MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3v3e3cycl2 Unicode version

Theorem 3v3e3cycl2 21639
Description: If there are three (different) vertices in a graph which are mutually connected by edges, there is a 3-cycle in the graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
3v3e3cycl2  |-  ( V USGrph  E  ->  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( {
a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E )  ->  E. f E. p
( f ( V Cycles  E ) p  /\  ( # `  f )  =  3 ) ) )
Distinct variable groups:    E, a,
b, c, f, p    V, a, b, c, f, p

Proof of Theorem 3v3e3cycl2
StepHypRef Expression
1 df-rex 2703 . . 3  |-  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
)  <->  E. a ( a  e.  V  /\  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) )
2 df-rex 2703 . . . . . 6  |-  ( E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
)  <->  E. b ( b  e.  V  /\  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) )
3 df-rex 2703 . . . . . . . 8  |-  ( E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
)  <->  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) )
43anbi2i 676 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  V  /\  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  <->  ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )
54exbii 1592 . . . . . 6  |-  ( E. b ( b  e.  V  /\  E. c  e.  V  ( {
a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  <->  E. b ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )
62, 5bitri 241 . . . . 5  |-  ( E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
)  <->  E. b ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )
76anbi2i 676 . . . 4  |-  ( ( a  e.  V  /\  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  <->  ( a  e.  V  /\  E. b
( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) )
87exbii 1592 . . 3  |-  ( E. a ( a  e.  V  /\  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( {
a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  <->  E. a ( a  e.  V  /\  E. b ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) ) )
91, 8bitri 241 . 2  |-  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
)  <->  E. a ( a  e.  V  /\  E. b ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) ) )
10 19.41v 1924 . . . 4  |-  ( E. a ( ( a  e.  V  /\  E. b ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )  /\  V USGrph  E )  <->  ( E. a ( a  e.  V  /\  E. b ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )  /\  V USGrph  E )
)
11 ancom 438 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  V  /\  E. b ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )  <-> 
( E. b ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  /\  a  e.  V ) )
12 19.41v 1924 . . . . . . . . 9  |-  ( E. b ( ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  /\  a  e.  V )  <->  ( E. b ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  /\  a  e.  V )
)
1311, 12bitr4i 244 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  V  /\  E. b ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )  <->  E. b ( ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  /\  a  e.  V ) )
1413anbi1i 677 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  e.  V  /\  E. b ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )  /\  V USGrph  E )  <->  ( E. b ( ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  /\  a  e.  V )  /\  V USGrph  E ) )
15 19.41v 1924 . . . . . . 7  |-  ( E. b ( ( ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  /\  a  e.  V )  /\  V USGrph  E )  <->  ( E. b
( ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  /\  a  e.  V )  /\  V USGrph  E ) )
16 anass 631 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  /\  a  e.  V )  /\  V USGrph  E )  <->  ( (
b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) ) )
17 ancom 438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  <->  ( E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  /\  b  e.  V ) )
18 19.41v 1924 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. c ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  /\  b  e.  V )  <->  ( E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  /\  b  e.  V ) )
1917, 18bitr4i 244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  <->  E. c
( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  /\  b  e.  V ) )
2019anbi1i 677 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) )  /\  ( a  e.  V  /\  V USGrph  E ) )  <-> 
( E. c ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) ) )
21 19.41v 1924 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. c ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) )  <->  ( E. c ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) ) )
2220, 21bitr4i 244 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) )  /\  ( a  e.  V  /\  V USGrph  E ) )  <->  E. c ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) ) )
2316, 22bitri 241 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  /\  a  e.  V )  /\  V USGrph  E )  <->  E. c
( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) ) )
2423exbii 1592 . . . . . . 7  |-  ( E. b ( ( ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  /\  a  e.  V )  /\  V USGrph  E )  <->  E. b E. c
( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) ) )
2514, 15, 243bitr2i 265 . . . . . 6  |-  ( ( ( a  e.  V  /\  E. b ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )  /\  V USGrph  E )  <->  E. b E. c ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) ) )
2625exbii 1592 . . . . 5  |-  ( E. a ( ( a  e.  V  /\  E. b ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )  /\  V USGrph  E )  <->  E. a E. b E. c ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) ) )
27 simprr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) )  ->  V USGrph  E )
28 simprl 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) )  -> 
a  e.  V )
29 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) )  -> 
b  e.  V )
30 simplll 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) )  -> 
c  e.  V )
31 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  /\  b  e.  V )  ->  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )
3231adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) )  -> 
( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )
33 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }
34 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
<. 0 ,  a
>. ,  <. 1 ,  b >. }  u.  { <. 2 ,  c >. ,  <. 3 ,  a
>. } )  =  ( { <. 0 ,  a
>. ,  <. 1 ,  b >. }  u.  { <. 2 ,  c >. ,  <. 3 ,  a
>. } )
3533, 34constr3cycl 21636 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V USGrph  E  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V  /\  c  e.  V )  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  ->  ( { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }  ( V Cycles  E
) ( { <. 0 ,  a >. , 
<. 1 ,  b
>. }  u.  { <. 2 ,  c >. , 
<. 3 ,  a
>. } )  /\  ( # `
 { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. } )  =  3 ) )
3627, 28, 29, 30, 32, 35syl131anc 1197 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) )  -> 
( { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. }  ( V Cycles  E ) ( {
<. 0 ,  a
>. ,  <. 1 ,  b >. }  u.  { <. 2 ,  c >. ,  <. 3 ,  a
>. } )  /\  ( # `
 { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. } )  =  3 ) )
3736eximi 1585 . . . . . . 7  |-  ( E. c ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) )  ->  E. c ( { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }  ( V Cycles  E
) ( { <. 0 ,  a >. , 
<. 1 ,  b
>. }  u.  { <. 2 ,  c >. , 
<. 3 ,  a
>. } )  /\  ( # `
 { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. } )  =  3 ) )
38372eximi 1586 . . . . . 6  |-  ( E. a E. b E. c ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) )  ->  E. a E. b E. c ( { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }  ( V Cycles  E
) ( { <. 0 ,  a >. , 
<. 1 ,  b
>. }  u.  { <. 2 ,  c >. , 
<. 3 ,  a
>. } )  /\  ( # `
 { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. } )  =  3 ) )
39 tpex 4699 . . . . . . . . 9  |-  { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }  e.  _V
40 prex 4398 . . . . . . . . . 10  |-  { <. 0 ,  a >. , 
<. 1 ,  b
>. }  e.  _V
41 prex 4398 . . . . . . . . . 10  |-  { <. 2 ,  c >. , 
<. 3 ,  a
>. }  e.  _V
4240, 41unex 4698 . . . . . . . . 9  |-  ( {
<. 0 ,  a
>. ,  <. 1 ,  b >. }  u.  { <. 2 ,  c >. ,  <. 3 ,  a
>. } )  e.  _V
43 breq12 4209 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }  /\  p  =  ( { <. 0 ,  a >. ,  <. 1 ,  b >. }  u.  { <. 2 ,  c >. ,  <. 3 ,  a >. } ) )  ->  (
f ( V Cycles  E
) p  <->  { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. }  ( V Cycles  E ) ( {
<. 0 ,  a
>. ,  <. 1 ,  b >. }  u.  { <. 2 ,  c >. ,  <. 3 ,  a
>. } ) ) )
44 fveq2 5719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. }  ->  (
# `  f )  =  ( # `  { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. } ) )
4544eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. }  ->  ( ( # `  f
)  =  3  <->  ( # `
 { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. } )  =  3 ) )
4645adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }  /\  p  =  ( { <. 0 ,  a >. ,  <. 1 ,  b >. }  u.  { <. 2 ,  c >. ,  <. 3 ,  a >. } ) )  ->  (
( # `  f )  =  3  <->  ( # `  { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. } )  =  3 ) )
4743, 46anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }  /\  p  =  ( { <. 0 ,  a >. ,  <. 1 ,  b >. }  u.  { <. 2 ,  c >. ,  <. 3 ,  a >. } ) )  ->  (
( f ( V Cycles  E ) p  /\  ( # `  f )  =  3 )  <->  ( { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }  ( V Cycles  E
) ( { <. 0 ,  a >. , 
<. 1 ,  b
>. }  u.  { <. 2 ,  c >. , 
<. 3 ,  a
>. } )  /\  ( # `
 { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. } )  =  3 ) ) )
4839, 42, 47spc2ev 3036 . . . . . . . 8  |-  ( ( { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }  ( V Cycles  E
) ( { <. 0 ,  a >. , 
<. 1 ,  b
>. }  u.  { <. 2 ,  c >. , 
<. 3 ,  a
>. } )  /\  ( # `
 { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. } )  =  3 )  ->  E. f E. p ( f ( V Cycles  E
) p  /\  ( # `
 f )  =  3 ) )
4948exlimiv 1644 . . . . . . 7  |-  ( E. c ( { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }  ( V Cycles  E
) ( { <. 0 ,  a >. , 
<. 1 ,  b
>. }  u.  { <. 2 ,  c >. , 
<. 3 ,  a
>. } )  /\  ( # `
 { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. } )  =  3 )  ->  E. f E. p ( f ( V Cycles  E
) p  /\  ( # `
 f )  =  3 ) )
5049exlimivv 1645 . . . . . 6  |-  ( E. a E. b E. c ( { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }  ( V Cycles  E
) ( { <. 0 ,  a >. , 
<. 1 ,  b
>. }  u.  { <. 2 ,  c >. , 
<. 3 ,  a
>. } )  /\  ( # `
 { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. } )  =  3 )  ->  E. f E. p ( f ( V Cycles  E
) p  /\  ( # `
 f )  =  3 ) )
5138, 50syl 16 . . . . 5  |-  ( E. a E. b E. c ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) )  ->  E. f E. p ( f ( V Cycles  E
) p  /\  ( # `
 f )  =  3 ) )
5226, 51sylbi 188 . . . 4  |-  ( E. a ( ( a  e.  V  /\  E. b ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )  /\  V USGrph  E )  ->  E. f E. p
( f ( V Cycles  E ) p  /\  ( # `  f )  =  3 ) )
5310, 52sylbir 205 . . 3  |-  ( ( E. a ( a  e.  V  /\  E. b ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )  /\  V USGrph  E )  ->  E. f E. p
( f ( V Cycles  E ) p  /\  ( # `  f )  =  3 ) )
5453expcom 425 . 2  |-  ( V USGrph  E  ->  ( E. a
( a  e.  V  /\  E. b ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )  ->  E. f E. p ( f ( V Cycles  E
) p  /\  ( # `
 f )  =  3 ) ) )
559, 54syl5bi 209 1  |-  ( V USGrph  E  ->  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( {
a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E )  ->  E. f E. p
( f ( V Cycles  E ) p  /\  ( # `  f )  =  3 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2698    u. cun 3310   {cpr 3807   {ctp 3808   <.cop 3809   class class class wbr 4204   `'ccnv 4868   ran crn 4870   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   0cc0 8979   1c1 8980   2c2 10038   3c3 10039   #chash 11606   USGrph cusg 21353   Cycles ccycl 21503
This theorem is referenced by:  3v3e3cycl  21640
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-oadd 6719  df-er 6896  df-map 7011  df-pm 7012  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-card 7815  df-cda 8037  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-fz 11033  df-fzo 11124  df-hash 11607  df-word 11711  df-usgra 21355  df-wlk 21504  df-trail 21505  df-pth 21506  df-cycl 21509
  Copyright terms: Public domain W3C validator