Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3v3e3cycl2 Unicode version

Theorem 3v3e3cycl2 28410
Description: If there are three (different) vertices in a graph which are mutually connected by edges, there is a 3-cycle in the graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
3v3e3cycl2  |-  ( V USGrph  E  ->  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( {
a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E )  ->  E. f E. p
( f ( V Cycles  E ) p  /\  ( # `  f )  =  3 ) ) )
Distinct variable groups:    E, a,
b, c, f, p    V, a, b, c, f, p

Proof of Theorem 3v3e3cycl2
StepHypRef Expression
1 df-rex 2562 . . 3  |-  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
)  <->  E. a ( a  e.  V  /\  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) )
2 df-rex 2562 . . . . . 6  |-  ( E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
)  <->  E. b ( b  e.  V  /\  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) )
3 df-rex 2562 . . . . . . . 8  |-  ( E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
)  <->  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) )
43anbi2i 675 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  V  /\  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  <->  ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )
54exbii 1572 . . . . . 6  |-  ( E. b ( b  e.  V  /\  E. c  e.  V  ( {
a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  <->  E. b ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )
62, 5bitri 240 . . . . 5  |-  ( E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
)  <->  E. b ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )
76anbi2i 675 . . . 4  |-  ( ( a  e.  V  /\  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  <->  ( a  e.  V  /\  E. b
( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) )
87exbii 1572 . . 3  |-  ( E. a ( a  e.  V  /\  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( {
a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  <->  E. a ( a  e.  V  /\  E. b ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) ) )
91, 8bitri 240 . 2  |-  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
)  <->  E. a ( a  e.  V  /\  E. b ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) ) )
10 19.41v 1854 . . . 4  |-  ( E. a ( ( a  e.  V  /\  E. b ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )  /\  V USGrph  E )  <->  ( E. a ( a  e.  V  /\  E. b ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )  /\  V USGrph  E )
)
11 ancom 437 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  V  /\  E. b ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )  <-> 
( E. b ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  /\  a  e.  V ) )
12 19.41v 1854 . . . . . . . . 9  |-  ( E. b ( ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  /\  a  e.  V )  <->  ( E. b ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  /\  a  e.  V )
)
1311, 12bitr4i 243 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  V  /\  E. b ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )  <->  E. b ( ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  /\  a  e.  V ) )
1413anbi1i 676 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  e.  V  /\  E. b ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )  /\  V USGrph  E )  <->  ( E. b ( ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  /\  a  e.  V )  /\  V USGrph  E ) )
15 19.41v 1854 . . . . . . 7  |-  ( E. b ( ( ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  /\  a  e.  V )  /\  V USGrph  E )  <->  ( E. b
( ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  /\  a  e.  V )  /\  V USGrph  E ) )
16 anass 630 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  /\  a  e.  V )  /\  V USGrph  E )  <->  ( (
b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) ) )
17 ancom 437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  <->  ( E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  /\  b  e.  V ) )
18 19.41v 1854 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. c ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  /\  b  e.  V )  <->  ( E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  /\  b  e.  V ) )
1917, 18bitr4i 243 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  <->  E. c
( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  /\  b  e.  V ) )
2019anbi1i 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) )  /\  ( a  e.  V  /\  V USGrph  E ) )  <-> 
( E. c ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) ) )
21 19.41v 1854 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. c ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) )  <->  ( E. c ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) ) )
2220, 21bitr4i 243 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) )  /\  ( a  e.  V  /\  V USGrph  E ) )  <->  E. c ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) ) )
2316, 22bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  /\  a  e.  V )  /\  V USGrph  E )  <->  E. c
( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) ) )
2423exbii 1572 . . . . . . 7  |-  ( E. b ( ( ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  /\  a  e.  V )  /\  V USGrph  E )  <->  E. b E. c
( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) ) )
2514, 15, 243bitr2i 264 . . . . . 6  |-  ( ( ( a  e.  V  /\  E. b ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )  /\  V USGrph  E )  <->  E. b E. c ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) ) )
2625exbii 1572 . . . . 5  |-  ( E. a ( ( a  e.  V  /\  E. b ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )  /\  V USGrph  E )  <->  E. a E. b E. c ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) ) )
27 simprr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) )  ->  V USGrph  E )
28 simpl 443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  V  /\  V USGrph  E )  ->  a  e.  V )
2928adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) )  -> 
a  e.  V )
30 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) )  -> 
b  e.  V )
31 simplll 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) )  -> 
c  e.  V )
32 simplr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  /\  b  e.  V )  ->  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )
3332adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) )  -> 
( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )
34 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }
35 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
<. 0 ,  a
>. ,  <. 1 ,  b >. }  u.  { <. 2 ,  c >. ,  <. 3 ,  a
>. } )  =  ( { <. 0 ,  a
>. ,  <. 1 ,  b >. }  u.  { <. 2 ,  c >. ,  <. 3 ,  a
>. } )
3634, 35constr3cycl 28407 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V USGrph  E  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V  /\  c  e.  V )  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  ->  ( { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }  ( V Cycles  E
) ( { <. 0 ,  a >. , 
<. 1 ,  b
>. }  u.  { <. 2 ,  c >. , 
<. 3 ,  a
>. } )  /\  ( # `
 { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. } )  =  3 ) )
3727, 29, 30, 31, 33, 36syl131anc 1195 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) )  -> 
( { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. }  ( V Cycles  E ) ( {
<. 0 ,  a
>. ,  <. 1 ,  b >. }  u.  { <. 2 ,  c >. ,  <. 3 ,  a
>. } )  /\  ( # `
 { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. } )  =  3 ) )
3837eximi 1566 . . . . . . 7  |-  ( E. c ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) )  ->  E. c ( { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }  ( V Cycles  E
) ( { <. 0 ,  a >. , 
<. 1 ,  b
>. }  u.  { <. 2 ,  c >. , 
<. 3 ,  a
>. } )  /\  ( # `
 { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. } )  =  3 ) )
39382eximi 1567 . . . . . 6  |-  ( E. a E. b E. c ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) )  ->  E. a E. b E. c ( { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }  ( V Cycles  E
) ( { <. 0 ,  a >. , 
<. 1 ,  b
>. }  u.  { <. 2 ,  c >. , 
<. 3 ,  a
>. } )  /\  ( # `
 { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. } )  =  3 ) )
40 tpex 4535 . . . . . . . . 9  |-  { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }  e.  _V
41 prex 4233 . . . . . . . . . 10  |-  { <. 0 ,  a >. , 
<. 1 ,  b
>. }  e.  _V
42 prex 4233 . . . . . . . . . 10  |-  { <. 2 ,  c >. , 
<. 3 ,  a
>. }  e.  _V
4341, 42unex 4534 . . . . . . . . 9  |-  ( {
<. 0 ,  a
>. ,  <. 1 ,  b >. }  u.  { <. 2 ,  c >. ,  <. 3 ,  a
>. } )  e.  _V
44 breq12 4044 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }  /\  p  =  ( { <. 0 ,  a >. ,  <. 1 ,  b >. }  u.  { <. 2 ,  c >. ,  <. 3 ,  a >. } ) )  ->  (
f ( V Cycles  E
) p  <->  { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. }  ( V Cycles  E ) ( {
<. 0 ,  a
>. ,  <. 1 ,  b >. }  u.  { <. 2 ,  c >. ,  <. 3 ,  a
>. } ) ) )
45 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. }  ->  (
# `  f )  =  ( # `  { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. } ) )
4645eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. }  ->  ( ( # `  f
)  =  3  <->  ( # `
 { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. } )  =  3 ) )
4746adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }  /\  p  =  ( { <. 0 ,  a >. ,  <. 1 ,  b >. }  u.  { <. 2 ,  c >. ,  <. 3 ,  a >. } ) )  ->  (
( # `  f )  =  3  <->  ( # `  { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. } )  =  3 ) )
4844, 47anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }  /\  p  =  ( { <. 0 ,  a >. ,  <. 1 ,  b >. }  u.  { <. 2 ,  c >. ,  <. 3 ,  a >. } ) )  ->  (
( f ( V Cycles  E ) p  /\  ( # `  f )  =  3 )  <->  ( { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }  ( V Cycles  E
) ( { <. 0 ,  a >. , 
<. 1 ,  b
>. }  u.  { <. 2 ,  c >. , 
<. 3 ,  a
>. } )  /\  ( # `
 { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. } )  =  3 ) ) )
4940, 43, 48spc2ev 2889 . . . . . . . 8  |-  ( ( { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }  ( V Cycles  E
) ( { <. 0 ,  a >. , 
<. 1 ,  b
>. }  u.  { <. 2 ,  c >. , 
<. 3 ,  a
>. } )  /\  ( # `
 { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. } )  =  3 )  ->  E. f E. p ( f ( V Cycles  E
) p  /\  ( # `
 f )  =  3 ) )
5049exlimiv 1624 . . . . . . 7  |-  ( E. c ( { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }  ( V Cycles  E
) ( { <. 0 ,  a >. , 
<. 1 ,  b
>. }  u.  { <. 2 ,  c >. , 
<. 3 ,  a
>. } )  /\  ( # `
 { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. } )  =  3 )  ->  E. f E. p ( f ( V Cycles  E
) p  /\  ( # `
 f )  =  3 ) )
5150exlimivv 1625 . . . . . 6  |-  ( E. a E. b E. c ( { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }  ( V Cycles  E
) ( { <. 0 ,  a >. , 
<. 1 ,  b
>. }  u.  { <. 2 ,  c >. , 
<. 3 ,  a
>. } )  /\  ( # `
 { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. } )  =  3 )  ->  E. f E. p ( f ( V Cycles  E
) p  /\  ( # `
 f )  =  3 ) )
5239, 51syl 15 . . . . 5  |-  ( E. a E. b E. c ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) )  ->  E. f E. p ( f ( V Cycles  E
) p  /\  ( # `
 f )  =  3 ) )
5326, 52sylbi 187 . . . 4  |-  ( E. a ( ( a  e.  V  /\  E. b ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )  /\  V USGrph  E )  ->  E. f E. p
( f ( V Cycles  E ) p  /\  ( # `  f )  =  3 ) )
5410, 53sylbir 204 . . 3  |-  ( ( E. a ( a  e.  V  /\  E. b ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )  /\  V USGrph  E )  ->  E. f E. p
( f ( V Cycles  E ) p  /\  ( # `  f )  =  3 ) )
5554expcom 424 . 2  |-  ( V USGrph  E  ->  ( E. a
( a  e.  V  /\  E. b ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )  ->  E. f E. p ( f ( V Cycles  E
) p  /\  ( # `
 f )  =  3 ) ) )
569, 55syl5bi 208 1  |-  ( V USGrph  E  ->  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( {
a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E )  ->  E. f E. p
( f ( V Cycles  E ) p  /\  ( # `  f )  =  3 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557    u. cun 3163   {cpr 3654   {ctp 3655   <.cop 3656   class class class wbr 4039   `'ccnv 4704   ran crn 4706   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   0cc0 8753   1c1 8754   2c2 9811   3c3 9812   #chash 11353   USGrph cusg 28227   Cycles ccycl 28318
This theorem is referenced by:  3v3e3cycl  28411
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-hash 11354  df-word 11425  df-usgra 28229  df-wlk 28319  df-trail 28320  df-pth 28321  df-cycl 28324
  Copyright terms: Public domain W3C validator