MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3v3e3cycl2 Structured version   Unicode version

Theorem 3v3e3cycl2 21656
Description: If there are three (different) vertices in a graph which are mutually connected by edges, there is a 3-cycle in the graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
3v3e3cycl2  |-  ( V USGrph  E  ->  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( {
a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E )  ->  E. f E. p
( f ( V Cycles  E ) p  /\  ( # `  f )  =  3 ) ) )
Distinct variable groups:    E, a,
b, c, f, p    V, a, b, c, f, p

Proof of Theorem 3v3e3cycl2
StepHypRef Expression
1 df-rex 2713 . . 3  |-  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
)  <->  E. a ( a  e.  V  /\  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) )
2 df-rex 2713 . . . . . 6  |-  ( E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
)  <->  E. b ( b  e.  V  /\  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) )
3 df-rex 2713 . . . . . . . 8  |-  ( E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
)  <->  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) )
43anbi2i 677 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  V  /\  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  <->  ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )
54exbii 1593 . . . . . 6  |-  ( E. b ( b  e.  V  /\  E. c  e.  V  ( {
a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  <->  E. b ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )
62, 5bitri 242 . . . . 5  |-  ( E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
)  <->  E. b ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )
76anbi2i 677 . . . 4  |-  ( ( a  e.  V  /\  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  <->  ( a  e.  V  /\  E. b
( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) )
87exbii 1593 . . 3  |-  ( E. a ( a  e.  V  /\  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( {
a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  <->  E. a ( a  e.  V  /\  E. b ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) ) )
91, 8bitri 242 . 2  |-  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
)  <->  E. a ( a  e.  V  /\  E. b ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) ) )
10 19.41v 1925 . . . 4  |-  ( E. a ( ( a  e.  V  /\  E. b ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )  /\  V USGrph  E )  <->  ( E. a ( a  e.  V  /\  E. b ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )  /\  V USGrph  E )
)
11 ancom 439 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  V  /\  E. b ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )  <-> 
( E. b ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  /\  a  e.  V ) )
12 19.41v 1925 . . . . . . . . 9  |-  ( E. b ( ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  /\  a  e.  V )  <->  ( E. b ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  /\  a  e.  V )
)
1311, 12bitr4i 245 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  V  /\  E. b ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )  <->  E. b ( ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  /\  a  e.  V ) )
1413anbi1i 678 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  e.  V  /\  E. b ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )  /\  V USGrph  E )  <->  ( E. b ( ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  /\  a  e.  V )  /\  V USGrph  E ) )
15 19.41v 1925 . . . . . . 7  |-  ( E. b ( ( ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  /\  a  e.  V )  /\  V USGrph  E )  <->  ( E. b
( ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  /\  a  e.  V )  /\  V USGrph  E ) )
16 anass 632 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  /\  a  e.  V )  /\  V USGrph  E )  <->  ( (
b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) ) )
17 ancom 439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  <->  ( E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  /\  b  e.  V ) )
18 19.41v 1925 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. c ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  /\  b  e.  V )  <->  ( E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  /\  b  e.  V ) )
1917, 18bitr4i 245 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  <->  E. c
( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  /\  b  e.  V ) )
2019anbi1i 678 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) )  /\  ( a  e.  V  /\  V USGrph  E ) )  <-> 
( E. c ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) ) )
21 19.41v 1925 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. c ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) )  <->  ( E. c ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) ) )
2220, 21bitr4i 245 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) )  /\  ( a  e.  V  /\  V USGrph  E ) )  <->  E. c ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) ) )
2316, 22bitri 242 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  /\  a  e.  V )  /\  V USGrph  E )  <->  E. c
( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) ) )
2423exbii 1593 . . . . . . 7  |-  ( E. b ( ( ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  /\  a  e.  V )  /\  V USGrph  E )  <->  E. b E. c
( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) ) )
2514, 15, 243bitr2i 266 . . . . . 6  |-  ( ( ( a  e.  V  /\  E. b ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )  /\  V USGrph  E )  <->  E. b E. c ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) ) )
2625exbii 1593 . . . . 5  |-  ( E. a ( ( a  e.  V  /\  E. b ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )  /\  V USGrph  E )  <->  E. a E. b E. c ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) ) )
27 simprr 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) )  ->  V USGrph  E )
28 simprl 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) )  -> 
a  e.  V )
29 simplr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) )  -> 
b  e.  V )
30 simplll 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) )  -> 
c  e.  V )
31 simplr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  /\  b  e.  V )  ->  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )
3231adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) )  -> 
( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )
33 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }
34 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
<. 0 ,  a
>. ,  <. 1 ,  b >. }  u.  { <. 2 ,  c >. ,  <. 3 ,  a
>. } )  =  ( { <. 0 ,  a
>. ,  <. 1 ,  b >. }  u.  { <. 2 ,  c >. ,  <. 3 ,  a
>. } )
3533, 34constr3cycl 21653 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V USGrph  E  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V  /\  c  e.  V )  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  ->  ( { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }  ( V Cycles  E
) ( { <. 0 ,  a >. , 
<. 1 ,  b
>. }  u.  { <. 2 ,  c >. , 
<. 3 ,  a
>. } )  /\  ( # `
 { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. } )  =  3 ) )
3627, 28, 29, 30, 32, 35syl131anc 1198 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) )  -> 
( { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. }  ( V Cycles  E ) ( {
<. 0 ,  a
>. ,  <. 1 ,  b >. }  u.  { <. 2 ,  c >. ,  <. 3 ,  a
>. } )  /\  ( # `
 { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. } )  =  3 ) )
3736eximi 1586 . . . . . . 7  |-  ( E. c ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) )  ->  E. c ( { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }  ( V Cycles  E
) ( { <. 0 ,  a >. , 
<. 1 ,  b
>. }  u.  { <. 2 ,  c >. , 
<. 3 ,  a
>. } )  /\  ( # `
 { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. } )  =  3 ) )
38372eximi 1587 . . . . . 6  |-  ( E. a E. b E. c ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) )  ->  E. a E. b E. c ( { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }  ( V Cycles  E
) ( { <. 0 ,  a >. , 
<. 1 ,  b
>. }  u.  { <. 2 ,  c >. , 
<. 3 ,  a
>. } )  /\  ( # `
 { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. } )  =  3 ) )
39 tpex 4711 . . . . . . . . 9  |-  { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }  e.  _V
40 prex 4409 . . . . . . . . . 10  |-  { <. 0 ,  a >. , 
<. 1 ,  b
>. }  e.  _V
41 prex 4409 . . . . . . . . . 10  |-  { <. 2 ,  c >. , 
<. 3 ,  a
>. }  e.  _V
4240, 41unex 4710 . . . . . . . . 9  |-  ( {
<. 0 ,  a
>. ,  <. 1 ,  b >. }  u.  { <. 2 ,  c >. ,  <. 3 ,  a
>. } )  e.  _V
43 breq12 4220 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }  /\  p  =  ( { <. 0 ,  a >. ,  <. 1 ,  b >. }  u.  { <. 2 ,  c >. ,  <. 3 ,  a >. } ) )  ->  (
f ( V Cycles  E
) p  <->  { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. }  ( V Cycles  E ) ( {
<. 0 ,  a
>. ,  <. 1 ,  b >. }  u.  { <. 2 ,  c >. ,  <. 3 ,  a
>. } ) ) )
44 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. }  ->  (
# `  f )  =  ( # `  { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. } ) )
4544eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. }  ->  ( ( # `  f
)  =  3  <->  ( # `
 { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. } )  =  3 ) )
4645adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }  /\  p  =  ( { <. 0 ,  a >. ,  <. 1 ,  b >. }  u.  { <. 2 ,  c >. ,  <. 3 ,  a >. } ) )  ->  (
( # `  f )  =  3  <->  ( # `  { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. } )  =  3 ) )
4743, 46anbi12d 693 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }  /\  p  =  ( { <. 0 ,  a >. ,  <. 1 ,  b >. }  u.  { <. 2 ,  c >. ,  <. 3 ,  a >. } ) )  ->  (
( f ( V Cycles  E ) p  /\  ( # `  f )  =  3 )  <->  ( { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }  ( V Cycles  E
) ( { <. 0 ,  a >. , 
<. 1 ,  b
>. }  u.  { <. 2 ,  c >. , 
<. 3 ,  a
>. } )  /\  ( # `
 { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. } )  =  3 ) ) )
4839, 42, 47spc2ev 3046 . . . . . . . 8  |-  ( ( { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }  ( V Cycles  E
) ( { <. 0 ,  a >. , 
<. 1 ,  b
>. }  u.  { <. 2 ,  c >. , 
<. 3 ,  a
>. } )  /\  ( # `
 { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. } )  =  3 )  ->  E. f E. p ( f ( V Cycles  E
) p  /\  ( # `
 f )  =  3 ) )
4948exlimiv 1645 . . . . . . 7  |-  ( E. c ( { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }  ( V Cycles  E
) ( { <. 0 ,  a >. , 
<. 1 ,  b
>. }  u.  { <. 2 ,  c >. , 
<. 3 ,  a
>. } )  /\  ( # `
 { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. } )  =  3 )  ->  E. f E. p ( f ( V Cycles  E
) p  /\  ( # `
 f )  =  3 ) )
5049exlimivv 1646 . . . . . 6  |-  ( E. a E. b E. c ( { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }  ( V Cycles  E
) ( { <. 0 ,  a >. , 
<. 1 ,  b
>. }  u.  { <. 2 ,  c >. , 
<. 3 ,  a
>. } )  /\  ( # `
 { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. } )  =  3 )  ->  E. f E. p ( f ( V Cycles  E
) p  /\  ( # `
 f )  =  3 ) )
5138, 50syl 16 . . . . 5  |-  ( E. a E. b E. c ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) )  ->  E. f E. p ( f ( V Cycles  E
) p  /\  ( # `
 f )  =  3 ) )
5226, 51sylbi 189 . . . 4  |-  ( E. a ( ( a  e.  V  /\  E. b ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )  /\  V USGrph  E )  ->  E. f E. p
( f ( V Cycles  E ) p  /\  ( # `  f )  =  3 ) )
5310, 52sylbir 206 . . 3  |-  ( ( E. a ( a  e.  V  /\  E. b ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )  /\  V USGrph  E )  ->  E. f E. p
( f ( V Cycles  E ) p  /\  ( # `  f )  =  3 ) )
5453expcom 426 . 2  |-  ( V USGrph  E  ->  ( E. a
( a  e.  V  /\  E. b ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )  ->  E. f E. p ( f ( V Cycles  E
) p  /\  ( # `
 f )  =  3 ) ) )
559, 54syl5bi 210 1  |-  ( V USGrph  E  ->  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( {
a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E )  ->  E. f E. p
( f ( V Cycles  E ) p  /\  ( # `  f )  =  3 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2708    u. cun 3320   {cpr 3817   {ctp 3818   <.cop 3819   class class class wbr 4215   `'ccnv 4880   ran crn 4882   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   0cc0 8995   1c1 8996   2c2 10054   3c3 10055   #chash 11623   USGrph cusg 21370   Cycles ccycl 21520
This theorem is referenced by:  3v3e3cycl  21657
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-hash 11624  df-word 11728  df-usgra 21372  df-wlk 21521  df-trail 21522  df-pth 21523  df-cycl 21526
  Copyright terms: Public domain W3C validator