MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3nn Structured version   Unicode version

Theorem 3nn 10124
Description: 3 is a natural number. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
3nn  |-  3  e.  NN

Proof of Theorem 3nn
StepHypRef Expression
1 df-3 10049 . 2  |-  3  =  ( 2  +  1 )
2 2nn 10123 . . 3  |-  2  e.  NN
3 peano2nn 10002 . . 3  |-  ( 2  e.  NN  ->  (
2  +  1 )  e.  NN )
42, 3ax-mp 8 . 2  |-  ( 2  +  1 )  e.  NN
51, 4eqeltri 2505 1  |-  3  e.  NN
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1725  (class class class)co 6073   1c1 8981    + caddc 8983   NNcn 9990   2c2 10039   3c3 10040
This theorem is referenced by:  4nn  10125  3nn0  10229  expnass  11476  f1oun2prg  11854  sqrlem7  12044  ef01bndlem  12775  sin01bnd  12776  sin01gt0  12781  egt2lt3  12795  rpnnen2lem2  12805  rpnnen2lem3  12806  rpnnen2lem4  12807  rpnnen2lem9  12812  rpnnen2lem11  12814  3dvds  12902  3prm  13086  5prm  13421  6nprm  13422  7prm  13423  9nprm  13425  11prm  13427  13prm  13428  17prm  13429  19prm  13430  23prm  13431  prmlem2  13432  37prm  13433  43prm  13434  83prm  13435  139prm  13436  163prm  13437  317prm  13438  631prm  13439  1259lem5  13444  2503lem1  13446  2503lem2  13447  2503lem3  13448  4001lem4  13453  4001prm  13454  mulrndx  13564  mulrid  13565  rngstr  13566  ressmulr  13572  unifndx  13622  unifid  13623  lt6abl  15494  sramulr  16242  opsrmulr  16531  cnfldstr  16695  zlmmulr  16791  znmul  16812  ressunif  18282  tuslem  18287  tngmulr  18675  vitalilem4  19493  tangtx  20403  1cubrlem  20671  1cubr  20672  dcubic1lem  20673  dcubic2  20674  dcubic  20676  mcubic  20677  cubic2  20678  cubic  20679  quartlem3  20689  quart  20691  log2cnv  20774  log2tlbnd  20775  log2ublem1  20776  log2ublem2  20777  log2ub  20779  ppiublem1  20976  ppiublem2  20977  ppiub  20978  chtub  20986  bposlem3  21060  bposlem4  21061  bposlem5  21062  bposlem6  21063  bposlem9  21066  lgsdir2lem3  21099  lgsdir2lem5  21101  dchrvmasumlem2  21182  dchrvmasumlema  21184  dchrvmasumiflem1  21185  mulog2sumlem2  21219  pntibndlem1  21273  pntibndlem2  21275  pntlema  21280  pntlemb  21281  pntleml  21295  usgraexvlem  21404  usgraexmpldifpr  21409  usgraexmpl  21410  constr3trllem3  21629  ex-cnv  21735  ex-rn  21738  ex-dvds  21746  sinccvglem  25099  axlowdimlem7  25852  axlowdimlem15  25860  axlowdimlem16  25861  axlowdimlem17  25862  axlowdim  25865  bpoly4  26070  fsumcube  26071  mblfinlem2  26208  itg2addnclem2  26220  itg2addnclem3  26221  itg2addnc  26222  rabren3dioph  26830  rmydioph  27039  rmxdioph  27041  expdiophlem2  27047  expdioph  27048  lhe4.4ex1a  27478  wallispilem4  27748  hlhilsmul  32643
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-1cn 9038
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049
  Copyright terms: Public domain W3C validator