MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3nn Unicode version

Theorem 3nn 10068
Description: 3 is a natural number. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
3nn  |-  3  e.  NN

Proof of Theorem 3nn
StepHypRef Expression
1 df-3 9993 . 2  |-  3  =  ( 2  +  1 )
2 2nn 10067 . . 3  |-  2  e.  NN
3 peano2nn 9946 . . 3  |-  ( 2  e.  NN  ->  (
2  +  1 )  e.  NN )
42, 3ax-mp 8 . 2  |-  ( 2  +  1 )  e.  NN
51, 4eqeltri 2459 1  |-  3  e.  NN
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1717  (class class class)co 6022   1c1 8926    + caddc 8928   NNcn 9934   2c2 9983   3c3 9984
This theorem is referenced by:  4nn  10069  3nn0  10173  expnass  11415  f1oun2prg  11793  sqrlem7  11983  ef01bndlem  12714  sin01bnd  12715  sin01gt0  12720  egt2lt3  12734  rpnnen2lem2  12744  rpnnen2lem3  12745  rpnnen2lem4  12746  rpnnen2lem9  12751  rpnnen2lem11  12753  3dvds  12841  3prm  13025  5prm  13360  6nprm  13361  7prm  13362  9nprm  13364  11prm  13366  13prm  13367  17prm  13368  19prm  13369  23prm  13370  prmlem2  13371  37prm  13372  43prm  13373  83prm  13374  139prm  13375  163prm  13376  317prm  13377  631prm  13378  1259lem5  13383  2503lem1  13385  2503lem2  13386  2503lem3  13387  4001lem4  13392  4001prm  13393  mulrndx  13503  mulrid  13504  rngstr  13505  ressmulr  13511  unifndx  13561  unifid  13562  lt6abl  15433  sramulr  16181  opsrmulr  16470  cnfldstr  16630  zlmmulr  16726  znmul  16747  ressunif  18215  tuslem  18220  tngmulr  18558  vitalilem4  19372  tangtx  20282  1cubrlem  20550  1cubr  20551  dcubic1lem  20552  dcubic2  20553  dcubic  20555  mcubic  20556  cubic2  20557  cubic  20558  quartlem3  20568  quart  20570  log2cnv  20653  log2tlbnd  20654  log2ublem1  20655  log2ublem2  20656  log2ub  20658  ppiublem1  20855  ppiublem2  20856  ppiub  20857  chtub  20865  bposlem3  20939  bposlem4  20940  bposlem5  20941  bposlem6  20942  bposlem9  20945  lgsdir2lem3  20978  lgsdir2lem5  20980  dchrvmasumlem2  21061  dchrvmasumlema  21063  dchrvmasumiflem1  21064  mulog2sumlem2  21098  pntibndlem1  21152  pntibndlem2  21154  pntlema  21159  pntlemb  21160  pntleml  21174  usgraexvlem  21282  usgraexmpldifpr  21287  usgraexmpl  21288  constr3trllem3  21489  ex-cnv  21595  ex-rn  21598  ex-dvds  21606  sinccvglem  24890  axlowdimlem7  25603  axlowdimlem15  25611  axlowdimlem16  25612  axlowdimlem17  25613  axlowdim  25616  bpoly4  25821  fsumcube  25822  itg2addnclem2  25960  itg2addnc  25961  rabren3dioph  26569  rmydioph  26778  rmxdioph  26780  expdiophlem2  26786  expdioph  26787  lhe4.4ex1a  27217  wallispilem4  27487  hlhilsmul  32061
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-1cn 8983
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993
  Copyright terms: Public domain W3C validator