Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3v3e3cycl Unicode version

Theorem 3v3e3cycl 28411
 Description: If and only if there is a 3-cycle in a graph, there are three (different) vertices in the graph which are mutually connected by edges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
3v3e3cycl USGrph Cycles
Distinct variable groups:   ,,,,,   ,,,,,

Proof of Theorem 3v3e3cycl
StepHypRef Expression
1 usgrafun 28240 . . 3 USGrph
2 19.41v 1854 . . . . . . 7 Cycles Cycles
32exbii 1572 . . . . . 6 Cycles Cycles
4 19.41v 1854 . . . . . 6 Cycles Cycles
53, 4bitri 240 . . . . 5 Cycles Cycles
6 simpr 447 . . . . . . . 8 Cycles
7 simpll 730 . . . . . . . 8 Cycles Cycles
8 simplr 731 . . . . . . . 8 Cycles
9 3v3e3cycl1 28390 . . . . . . . 8 Cycles
106, 7, 8, 9syl3anc 1182 . . . . . . 7 Cycles
11102eximi 1567 . . . . . 6 Cycles
12 id 19 . . . . . . 7
1312exlimivv 1625 . . . . . 6
1411, 13syl 15 . . . . 5 Cycles
155, 14sylbir 204 . . . 4 Cycles
1615expcom 424 . . 3 Cycles
171, 16syl 15 . 2 USGrph Cycles
18 3v3e3cycl2 28410 . 2 USGrph Cycles
1917, 18impbid 183 1 USGrph Cycles
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934  wex 1531   wceq 1632   wcel 1696  wrex 2557  cpr 3654   class class class wbr 4039   crn 4706   wfun 5265  cfv 5271  (class class class)co 5874  c3 9812  chash 11353   USGrph cusg 28227   Cycles ccycl 28318 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-hash 11354  df-word 11425  df-usgra 28229  df-wlk 28319  df-trail 28320  df-pth 28321  df-cycl 28324
 Copyright terms: Public domain W3C validator