
7065, 67, 693anbi123d 1252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( c  =  y  ->  (
( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  A }  e.  ran  E ) ) )
7164, 70rspc2ev 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) )
72713expa 1151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( x  e.  V  /\  y  e.  V
)  /\  ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  {
x ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) )
7372expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  A }  e.  ran  E )  -> 
( ( x  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) )
74733expib 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( { A ,  x }  e.  ran  E  ->  (
( { x ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  A }  e.  ran  E )  ->  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
7558, 74syl5bi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( { A ,  x }  e.  ran  E  ->  (
( { A , 
y }  e.  ran  E  /\  { y ,  x }  e.  ran  E )  ->  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
7675adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  -> 
( ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  x }  e.  ran  E )  ->  (
( x  e.  V  /\  y  e.  V
)  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
7776com13 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  ( ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  x }  e.  ran  E )  ->  (
( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
7877rexlimdva 2680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  V  ->  ( E. y  e.  V  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  x }  e.  ran  E )  ->  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  {
x ,  C }  e.  ran  E )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
7978com13 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  -> 
( E. y  e.  V  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  x }  e.  ran  E )  ->  (
x  e.  V  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
8053, 79syl9 66 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  =/=  x  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  V )  ->  (
( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { u } ) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E
)  ->  ( x  e.  V  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) )
8180exp31 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  =/=  x  ->  ( A  e.  V  ->  ( x  e.  V  -> 
( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { u } ) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E
)  ->  ( x  e.  V  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) ) ) )
8281com24 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  =/=  x  ->  (
( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  ->  ( x  e.  V  ->  ( A  e.  V  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { u }
) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E )  ->  (
x  e.  V  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) ) ) )
8382adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C )  -> 
( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  ->  ( x  e.  V  ->  ( A  e.  V  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { u }
) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E )  ->  (
x  e.  V  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) ) ) )
8483impcom 419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C ) )  -> 
( x  e.  V  ->  ( A  e.  V  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  {
u } ) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E
)  ->  ( x  e.  V  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) ) )
8584com15 87 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  V  ->  (
x  e.  V  -> 
( A  e.  V  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  {
u } ) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E
)  ->  ( (
( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C ) )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) ) )
8685pm2.43i 43 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  V  ->  ( A  e.  V  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { u }
) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E )  ->  (
( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C ) )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) )
8786com12 27 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  V  -> 
( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  {
u } ) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E
)  ->  ( (
( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C ) )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) )
8887adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( x  e.  V  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  {
u } ) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E
)  ->  ( (
( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C ) )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) )
8988adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  A  =/=  C )  ->  ( x  e.  V  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { u } ) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E
)  ->  ( (
( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C ) )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) )
9089com4t 79 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { u } ) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E
)  ->  ( (
( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C ) )  -> 
( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  /\  A  =/=  C )  ->  (
x  e.  V  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) )
9131, 90syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C
) )  ->  (
( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  /\  A  =/=  C )  ->  (
x  e.  V  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) )
9291com14 82 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  V  ->  (
( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C ) )  -> 
( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  /\  A  =/=  C )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) )
9392rexlimiv 2674 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  V  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C ) )  -> 
( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  /\  A  =/=  C )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
9430, 93syl6 29 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  A  =/=  C )  ->  ( A. a  e.  V  A. z  e.  ( V  \  { a } ) E. x  e.  V  ( ( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  (
a  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  ->  ( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  /\  A  =/=  C
)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) )
9594pm2.43a 45 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  A  =/=  C )  ->  ( A. a  e.  V  A. z  e.  ( V  \  { a } ) E. x  e.  V  ( ( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  (
a  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
9695ex 423 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( A  =/=  C  ->  ( A. a  e.  V  A. z  e.  ( V  \  {
a } ) E. x  e.  V  ( ( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( a  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  -> 
( V FriendGrph  E  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) )
9796com4t 79 . . 3  |-  ( A. a  e.  V  A. z  e.  ( V  \  { a } ) E. x  e.  V  ( ( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  (
a  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( A  =/=  C  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) )
981, 97mpcom 32 . 2  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( A  =/=  C  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
99983imp 1145 1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  /\  A  =/=  C
)  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    \ cdif 3162   {csn 3653   {cpr 3654   class class class wbr 4039   ran crn 4706   FriendGrph cfrgra 28415
This theorem is referenced by:  3cyclfrgrarn  28436
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-hash 11354  df-usgra 28229  df-frgra 28416
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