Theorem 3oalem6 9529

Description: Lemma for 3OA (weak) orthoarguesian law.

Hypotheses

Ref	Expression
3oa.1	|- A e. CH
3oa.2	|- B e. CH
3oa.3	|- C e. CH
3oa.4	|- R = ((_|_` B) i^i (B vH A))
3oa.5	|- S = ((_|_` C) i^i (C vH A))

Assertion

Ref	Expression
3oalem6	|- (B +H (R i^i (S +H ((B +H C) i^i (R +H S))))) (_ (B vH (R i^i (S vH ((B vH C) i^i (R vH S)))))

Proof of Theorem 3oalem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3oa.2	. . . 4 |- B e. CH
2	1	chshi 9018	. . 3 |- B e. SH
3		3oa.4	. . . . . 6 |- R = ((_|_` B) i^i (B vH A))
4	1	choccl 9101	. . . . . . 7 |- (_|_` B) e. CH
5		3oa.1	. . . . . . . 8 |- A e. CH
6	1, 5	chjcl 9295	. . . . . . 7 |- (B vH A) e. CH
7	4, 6	chincl 9298	. . . . . 6 |- ((_|_` B) i^i (B vH A)) e. CH
8	3, 7	eqeltr 1536	. . . . 5 |- R e. CH
9	8	chshi 9018	. . . 4 |- R e. SH
10		3oa.5	. . . . . . 7 |- S = ((_|_` C) i^i (C vH A))
11		3oa.3	. . . . . . . . 9 |- C e. CH
12	11	choccl 9101	. . . . . . . 8 |- (_|_` C) e. CH
13	11, 5	chjcl 9295	. . . . . . . 8 |- (C vH A) e. CH
14	12, 13	chincl 9298	. . . . . . 7 |- ((_|_` C) i^i (C vH A)) e. CH
15	10, 14	eqeltr 1536	. . . . . 6 |- S e. CH
16	15	chshi 9018	. . . . 5 |- S e. SH
17	11	chshi 9018	. . . . . . 7 |- C e. SH
18	2, 17	shscl 9196	. . . . . 6 |- (B +H C) e. SH
19	9, 16	shscl 9196	. . . . . 6 |- (R +H S) e. SH
20	18, 19	shincl 9246	. . . . 5 |- ((B +H C) i^i (R +H S)) e. SH
21	16, 20	shscl 9196	. . . 4 |- (S +H ((B +H C) i^i (R +H S))) e. SH
22	9, 21	shincl 9246	. . 3 |- (R i^i (S +H ((B +H C) i^i (R +H S)))) e. SH
23	2, 22	shslej 9253	. 2 |- (B +H (R i^i (S +H ((B +H C) i^i (R +H S))))) (_ (B vH (R i^i (S +H ((B +H C) i^i (R +H S)))))
24	16, 20	shslej 9253	. . . . 5 |- (S +H ((B +H C) i^i (R +H S))) (_ (S vH ((B +H C) i^i (R +H S)))
25	1, 11	chslej 9296	. . . . . . . 8 |- (B +H C) (_ (B vH C)
26		ssrin 2224	. . . . . . . 8 |- ((B +H C) (_ (B vH C) -> ((B +H C) i^i (R +H S)) (_ ((B vH C) i^i (R +H S)))
27	25, 26	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- ((B +H C) i^i (R +H S)) (_ ((B vH C) i^i (R +H S))
28	8, 15	chslej 9296	. . . . . . . 8 |- (R +H S) (_ (R vH S)
29		sslin 2225	. . . . . . . 8 |- ((R +H S) (_ (R vH S) -> ((B vH C) i^i (R +H S)) (_ ((B vH C) i^i (R vH S)))
30	28, 29	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- ((B vH C) i^i (R +H S)) (_ ((B vH C) i^i (R vH S))
31	27, 30	sstri 2063	. . . . . 6 |- ((B +H C) i^i (R +H S)) (_ ((B vH C) i^i (R vH S))
32	1, 11	chjcl 9295	. . . . . . . . 9 |- (B vH C) e. CH
33	8, 15	chjcl 9295	. . . . . . . . 9 |- (R vH S) e. CH
34	32, 33	chincl 9298	. . . . . . . 8 |- ((B vH C) i^i (R vH S)) e. CH
35	34	chshi 9018	. . . . . . 7 |- ((B vH C) i^i (R vH S)) e. SH
36	20, 35, 16	shlej2 9264	. . . . . 6 |- (((B +H C) i^i (R +H S)) (_ ((B vH C) i^i (R vH S)) -> (S vH ((B +H C) i^i (R +H S))) (_ (S vH ((B vH C) i^i (R vH S))))
37	31, 36	ax-mp 7	. . . . 5 |- (S vH ((B +H C) i^i (R +H S))) (_ (S vH ((B vH C) i^i (R vH S)))
38	24, 37	sstri 2063	. . . 4 |- (S +H ((B +H C) i^i (R +H S))) (_ (S vH ((B vH C) i^i (R vH S)))
39		sslin 2225	. . . 4 |- ((S +H ((B +H C) i^i (R +H S))) (_ (S vH ((B vH C) i^i (R vH S))) -> (R i^i (S +H ((B +H C) i^i (R +H S)))) (_ (R i^i (S vH ((B vH C) i^i (R vH S)))))
40	38, 39	ax-mp 7	. . 3 |- (R i^i (S +H ((B +H C) i^i (R +H S)))) (_ (R i^i (S vH ((B vH C) i^i (R vH S))))
41	15, 34	chjcl 9295	. . . . . 6 |- (S vH ((B vH C) i^i (R vH S))) e. CH
42	8, 41	chincl 9298	. . . . 5 |- (R i^i (S vH ((B vH C) i^i (R vH S)))) e. CH
43	42	chshi 9018	. . . 4 |- (R i^i (S vH ((B vH C) i^i (R vH S)))) e. SH
44	22, 43, 2	shlej2 9264	. . 3 |- ((R i^i (S +H ((B +H C) i^i (R +H S)))) (_ (R i^i (S vH ((B vH C) i^i (R vH S)))) -> (B vH (R i^i (S +H ((B +H C) i^i (R +H S))))) (_ (B vH (R i^i (S vH ((B vH C) i^i (R vH S))))))
45	40, 44	ax-mp 7	. 2 |- (B vH (R i^i (S +H ((B +H C) i^i (R +H S))))) (_ (B vH (R i^i (S vH ((B vH C) i^i (R vH S)))))
46	23, 45	sstri 2063	1 |- (B +H (R i^i (S +H ((B +H C) i^i (R +H S))))) (_ (B vH (R i^i (S vH ((B vH C) i^i (R vH S)))))

Syntax hints:   = wceq 953   e. wcel 955   i^i cin 2036   (_ wss 2037  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CHcch 8737  _|_cort 8738   +H cph 8739   vH chj 8741

This theorem is referenced by:  3oa 9530

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-reg 4565  ax-inf2 4597  ax-ac 4716  ax-hilex 8790  ax-hfvadd 8791  ax-hvcom 8792  ax-hvass 8793  ax-hv0cl 8794  ax-hvaddid 8795  ax-hfvmul 8796  ax-hvmulid 8797  ax-hvmulass 8798  ax-hvdistr1 8799  ax-hvdistr2 8800  ax-hvmul0 8801  ax-hfi 8867  ax-his1 8870  ax-his2 8871  ax-his3 8872  ax-his4 8873  ax-hcompl 8992

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-iin 2559  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-map 4308  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-r1 4615  df-rank 4616  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-3 5918  df-4 5919  df-n0 6047  df-z 6083  df-fl 6172  df-q 6194  df-seq1 6245  df-shft 6278  df-ioo 6298  df-uz 6350  df-fz 6400  df-seqz 6465  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-clim 6913  df-sum 6918  df-top 7534  df-bases 7536  df-topgen 7537  df-cld 7605  df-ntr 7606  df-cls 7607  df-cn 7694  df-cnp 7695  df-haus 7721  df-met 7732  df-bl 7734  df-opn 7735  df-lm 7860  df-grp 7971  df-gid 7972  df-ginv 7973  df-gdiv 7974  df-abl 8036  df-vc 8102  df-nv 8149  df-va 8152  df-ba 8153  df-sm 8154  df-0v 8155  df-vs 8156  df-nm 8157  df-ims 8158  df-ip 8284  df-ph 8403  df-hnorm 8776  df-hvsub 8779  df-hlim 8780  df-hcau 8781  df-sh 8997  df-ch 9013  df-oc 9045  df-ch0 9046  df-shsum 9188  df-chj 9190

Copyright terms: Public domain