Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3dim1 Structured version   Unicode version

Theorem 3dim1 30264
Description: Construct a 3-dimensional volume (height-4 element) on top of a given atom  P. (Contributed by NM, 25-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3dim0.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
3dim0.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
3dim0.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
3dim1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  r ) ) )
Distinct variable groups:    r, q,
s, A    .\/ , r, s, q    .<_ , q, r, s    P, q, r, s
Allowed substitution hints:    K( s, r, q)

Proof of Theorem 3dim1
Dummy variables  u  t  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3dim0.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
2 3dim0.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 3dim0.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
41, 2, 33dim0 30254 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  E. t  e.  A  E. u  e.  A  E. v  e.  A  E. w  e.  A  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )
54adantr 452 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A )  ->  E. t  e.  A  E. u  e.  A  E. v  e.  A  E. w  e.  A  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )
6 simpl2 961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  t )  ->  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )
)
71, 2, 33dimlem1 30255 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )  /\  P  =  t )  ->  ( P  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  u )  .\/  v
) ) )
873ad2antl3 1121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  t )  ->  ( P  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( P 
.\/  u )  .\/  v ) ) )
91, 2, 33dim1lem5 30263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( P  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  r ) ) )
106, 8, 9syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  t )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q )  .\/  r
) ) )
11 simp13 989 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
t  e.  A )
12 simp22 991 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
v  e.  A )
13 simp23 992 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  w  e.  A )
1411, 12, 133jca 1134 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( t  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
) )
1514ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/=  t )  /\  P  .<_  ( t  .\/  u
) )  ->  (
t  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )
)
16 simpll1 996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/=  t )  /\  P  .<_  ( t  .\/  u
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A ) )
17 simp21 990 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  u  e.  A )
18 simp32 994 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u ) )
19 simp33 995 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )
2017, 18, 193jca 1134 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( u  e.  A  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )
2120ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/=  t )  /\  P  .<_  ( t  .\/  u
) )  ->  (
u  e.  A  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )
22 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/=  t )  /\  P  .<_  ( t  .\/  u
) )  ->  P  =/=  t )
23 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/=  t )  /\  P  .<_  ( t  .\/  u
) )  ->  P  .<_  ( t  .\/  u
) )
241, 2, 33dimlem2 30256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  ->  ( P  =/=  t  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  t )  /\  -.  w  .<_  ( ( P 
.\/  t )  .\/  v ) ) )
2516, 21, 22, 23, 24syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/=  t )  /\  P  .<_  ( t  .\/  u
) )  ->  ( P  =/=  t  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  t )  /\  -.  w  .<_  ( ( P 
.\/  t )  .\/  v ) ) )
261, 2, 33dim1lem5 30263 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  t
)  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  t )  .\/  v
) ) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  r ) ) )
2715, 25, 26syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/=  t )  /\  P  .<_  ( t  .\/  u
) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q )  .\/  r
) ) )
2811, 17, 133jca 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( t  e.  A  /\  u  e.  A  /\  w  e.  A
) )
2928ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  P  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  ( t  e.  A  /\  u  e.  A  /\  w  e.  A ) )
30 simp1 957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )
)
3117, 12jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( u  e.  A  /\  v  e.  A
) )
32 simp31 993 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
t  =/=  u )
3332, 19jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( t  =/=  u  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )
3430, 31, 333jca 1134 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) ) )
3534ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  P  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) ) )
36 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  P  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  P  =/=  t
)
37 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  P  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) )
38 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  P  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  P  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )
391, 2, 33dimlem3 30258 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u )  /\  P  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( P  =/=  t  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  t )  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  t ) 
.\/  u ) ) )
4035, 36, 37, 38, 39syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  P  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  ( P  =/=  t  /\  -.  u  .<_  ( P  .\/  t
)  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  t )  .\/  u
) ) )
411, 2, 33dim1lem5 30263 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  u  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  u  .<_  ( P  .\/  t
)  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  t )  .\/  u
) ) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  r ) ) )
4229, 40, 41syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  P  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  r ) ) )
4311, 17, 123jca 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( t  e.  A  /\  u  e.  A  /\  v  e.  A
) )
4443ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( t  .\/  u
)  .\/  v )
)  ->  ( t  e.  A  /\  u  e.  A  /\  v  e.  A ) )
45 simpl1 960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A ) )
46 simpl21 1035 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  ->  u  e.  A
)
47 simpl22 1036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  ->  v  e.  A
)
4846, 47jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  ->  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )
49 simpl31 1038 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  ->  t  =/=  u
)
50 simpl32 1039 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  ->  -.  v  .<_  ( t  .\/  u ) )
5149, 50jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  ->  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
) ) )
5245, 48, 513jca 1134 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u ) ) ) )
5352adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( t  .\/  u
)  .\/  v )
)  ->  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u ) ) ) )
54 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( t  .\/  u
)  .\/  v )
)  ->  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u
) ) )
55 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( t  .\/  u
)  .\/  v )
)  ->  -.  P  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) )
561, 2, 33dimlem4 30261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  ( P  =/=  t  /\  -.  u  .<_  ( P  .\/  t
)  /\  -.  v  .<_  ( ( P  .\/  t )  .\/  u
) ) )
5753, 54, 55, 56syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( t  .\/  u
)  .\/  v )
)  ->  ( P  =/=  t  /\  -.  u  .<_  ( P  .\/  t
)  /\  -.  v  .<_  ( ( P  .\/  t )  .\/  u
) ) )
581, 2, 33dim1lem5 30263 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  u  .<_  ( P  .\/  t
)  /\  -.  v  .<_  ( ( P  .\/  t )  .\/  u
) ) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  r ) ) )
5944, 57, 58syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( t  .\/  u
)  .\/  v )
)  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q )  .\/  r
) ) )
6042, 59pm2.61dan 767 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  r ) ) )
6160anassrs 630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/=  t )  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  r ) ) )
6227, 61pm2.61dan 767 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/=  t )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q )  .\/  r
) ) )
6310, 62pm2.61dane 2682 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  r ) ) )
64633exp 1152 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  ->  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  (
( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  r ) ) ) ) )
65643expd 1170 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  ->  ( u  e.  A  ->  ( v  e.  A  ->  ( w  e.  A  ->  ( ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q )  .\/  r
) ) ) ) ) ) )
66653exp 1152 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  ( P  e.  A  ->  ( t  e.  A  -> 
( u  e.  A  ->  ( v  e.  A  ->  ( w  e.  A  ->  ( ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q )  .\/  r
) ) ) ) ) ) ) ) )
6766imp43 579 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A )  /\  ( t  e.  A  /\  u  e.  A ) )  -> 
( v  e.  A  ->  ( w  e.  A  ->  ( ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q )  .\/  r
) ) ) ) ) )
6867imp3a 421 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A )  /\  ( t  e.  A  /\  u  e.  A ) )  -> 
( ( v  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  (
( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  r ) ) ) ) )
6968rexlimdvv 2836 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A )  /\  ( t  e.  A  /\  u  e.  A ) )  -> 
( E. v  e.  A  E. w  e.  A  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
7069rexlimdvva 2837 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A )  ->  ( E. t  e.  A  E. u  e.  A  E. v  e.  A  E. w  e.  A  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
715, 70mpd 15 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  r ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   E.wrex 2706   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   lecple 13536   joincjn 14401   Atomscatm 30061   HLchlt 30148
This theorem is referenced by:  3dim2  30265  2dim  30267
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-undef 6543  df-riota 6549  df-poset 14403  df-plt 14415  df-lub 14431  df-glb 14432  df-join 14433  df-meet 14434  df-p0 14468  df-lat 14475  df-clat 14537  df-oposet 29974  df-ol 29976  df-oml 29977  df-covers 30064  df-ats 30065  df-atl 30096  df-cvlat 30120  df-hlat 30149
  Copyright terms: Public domain W3C validator