MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3prm Unicode version

Theorem 3prm 13079
Description: 3 is a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
3prm  |-  3  e.  Prime

Proof of Theorem 3prm
StepHypRef Expression
1 3nn 10118 . . . 4  |-  3  e.  NN
21nnzi 10289 . . 3  |-  3  e.  ZZ
3 1lt3 10128 . . 3  |-  1  <  3
4 eluz2b1 10531 . . 3  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 3  e.  ZZ  /\  1  <  3 ) )
52, 3, 4mpbir2an 887 . 2  |-  3  e.  ( ZZ>= `  2 )
6 elfz1eq 11052 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( 2 ... 2 )  ->  z  =  2 )
7 2z 10296 . . . . . . . 8  |-  2  e.  ZZ
8 iddvds 12846 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  ||  2 )
9 2nn 10117 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN
10 1lt2 10126 . . . . . . . . 9  |-  1  <  2
11 ndvdsp1 12912 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  e.  NN  /\  1  <  2 )  ->  (
2  ||  2  ->  -.  2  ||  ( 2  +  1 ) ) )
127, 9, 10, 11mp3an 1279 . . . . . . . 8  |-  ( 2 
||  2  ->  -.  2  ||  ( 2  +  1 ) )
137, 8, 12mp2b 10 . . . . . . 7  |-  -.  2  ||  ( 2  +  1 )
14 df-3 10043 . . . . . . . 8  |-  3  =  ( 2  +  1 )
1514breq2i 4207 . . . . . . 7  |-  ( 2 
||  3  <->  2  ||  ( 2  +  1 ) )
1613, 15mtbir 291 . . . . . 6  |-  -.  2  ||  3
17 breq1 4202 . . . . . 6  |-  ( z  =  2  ->  (
z  ||  3  <->  2  ||  3 ) )
1816, 17mtbiri 295 . . . . 5  |-  ( z  =  2  ->  -.  z  ||  3 )
196, 18syl 16 . . . 4  |-  ( z  e.  ( 2 ... 2 )  ->  -.  z  ||  3 )
20 3m1e2 10080 . . . . 5  |-  ( 3  -  1 )  =  2
2120oveq2i 6078 . . . 4  |-  ( 2 ... ( 3  -  1 ) )  =  ( 2 ... 2
)
2219, 21eleq2s 2522 . . 3  |-  ( z  e.  ( 2 ... ( 3  -  1 ) )  ->  -.  z  ||  3 )
2322rgen 2758 . 2  |-  A. z  e.  ( 2 ... (
3  -  1 ) )  -.  z  ||  3
24 isprm3 13071 . 2  |-  ( 3  e.  Prime  <->  ( 3  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  ( 2 ... ( 3  -  1 ) )  -.  z  ||  3
) )
255, 23, 24mpbir2an 887 1  |-  3  e.  Prime
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2692   class class class wbr 4199   ` cfv 5440  (class class class)co 6067   1c1 8975    + caddc 8977    < clt 9104    - cmin 9275   NNcn 9984   2c2 10033   3c3 10034   ZZcz 10266   ZZ>=cuz 10472   ...cfz 11027    || cdivides 12835   Primecprime 13062
This theorem is referenced by:  4001lem4  13446  lt6abl  15487  ppi3  20937  cht3  20939  bpos1  21050
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-cnex 9030  ax-resscn 9031  ax-1cn 9032  ax-icn 9033  ax-addcl 9034  ax-addrcl 9035  ax-mulcl 9036  ax-mulrcl 9037  ax-mulcom 9038  ax-addass 9039  ax-mulass 9040  ax-distr 9041  ax-i2m1 9042  ax-1ne0 9043  ax-1rid 9044  ax-rnegex 9045  ax-rrecex 9046  ax-cnre 9047  ax-pre-lttri 9048  ax-pre-lttrn 9049  ax-pre-ltadd 9050  ax-pre-mulgt0 9051  ax-pre-sup 9052
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rmo 2700  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-pss 3323  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-tp 3809  df-op 3810  df-uni 4003  df-int 4038  df-iun 4082  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-tr 4290  df-eprel 4481  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-fr 4528  df-we 4530  df-ord 4571  df-on 4572  df-lim 4573  df-suc 4574  df-om 4832  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-1st 6335  df-2nd 6336  df-riota 6535  df-recs 6619  df-rdg 6654  df-1o 6710  df-2o 6711  df-oadd 6714  df-er 6891  df-en 7096  df-dom 7097  df-sdom 7098  df-fin 7099  df-sup 7432  df-pnf 9106  df-mnf 9107  df-xr 9108  df-ltxr 9109  df-le 9110  df-sub 9277  df-neg 9278  df-div 9662  df-nn 9985  df-2 10042  df-3 10043  df-n0 10206  df-z 10267  df-uz 10473  df-rp 10597  df-fz 11028  df-seq 11307  df-exp 11366  df-cj 11887  df-re 11888  df-im 11889  df-sqr 12023  df-abs 12024  df-dvds 12836  df-prm 13063
  Copyright terms: Public domain W3C validator