Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3dim1 Unicode version

Theorem 3dim1 30278
Description: Construct a 3-dimensional volume (height-4 element) on top of a given atom  P. (Contributed by NM, 25-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3dim0.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
3dim0.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
3dim0.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
3dim1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  r ) ) )
Distinct variable groups:    r, q,
s, A    .\/ , r, s, q    .<_ , q, r, s    P, q, r, s
Allowed substitution hints:    K( s, r, q)

Proof of Theorem 3dim1
Dummy variables  u  t  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3dim0.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
2 3dim0.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 3dim0.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
41, 2, 33dim0 30268 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  E. t  e.  A  E. u  e.  A  E. v  e.  A  E. w  e.  A  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )
54adantr 451 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A )  ->  E. t  e.  A  E. u  e.  A  E. v  e.  A  E. w  e.  A  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )
6 simpl2 959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  t )  ->  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )
)
71, 2, 33dimlem1 30269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )  /\  P  =  t )  ->  ( P  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  u )  .\/  v
) ) )
873ad2antl3 1119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  t )  ->  ( P  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( P 
.\/  u )  .\/  v ) ) )
91, 2, 33dim1lem5 30277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( P  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  r ) ) )
106, 8, 9syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  t )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q )  .\/  r
) ) )
11 simp13 987 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
t  e.  A )
12 simp22 989 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
v  e.  A )
13 simp23 990 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  w  e.  A )
1411, 12, 133jca 1132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( t  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
) )
1514ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/=  t )  /\  P  .<_  ( t  .\/  u
) )  ->  (
t  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )
)
16 simpll1 994 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/=  t )  /\  P  .<_  ( t  .\/  u
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A ) )
17 simp21 988 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  u  e.  A )
18 simp32 992 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u ) )
19 simp33 993 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )
2017, 18, 193jca 1132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( u  e.  A  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )
2120ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/=  t )  /\  P  .<_  ( t  .\/  u
) )  ->  (
u  e.  A  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )
22 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/=  t )  /\  P  .<_  ( t  .\/  u
) )  ->  P  =/=  t )
23 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/=  t )  /\  P  .<_  ( t  .\/  u
) )  ->  P  .<_  ( t  .\/  u
) )
241, 2, 33dimlem2 30270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  ->  ( P  =/=  t  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  t )  /\  -.  w  .<_  ( ( P 
.\/  t )  .\/  v ) ) )
2516, 21, 22, 23, 24syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/=  t )  /\  P  .<_  ( t  .\/  u
) )  ->  ( P  =/=  t  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  t )  /\  -.  w  .<_  ( ( P 
.\/  t )  .\/  v ) ) )
261, 2, 33dim1lem5 30277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  t
)  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  t )  .\/  v
) ) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  r ) ) )
2715, 25, 26syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/=  t )  /\  P  .<_  ( t  .\/  u
) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q )  .\/  r
) ) )
2811, 17, 133jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( t  e.  A  /\  u  e.  A  /\  w  e.  A
) )
2928ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  P  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  ( t  e.  A  /\  u  e.  A  /\  w  e.  A ) )
30 simp1 955 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )
)
3117, 12jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( u  e.  A  /\  v  e.  A
) )
32 simp31 991 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
t  =/=  u )
3332, 19jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( t  =/=  u  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )
3430, 31, 333jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) ) )
3534ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  P  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) ) )
36 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  P  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  P  =/=  t
)
37 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  P  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) )
38 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  P  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  P  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )
391, 2, 33dimlem3 30272 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u )  /\  P  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( P  =/=  t  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  t )  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  t ) 
.\/  u ) ) )
4035, 36, 37, 38, 39syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  P  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  ( P  =/=  t  /\  -.  u  .<_  ( P  .\/  t
)  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  t )  .\/  u
) ) )
411, 2, 33dim1lem5 30277 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  u  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  u  .<_  ( P  .\/  t
)  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  t )  .\/  u
) ) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  r ) ) )
4229, 40, 41syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  P  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  r ) ) )
4311, 17, 123jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( t  e.  A  /\  u  e.  A  /\  v  e.  A
) )
4443ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( t  .\/  u
)  .\/  v )
)  ->  ( t  e.  A  /\  u  e.  A  /\  v  e.  A ) )
45 simpl1 958 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A ) )
46 simpl21 1033 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  ->  u  e.  A
)
47 simpl22 1034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  ->  v  e.  A
)
4846, 47jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  ->  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )
49 simpl31 1036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  ->  t  =/=  u
)
50 simpl32 1037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  ->  -.  v  .<_  ( t  .\/  u ) )
5149, 50jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  ->  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
) ) )
5245, 48, 513jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u ) ) ) )
5352adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( t  .\/  u
)  .\/  v )
)  ->  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u ) ) ) )
54 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( t  .\/  u
)  .\/  v )
)  ->  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u
) ) )
55 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( t  .\/  u
)  .\/  v )
)  ->  -.  P  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) )
561, 2, 33dimlem4 30275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  ( P  =/=  t  /\  -.  u  .<_  ( P  .\/  t
)  /\  -.  v  .<_  ( ( P  .\/  t )  .\/  u
) ) )
5753, 54, 55, 56syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( t  .\/  u
)  .\/  v )
)  ->  ( P  =/=  t  /\  -.  u  .<_  ( P  .\/  t
)  /\  -.  v  .<_  ( ( P  .\/  t )  .\/  u
) ) )
581, 2, 33dim1lem5 30277 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  u  .<_  ( P  .\/  t
)  /\  -.  v  .<_  ( ( P  .\/  t )  .\/  u
) ) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  r ) ) )
5944, 57, 58syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( t  .\/  u
)  .\/  v )
)  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q )  .\/  r
) ) )
6042, 59pm2.61dan 766 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  r ) ) )
6160anassrs 629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/=  t )  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  r ) ) )
6227, 61pm2.61dan 766 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/=  t )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q )  .\/  r
) ) )
6310, 62pm2.61dane 2537 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  r ) ) )
64633exp 1150 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  ->  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  (
( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  r ) ) ) ) )
65643expd 1168 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  ->  ( u  e.  A  ->  ( v  e.  A  ->  ( w  e.  A  ->  ( ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q )  .\/  r
) ) ) ) ) ) )
66653exp 1150 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  ( P  e.  A  ->  ( t  e.  A  -> 
( u  e.  A  ->  ( v  e.  A  ->  ( w  e.  A  ->  ( ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q )  .\/  r
) ) ) ) ) ) ) ) )
6766imp43 578 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A )  /\  ( t  e.  A  /\  u  e.  A ) )  -> 
( v  e.  A  ->  ( w  e.  A  ->  ( ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q )  .\/  r
) ) ) ) ) )
6867imp3a 420 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A )  /\  ( t  e.  A  /\  u  e.  A ) )  -> 
( ( v  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  (
( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  r ) ) ) ) )
6968rexlimdvv 2686 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A )  /\  ( t  e.  A  /\  u  e.  A ) )  -> 
( E. v  e.  A  E. w  e.  A  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
7069rexlimdvva 2687 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A )  ->  ( E. t  e.  A  E. u  e.  A  E. v  e.  A  E. w  e.  A  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
715, 70mpd 14 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  r ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   E.wrex 2557   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   lecple 13231   joincjn 14094   Atomscatm 30075   HLchlt 30162
This theorem is referenced by:  3dim2  30279  2dim  30281
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-lat 14168  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163
  Copyright terms: Public domain W3C validator