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Theorem 3reeanv 2721
Description: Rearrange three existential quantifiers. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
3reeanv  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  E. z  e.  C  ( ph  /\  ps  /\  ch ) 
<->  ( E. x  e.  A  ph  /\  E. y  e.  B  ps  /\ 
E. z  e.  C  ch ) )
Distinct variable groups:    ph, y, z    ps, x, z    ch, x, y    y, A    x, B, z    x, C, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( z)    A( x, z)    B( y)    C( z)

Proof of Theorem 3reeanv
StepHypRef Expression
1 r19.41v 2706 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  ( E. y  e.  B  ( ph  /\  ps )  /\  E. z  e.  C  ch )  <->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ( ph  /\ 
ps )  /\  E. z  e.  C  ch ) )
2 reeanv 2720 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ( ph  /\  ps )  <->  ( E. x  e.  A  ph  /\  E. y  e.  B  ps ) )
32anbi1i 676 . . 3  |-  ( ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ( ph  /\  ps )  /\  E. z  e.  C  ch )  <->  ( ( E. x  e.  A  ph  /\ 
E. y  e.  B  ps )  /\  E. z  e.  C  ch )
)
41, 3bitri 240 . 2  |-  ( E. x  e.  A  ( E. y  e.  B  ( ph  /\  ps )  /\  E. z  e.  C  ch )  <->  ( ( E. x  e.  A  ph  /\ 
E. y  e.  B  ps )  /\  E. z  e.  C  ch )
)
5 df-3an 936 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps  /\  ch ) 
<->  ( ( ph  /\  ps )  /\  ch )
)
652rexbii 2583 . . . 4  |-  ( E. y  e.  B  E. z  e.  C  ( ph  /\  ps  /\  ch ) 
<->  E. y  e.  B  E. z  e.  C  ( ( ph  /\  ps )  /\  ch )
)
7 reeanv 2720 . . . 4  |-  ( E. y  e.  B  E. z  e.  C  (
( ph  /\  ps )  /\  ch )  <->  ( E. y  e.  B  ( ph  /\  ps )  /\  E. z  e.  C  ch ) )
86, 7bitri 240 . . 3  |-  ( E. y  e.  B  E. z  e.  C  ( ph  /\  ps  /\  ch ) 
<->  ( E. y  e.  B  ( ph  /\  ps )  /\  E. z  e.  C  ch )
)
98rexbii 2581 . 2  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  E. z  e.  C  ( ph  /\  ps  /\  ch ) 
<->  E. x  e.  A  ( E. y  e.  B  ( ph  /\  ps )  /\  E. z  e.  C  ch ) )
10 df-3an 936 . 2  |-  ( ( E. x  e.  A  ph 
/\  E. y  e.  B  ps  /\  E. z  e.  C  ch )  <->  ( ( E. x  e.  A  ph 
/\  E. y  e.  B  ps )  /\  E. z  e.  C  ch )
)
114, 9, 103bitr4i 268 1  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  E. z  e.  C  ( ph  /\  ps  /\  ch ) 
<->  ( E. x  e.  A  ph  /\  E. y  e.  B  ps  /\ 
E. z  e.  C  ch ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wrex 2557
This theorem is referenced by:  imasmnd2  14425  imasgrp2  14626  imasrng  15418  axeuclid  24663  3reeanvOLD  26449  lshpkrlem6  29927
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-rex 2562
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