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Theorem 3v3e3cycl1 21481
Description: If there is a cycle of length 3 in a graph, there are three (different) vertices in the graph which are mutually connected by edges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
3v3e3cycl1  |-  ( ( Fun  E  /\  F
( V Cycles  E ) P  /\  ( # `  F
)  =  3 )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )
Distinct variable groups:    E, a,
b, c    P, a,
b, c    V, a,
b, c
Allowed substitution hints:    F( a, b, c)

Proof of Theorem 3v3e3cycl1
Dummy variables  k 
d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cycliswlk 21469 . . . . 5  |-  ( F ( V Cycles  E ) P  ->  F ( V Walks  E ) P )
2 wlkbprop 21400 . . . . 5  |-  ( F ( V Walks  E ) P  ->  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e. 
_V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( F ( V Cycles  E ) P  ->  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e. 
_V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
4 iscycl 21462 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Cycles  E ) P 
<->  ( F ( V Paths 
E ) P  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) ) ) )
5 ispth 21424 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Paths  E ) P 
<->  ( F ( V Trails  E ) P  /\  Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )  /\  ( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) ) ) )
6 istrl 21403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Trails  E ) P 
<->  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
7 fzo0to3tp 11114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0..^ 3 )  =  {
0 ,  1 ,  2 }
87raleqi 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. k  e.  ( 0..^ 3 ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  A. k  e.  {
0 ,  1 ,  2 }  ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )
9 0z 10227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  0  e.  ZZ
10 1z 10245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  ZZ
11 2z 10246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  ZZ
12 fveq2 5670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  0  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
0 ) )
1312fveq2d 5674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  0  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `  ( F `  0 )
) )
14 fveq2 5670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  0  ->  ( P `  k )  =  ( P ` 
0 ) )
15 oveq1 6029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  =  0  ->  (
k  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
16 0p1e1 10027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 0  +  1 )  =  1
1715, 16syl6eq 2437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  =  0  ->  (
k  +  1 )  =  1 )
1817fveq2d 5674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  0  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P ` 
1 ) )
1914, 18preq12d 3836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  0  ->  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) } )
2013, 19eqeq12d 2403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  0  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  0
) )  =  {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) } ) )
21 fveq2 5670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  1  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
1 ) )
2221fveq2d 5674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  1  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `  ( F `  1 )
) )
23 fveq2 5670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  1  ->  ( P `  k )  =  ( P ` 
1 ) )
24 oveq1 6029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  =  1  ->  (
k  +  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
25 1p1e2 10028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 1  +  1 )  =  2
2624, 25syl6eq 2437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  =  1  ->  (
k  +  1 )  =  2 )
2726fveq2d 5674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  1  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P ` 
2 ) )
2823, 27preq12d 3836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  1  ->  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } )
2922, 28eqeq12d 2403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  1  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  1
) )  =  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) } ) )
30 fveq2 5670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  2  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
2 ) )
3130fveq2d 5674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  2  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `  ( F `  2 )
) )
32 fveq2 5670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  2  ->  ( P `  k )  =  ( P ` 
2 ) )
33 oveq1 6029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  =  2  ->  (
k  +  1 )  =  ( 2  +  1 ) )
34 2p1e3 10037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 2  +  1 )  =  3
3533, 34syl6eq 2437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  =  2  ->  (
k  +  1 )  =  3 )
3635fveq2d 5674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  2  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P ` 
3 ) )
3732, 36preq12d 3836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  2  ->  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  =  { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  3 ) } )
3831, 37eqeq12d 2403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  2  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  2
) )  =  {
( P `  2
) ,  ( P `
 3 ) } ) )
3920, 29, 38raltpg 3804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  { 0 ,  1 ,  2 }  ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  /\  ( E `  ( F `  2 ) )  =  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  3
) } ) ) )
409, 10, 11, 39mp3an 1279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. k  e.  { 0 ,  1 ,  2 }  ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  /\  ( E `  ( F `  2 ) )  =  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  3
) } ) )
418, 40bitri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. k  e.  ( 0..^ 3 ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
2 ) )  =  { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  3 ) } ) )
42 preq2 3829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( P `  3 )  =  ( P ` 
0 )  ->  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
3 ) }  =  { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  0 ) } )
4342eqcoms 2392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( P `  0 )  =  ( P ` 
3 )  ->  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
3 ) }  =  { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  0 ) } )
4443eqeq2d 2400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( P `  0 )  =  ( P ` 
3 )  ->  (
( E `  ( F `  2 )
)  =  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
3 ) }  <->  ( E `  ( F `  2
) )  =  {
( P `  2
) ,  ( P `
 0 ) } ) )
45443anbi3d 1260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( P `  0 )  =  ( P ` 
3 )  ->  (
( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  /\  ( E `  ( F `  2 ) )  =  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  3
) } )  <->  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  /\  ( E `  ( F `  2 ) )  =  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  0
) } ) ) )
46 3pos 10018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  0  <  3
47 breq2 4159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
# `  F )  =  3  ->  (
0  <  ( # `  F
)  <->  0  <  3
) )
4846, 47mpbiri 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
# `  F )  =  3  ->  0  <  ( # `  F
) )
49 0nn0 10170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  0  e.  NN0
5048, 49jctil 524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
# `  F )  =  3  ->  (
0  e.  NN0  /\  0  <  ( # `  F
) ) )
51 nvnencycllem 21480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( Fun  E  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( 0  e. 
NN0  /\  0  <  (
# `  F )
) )  ->  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  ->  { ( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) }  e.  ran  E ) )
5250, 51sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( Fun  E  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  =  3 )  ->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  ->  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  e.  ran  E ) )
53 1lt3 10078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  1  <  3
54 breq2 4159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
# `  F )  =  3  ->  (
1  <  ( # `  F
)  <->  1  <  3
) )
5553, 54mpbiri 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
# `  F )  =  3  ->  1  <  ( # `  F
) )
56 1nn0 10171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  1  e.  NN0
5755, 56jctil 524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
# `  F )  =  3  ->  (
1  e.  NN0  /\  1  <  ( # `  F
) ) )
58 nvnencycllem 21480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( Fun  E  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( 1  e. 
NN0  /\  1  <  (
# `  F )
) )  ->  (
( E `  ( F `  1 )
)  =  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  ->  { ( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) }  e.  ran  E ) )
5957, 58sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( Fun  E  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  =  3 )  ->  ( ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) }  ->  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  e.  ran  E ) )
60 2lt3 10077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  2  <  3
61 breq2 4159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
# `  F )  =  3  ->  (
2  <  ( # `  F
)  <->  2  <  3
) )
6260, 61mpbiri 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
# `  F )  =  3  ->  2  <  ( # `  F
) )
63 2nn0 10172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  2  e.  NN0
6462, 63jctil 524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
# `  F )  =  3  ->  (
2  e.  NN0  /\  2  <  ( # `  F
) ) )
65 nvnencycllem 21480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( Fun  E  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( 2  e. 
NN0  /\  2  <  (
# `  F )
) )  ->  (
( E `  ( F `  2 )
)  =  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
0 ) }  ->  { ( P `  2
) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) )
6664, 65sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( Fun  E  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  =  3 )  ->  ( ( E `
 ( F ` 
2 ) )  =  { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  0 ) }  ->  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )
6752, 59, 663anim123d 1261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( Fun  E  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  =  3 )  ->  ( ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  /\  ( E `  ( F `  2 ) )  =  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  0
) } )  -> 
( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  e.  ran  E  /\  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  e.  ran  E  /\  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  0
) }  e.  ran  E ) ) )
6867adantlrr 702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( Fun  E  /\  ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F ) )  /\  ( # `  F )  =  3 )  ->  ( (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  /\  ( E `  ( F `  2 ) )  =  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  0
) } )  -> 
( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  e.  ran  E  /\  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  e.  ran  E  /\  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  0
) }  e.  ran  E ) ) )
6968imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( Fun  E  /\  ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F
) )  /\  ( # `
 F )  =  3 )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  /\  ( E `  ( F `  2 ) )  =  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  0
) } ) )  ->  ( { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )
70 3nn0 10173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  3  e.  NN0
7170nn0zi 10240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  3  e.  ZZ
72 uzid 10434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  3  e.  ( ZZ>= `  3 )
)
7371, 72ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  3  e.  ( ZZ>= `  3 )
74 4fvwrd4 11053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( 3  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... 3 ) --> V )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b )  /\  (
( P `  2
)  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) ) )
7573, 74mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( P : ( 0 ... 3 ) --> V  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b )  /\  (
( P `  2
)  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) ) )
76 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( P `  2
)  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d )  -> 
( P `  2
)  =  c )
7776anim2i 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  ->  ( ( ( P `  0 )  =  a  /\  ( P `  1 )  =  b )  /\  ( P `  2 )  =  c ) )
78 df-3an 938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( P `  0
)  =  a  /\  ( P `  1 )  =  b  /\  ( P `  2 )  =  c )  <->  ( (
( P `  0
)  =  a  /\  ( P `  1 )  =  b )  /\  ( P `  2 )  =  c ) )
7977, 78sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  ->  ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b  /\  ( P `
 2 )  =  c ) )
8079rexlimivw 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( E. d  e.  V  ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  ->  ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b  /\  ( P `
 2 )  =  c ) )
8180reximi 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( E. c  e.  V  E. d  e.  V  (
( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  ->  E. c  e.  V  ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b  /\  ( P ` 
2 )  =  c ) )
8281reximi 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  (
( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b  /\  ( P ` 
2 )  =  c ) )
8382reximi 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  (
( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b  /\  ( P ` 
2 )  =  c ) )
8475, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( P : ( 0 ... 3 ) --> V  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b  /\  ( P ` 
2 )  =  c ) )
85 preq12 3830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( P `  0
)  =  a  /\  ( P `  1 )  =  b )  ->  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  =  { a ,  b } )
86853adant3 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( P `  0
)  =  a  /\  ( P `  1 )  =  b  /\  ( P `  2 )  =  c )  ->  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  =  { a ,  b } )
8786eleq1d 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( P `  0
)  =  a  /\  ( P `  1 )  =  b  /\  ( P `  2 )  =  c )  -> 
( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  e.  ran  E  <->  { a ,  b }  e.  ran  E
) )
88 preq12 3830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( P `  1
)  =  b  /\  ( P `  2 )  =  c )  ->  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) }  =  { b ,  c } )
89883adant1 975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( P `  0
)  =  a  /\  ( P `  1 )  =  b  /\  ( P `  2 )  =  c )  ->  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) }  =  { b ,  c } )
9089eleq1d 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( P `  0
)  =  a  /\  ( P `  1 )  =  b  /\  ( P `  2 )  =  c )  -> 
( { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  e.  ran  E  <->  { b ,  c }  e.  ran  E
) )
91 preq12 3830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( P `  2
)  =  c  /\  ( P `  0 )  =  a )  ->  { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  0 ) }  =  { c ,  a } )
9291ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( P `  0
)  =  a  /\  ( P `  2 )  =  c )  ->  { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  0 ) }  =  { c ,  a } )
93923adant2 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( P `  0
)  =  a  /\  ( P `  1 )  =  b  /\  ( P `  2 )  =  c )  ->  { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  0 ) }  =  { c ,  a } )
9493eleq1d 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( P `  0
)  =  a  /\  ( P `  1 )  =  b  /\  ( P `  2 )  =  c )  -> 
( { ( P `
 2 ) ,  ( P `  0
) }  e.  ran  E  <->  { c ,  a }  e.  ran  E
) )
9587, 90, 943anbi123d 1254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( P `  0
)  =  a  /\  ( P `  1 )  =  b  /\  ( P `  2 )  =  c )  -> 
( ( { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E )  <->  ( {
a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )
9695biimpcd 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  e.  ran  E  /\  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) }  e.  ran  E  /\  { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  0 ) }  e.  ran  E
)  ->  ( (
( P `  0
)  =  a  /\  ( P `  1 )  =  b  /\  ( P `  2 )  =  c )  -> 
( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )
9796reximdv 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  e.  ran  E  /\  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) }  e.  ran  E  /\  { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  0 ) }  e.  ran  E
)  ->  ( E. c  e.  V  (
( P `  0
)  =  a  /\  ( P `  1 )  =  b  /\  ( P `  2 )  =  c )  ->  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) )
9897reximdv 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  e.  ran  E  /\  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) }  e.  ran  E  /\  { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  0 ) }  e.  ran  E
)  ->  ( E. b  e.  V  E. c  e.  V  (
( P `  0
)  =  a  /\  ( P `  1 )  =  b  /\  ( P `  2 )  =  c )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) )
9998reximdv 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  e.  ran  E  /\  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) }  e.  ran  E  /\  { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  0 ) }  e.  ran  E
)  ->  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  (
( P `  0
)  =  a  /\  ( P `  1 )  =  b  /\  ( P `  2 )  =  c )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) )
10069, 84, 99syl2im 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( Fun  E  /\  ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F
) )  /\  ( # `
 F )  =  3 )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  /\  ( E `  ( F `  2 ) )  =  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  0
) } ) )  ->  ( P :
( 0 ... 3
) --> V  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( {
a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )
101100exp41 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Fun 
E  ->  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  ->  (
( # `  F )  =  3  ->  (
( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  /\  ( E `  ( F `  2 ) )  =  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  0
) } )  -> 
( P : ( 0 ... 3 ) --> V  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( {
a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) ) ) )
102101com14 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  /\  ( E `  ( F `  2 ) )  =  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  0
) } )  -> 
( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  ->  (
( # `  F )  =  3  ->  ( Fun  E  ->  ( P : ( 0 ... 3 ) --> V  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) ) )
103102com35 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  /\  ( E `  ( F `  2 ) )  =  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  0
) } )  -> 
( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  ->  ( P : ( 0 ... 3 ) --> V  -> 
( Fun  E  ->  ( ( # `  F
)  =  3  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) ) )
10445, 103syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( P `  0 )  =  ( P ` 
3 )  ->  (
( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  /\  ( E `  ( F `  2 ) )  =  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  3
) } )  -> 
( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  ->  ( P : ( 0 ... 3 ) --> V  -> 
( Fun  E  ->  ( ( # `  F
)  =  3  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) ) ) )
105104com12 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  /\  ( E `  ( F `  2 ) )  =  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  3
) } )  -> 
( ( P ` 
0 )  =  ( P `  3 )  ->  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  ->  ( P : ( 0 ... 3 ) --> V  -> 
( Fun  E  ->  ( ( # `  F
)  =  3  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) ) ) )
106105com24 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  /\  ( E `  ( F `  2 ) )  =  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  3
) } )  -> 
( P : ( 0 ... 3 ) --> V  ->  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  ->  (
( P `  0
)  =  ( P `
 3 )  -> 
( Fun  E  ->  ( ( # `  F
)  =  3  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) ) ) )
10741, 106sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. k  e.  ( 0..^ 3 ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  ( P : ( 0 ... 3 ) --> V  -> 
( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  ->  (
( P `  0
)  =  ( P `
 3 )  -> 
( Fun  E  ->  ( ( # `  F
)  =  3  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) ) ) )
108107com13 76 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  ->  ( P :
( 0 ... 3
) --> V  ->  ( A. k  e.  (
0..^ 3 ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) }  ->  (
( P `  0
)  =  ( P `
 3 )  -> 
( Fun  E  ->  ( ( # `  F
)  =  3  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) ) ) )
1091083imp 1147 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F
)  /\  P :
( 0 ... 3
) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ 3 ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  (
( P `  0
)  =  ( P `
 3 )  -> 
( Fun  E  ->  ( ( # `  F
)  =  3  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) )
110109com14 84 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  F )  =  3  ->  (
( P `  0
)  =  ( P `
 3 )  -> 
( Fun  E  ->  ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  /\  P : ( 0 ... 3 ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ 3 ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( {
a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) ) )
111 fveq2 5670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  F )  =  3  ->  ( P `  ( # `  F
) )  =  ( P `  3 ) )
112111eqeq2d 2400 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  F )  =  3  ->  (
( P `  0
)  =  ( P `
 ( # `  F
) )  <->  ( P `  0 )  =  ( P `  3
) ) )
113 oveq2 6030 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  F )  =  3  ->  (
0 ... ( # `  F
) )  =  ( 0 ... 3 ) )
114113feq2d 5523 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  F )  =  3  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  <->  P :
( 0 ... 3
) --> V ) )
115 oveq2 6030 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  F )  =  3  ->  (
0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 3 ) )
116115raleqdv 2855 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  F )  =  3  ->  ( A. k  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  A. k  e.  ( 0..^ 3 ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } ) )
117114, 1163anbi23d 1257 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  F )  =  3  ->  (
( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  <->  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  /\  P : ( 0 ... 3 ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ 3 ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
118117imbi1d 309 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  F )  =  3  ->  (
( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( {
a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  <->  ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  /\  P : ( 0 ... 3 ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ 3 ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) ) )
119118imbi2d 308 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  F )  =  3  ->  (
( Fun  E  ->  ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( {
a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  <->  ( Fun  E  ->  ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  /\  P : ( 0 ... 3 ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ 3 ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) )
120110, 112, 1193imtr4d 260 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  F )  =  3  ->  (
( P `  0
)  =  ( P `
 ( # `  F
) )  ->  ( Fun  E  ->  ( (
( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F
)  /\  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) )
121120com14 84 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F
)  /\  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )  -> 
( ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( # `  F ) )  -> 
( Fun  E  ->  ( ( # `  F
)  =  3  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) )
122121a1d 23 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F
)  /\  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )  -> 
( ( ( P
" { 0 ,  ( # `  F
) } )  i^i  ( P " (
1..^ ( # `  F
) ) ) )  =  (/)  ->  ( ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) )  ->  ( Fun  E  ->  ( ( # `  F )  =  3  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) ) )
123122a1d 23 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F
)  /\  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )  -> 
( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ (
# `  F )
) )  ->  (
( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/)  ->  ( ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) )  ->  ( Fun  E  ->  ( ( # `  F
)  =  3  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) ) ) )
1246, 123syl6bi 220 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Trails  E ) P  ->  ( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( ( ( P
" { 0 ,  ( # `  F
) } )  i^i  ( P " (
1..^ ( # `  F
) ) ) )  =  (/)  ->  ( ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) )  ->  ( Fun  E  ->  ( ( # `  F )  =  3  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) ) ) ) )
1251243impd 1167 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( ( F ( V Trails  E
) P  /\  Fun  `' ( P  |`  (
1..^ ( # `  F
) ) )  /\  ( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) )  ->  ( ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) )  ->  ( Fun  E  ->  ( ( # `  F )  =  3  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) ) )
1265, 125sylbid 207 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Paths  E ) P  ->  ( ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) )  ->  ( Fun  E  ->  ( ( # `  F
)  =  3  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) ) )
127126imp3a 421 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( ( F ( V Paths  E
) P  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  ->  ( Fun  E  ->  ( ( # `
 F )  =  3  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( {
a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) ) )
1284, 127sylbid 207 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Cycles  E ) P  ->  ( Fun  E  ->  ( ( # `  F
)  =  3  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) )
1291283adant1 975 . . . 4  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Cycles  E ) P  ->  ( Fun  E  ->  ( ( # `  F
)  =  3  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) )
1303, 129mpcom 34 . . 3  |-  ( F ( V Cycles  E ) P  ->  ( Fun  E  ->  ( ( # `  F )  =  3  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) ) )
131130com12 29 . 2  |-  ( Fun 
E  ->  ( F
( V Cycles  E ) P  ->  ( ( # `  F )  =  3  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) ) )
1321313imp 1147 1  |-  ( ( Fun  E  /\  F
( V Cycles  E ) P  /\  ( # `  F
)  =  3 )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2651   E.wrex 2652   _Vcvv 2901    i^i cin 3264   (/)c0 3573   {cpr 3760   {ctp 3761   class class class wbr 4155   `'ccnv 4819   dom cdm 4820   ran crn 4821    |` cres 4822   "cima 4823   Fun wfun 5390   -->wf 5392   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   0cc0 8925   1c1 8926    + caddc 8928    < clt 9055   2c2 9983   3c3 9984   NN0cn0 10155   ZZcz 10216   ZZ>=cuz 10422   ...cfz 10977  ..^cfzo 11067   #chash 11547  Word cword 11646   Walks cwalk 21374   Trails ctrail 21375   Paths cpath 21376   Cycles ccycl 21382
This theorem is referenced by:  3v3e3cycl  21502
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-pm 6959  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-card 7761  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-hash 11548  df-word 11652  df-wlk 21383  df-trail 21384  df-pth 21385  df-cycl 21388
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