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Theorem 3vfriswmgra 28429
Description: Every friendship graph with three (different) vertices is a windmill graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
3vfriswmgra  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  -> 
( V FriendGrph  E  ->  E. h  e.  V  A. v  e.  ( V  \  {
h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( V  \  { h }
) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
Distinct variable groups:    A, h, v, w    B, h, v, w    C, h, v, w   
h, E, v, w   
h, V, v, w   
v, X, w    v, Y, w
Allowed substitution hints:    X( h)    Y( h)    Z( w, v, h)

Proof of Theorem 3vfriswmgra
StepHypRef Expression
1 frisusgra 28419 . . . 4  |-  ( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  ->  { A ,  B ,  C } USGrph  E )
2 frgra3v 28426 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C ) )  ->  ( { A ,  B ,  C } USGrph  E  ->  ( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
323adant3 975 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  -> 
( { A ,  B ,  C } USGrph  E  ->  ( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  <-> 
( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
43imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  <-> 
( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) )
5 prcom 3718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { C ,  A }  =  { A ,  C }
65eleq1i 2359 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { C ,  A }  e.  ran  E  <->  { A ,  C }  e.  ran  E )
76biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { C ,  A }  e.  ran  E  ->  { A ,  C }  e.  ran  E )
873ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  ->  { A ,  C }  e.  ran  E )
98adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  { A ,  C }  e.  ran  E )
10 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  ->  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y
) )
11103adant3 975 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  ->  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y
) )
12113ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  -> 
( A  e.  X  /\  B  e.  Y
) )
1312adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( A  e.  X  /\  B  e.  Y
) )
14 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  =/=  B  ->  A  =/=  B )
15143ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  A  =/=  B )
16153ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  ->  A  =/=  B )
1716adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  ->  A  =/=  B )
18 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  ->  { A ,  B ,  C } USGrph  E )
1913, 17, 183jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E ) )
20 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { A ,  B }  e.  ran  E  ->  { A ,  B }  e.  ran  E )
21203ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  ->  { A ,  B }  e.  ran  E )
22 3vfriswmgralem 28428 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y
)  /\  A  =/=  B  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  ->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  ->  E! w  e.  { A ,  B }  { A ,  w }  e.  ran  E ) )
2322imp 418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  { A ,  B }  e.  ran  E )  ->  E! w  e.  { A ,  B }  { A ,  w }  e.  ran  E )
2419, 21, 23syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  E! w  e. 
{ A ,  B }  { A ,  w }  e.  ran  E )
259, 24jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { A ,  w }  e.  ran  E ) )
26 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { B ,  C }  e.  ran  E  ->  { B ,  C }  e.  ran  E )
27263ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  ->  { B ,  C }  e.  ran  E )
2827adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  { B ,  C }  e.  ran  E )
29 pm3.22 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  ->  ( B  e.  Y  /\  A  e.  X
) )
30293adant3 975 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  ->  ( B  e.  Y  /\  A  e.  X
) )
31303ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  -> 
( B  e.  Y  /\  A  e.  X
) )
3231adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( B  e.  Y  /\  A  e.  X
) )
33 necom 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  =/=  B  <->  B  =/=  A )
3433biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  =/=  B  ->  B  =/=  A )
35343ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  B  =/=  A )
36353ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  ->  B  =/=  A )
3736adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  ->  B  =/=  A )
38 tpcoma 3736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { A ,  B ,  C }  =  { B ,  A ,  C }
3938breq1i 4046 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { A ,  B ,  C } USGrph  E  <->  { B ,  A ,  C } USGrph  E )
4039biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { A ,  B ,  C } USGrph  E  ->  { B ,  A ,  C } USGrph  E )
4140adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  ->  { B ,  A ,  C } USGrph  E )
4232, 37, 413jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( ( B  e.  Y  /\  A  e.  X )  /\  B  =/=  A  /\  { B ,  A ,  C } USGrph  E ) )
43 prcom 3718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { A ,  B }  =  { B ,  A }
4443eleq1i 2359 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { A ,  B }  e.  ran  E  <->  { B ,  A }  e.  ran  E )
4544biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { A ,  B }  e.  ran  E  ->  { B ,  A }  e.  ran  E )
46453ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  ->  { B ,  A }  e.  ran  E )
47 3vfriswmgralem 28428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( B  e.  Y  /\  A  e.  X
)  /\  B  =/=  A  /\  { B ,  A ,  C } USGrph  E )  ->  ( { B ,  A }  e.  ran  E  ->  E! w  e.  { B ,  A }  { B ,  w }  e.  ran  E ) )
4847imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( B  e.  Y  /\  A  e.  X )  /\  B  =/=  A  /\  { B ,  A ,  C } USGrph  E )  /\  { B ,  A }  e.  ran  E )  ->  E! w  e.  { B ,  A }  { B ,  w }  e.  ran  E )
49 reueq1 2751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { A ,  B }  =  { B ,  A }  ->  ( E! w  e.  { A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  { B ,  A }  { B ,  w }  e.  ran  E ) )
5043, 49ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E! w  e.  { A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E  <-> 
E! w  e.  { B ,  A }  { B ,  w }  e.  ran  E )
5148, 50sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( B  e.  Y  /\  A  e.  X )  /\  B  =/=  A  /\  { B ,  A ,  C } USGrph  E )  /\  { B ,  A }  e.  ran  E )  ->  E! w  e.  { A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E )
5242, 46, 51syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  E! w  e. 
{ A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E )
5328, 52jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E ) )
5425, 53jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  { A ,  B }  { A ,  w }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  { A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E ) ) )
55 preq1 3719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  A  ->  { v ,  C }  =  { A ,  C }
)
5655eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  A  ->  ( { v ,  C }  e.  ran  E  <->  { A ,  C }  e.  ran  E ) )
57 preq1 3719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  =  A  ->  { v ,  w }  =  { A ,  w }
)
5857eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  A  ->  ( { v ,  w }  e.  ran  E  <->  { A ,  w }  e.  ran  E ) )
5958reubidv 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  A  ->  ( E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  { A ,  B }  { A ,  w }  e.  ran  E ) )
6056, 59anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  A  ->  (
( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { A ,  w }  e.  ran  E ) ) )
61 preq1 3719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  B  ->  { v ,  C }  =  { B ,  C }
)
6261eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  B  ->  ( { v ,  C }  e.  ran  E  <->  { B ,  C }  e.  ran  E ) )
63 preq1 3719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  =  B  ->  { v ,  w }  =  { B ,  w }
)
6463eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  B  ->  ( { v ,  w }  e.  ran  E  <->  { B ,  w }  e.  ran  E ) )
6564reubidv 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  B  ->  ( E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  { A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E ) )
6662, 65anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  B  ->  (
( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E ) ) )
6760, 66ralprg 3695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  ->  ( A. v  e. 
{ A ,  B }  ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { A ,  w }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
68673adant3 975 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  ->  ( A. v  e. 
{ A ,  B }  ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { A ,  w }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
69683ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  -> 
( A. v  e. 
{ A ,  B }  ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { A ,  w }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
7069adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( A. v  e. 
{ A ,  B }  ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { A ,  w }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
7170adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( A. v  e.  { A ,  B }  ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { A ,  w }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
7254, 71mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  A. v  e.  { A ,  B } 
( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E ) )
73 diftpsn3 3772 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  -> 
( { A ,  B ,  C }  \  { C } )  =  { A ,  B } )
74733adant1 973 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } )  =  { A ,  B }
)
75 reueq1 2751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( { A ,  B ,  C }  \  { C } )  =  { A ,  B }  ->  ( E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E ) )
7674, 75syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E ) )
7776anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  (
( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
7874, 77raleqbidv 2761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <->  A. v  e.  { A ,  B }  ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
79783ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  -> 
( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <->  A. v  e.  { A ,  B }  ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
8079adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <->  A. v  e.  { A ,  B }  ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
8180adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <->  A. v  e.  { A ,  B }  ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
8272, 81mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
83 3mix3 1126 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  ->  ( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) ( { v ,  A }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  \/  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) ( { v ,  B }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  \/  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
8482, 83syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) ( { v ,  A }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  \/  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) ( { v ,  B }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  \/  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
85 sneq 3664 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  A  ->  { h }  =  { A } )
8685difeq2d 3307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  A  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) )
87 preq2 3720 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  =  A  ->  { v ,  h }  =  { v ,  A } )
8887eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  A  ->  ( { v ,  h }  e.  ran  E  <->  { v ,  A }  e.  ran  E ) )
89 reueq1 2751 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { A ,  B ,  C }  \  {
h } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } )  ->  ( E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
9086, 89syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  A  ->  ( E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
9188, 90anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  A  ->  (
( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( { v ,  A }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
9286, 91raleqbidv 2761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  =  A  ->  ( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <->  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) ( { v ,  A }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
93 sneq 3664 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  B  ->  { h }  =  { B } )
9493difeq2d 3307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  B  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) )
95 preq2 3720 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  =  B  ->  { v ,  h }  =  { v ,  B } )
9695eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  B  ->  ( { v ,  h }  e.  ran  E  <->  { v ,  B }  e.  ran  E ) )
97 reueq1 2751 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { A ,  B ,  C }  \  {
h } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } )  ->  ( E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
9894, 97syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  B  ->  ( E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
9996, 98anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  B  ->  (
( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( { v ,  B }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
10094, 99raleqbidv 2761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  =  B  ->  ( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <->  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) ( { v ,  B }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
101 sneq 3664 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  C  ->  { h }  =  { C } )
102101difeq2d 3307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  C  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) )
103 preq2 3720 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  =  C  ->  { v ,  h }  =  { v ,  C } )
104103eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  C  ->  ( { v ,  h }  e.  ran  E  <->  { v ,  C }  e.  ran  E ) )
105 reueq1 2751 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { A ,  B ,  C }  \  {
h } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } )  ->  ( E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
106102, 105syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  C  ->  ( E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
107104, 106anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  C  ->  (
( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
108102, 107raleqbidv 2761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  =  C  ->  ( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <->  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
10992, 100, 108rextpg 3698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  ->  ( E. h  e. 
{ A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) ( { v ,  A }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  \/  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) ( { v ,  B }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  \/  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
1101093ad2ant1 976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  -> 
( E. h  e. 
{ A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) ( { v ,  A }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  \/  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) ( { v ,  B }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  \/  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
111110adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( E. h  e. 
{ A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) ( { v ,  A }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  \/  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) ( { v ,  B }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  \/  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
112111adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( E. h  e.  { A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) ( { v ,  A }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  \/  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) ( { v ,  B }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  \/  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
11384, 112mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  E. h  e.  { A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
114113ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  ->  E. h  e.  { A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
1154, 114sylbid 206 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  ->  E. h  e.  { A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
116115expcom 424 . . . . 5  |-  ( { A ,  B ,  C } USGrph  E  ->  (
( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  -> 
( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  ->  E. h  e.  { A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
117116com23 72 . . . 4  |-  ( { A ,  B ,  C } USGrph  E  ->  ( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  ->  (
( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  ->  E. h  e.  { A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
1181, 117mpcom 32 . . 3  |-  ( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  ->  (
( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  ->  E. h  e.  { A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
119118com12 27 . 2  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  -> 
( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  ->  E. h  e.  { A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
120 breq1 4042 . . . 4  |-  ( V  =  { A ,  B ,  C }  ->  ( V FriendGrph  E  <->  { A ,  B ,  C } FriendGrph  E ) )
121 id 19 . . . . 5  |-  ( V  =  { A ,  B ,  C }  ->  V  =  { A ,  B ,  C }
)
122 difeq1 3300 . . . . . 6  |-  ( V  =  { A ,  B ,  C }  ->  ( V  \  {
h } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) )
123 reueq1 2751 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  \  { h } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  {
h } )  -> 
( E! w  e.  ( V  \  {
h } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
124122, 123syl 15 . . . . . . 7  |-  ( V  =  { A ,  B ,  C }  ->  ( E! w  e.  ( V  \  {
h } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
125124anbi2d 684 . . . . . 6  |-  ( V  =  { A ,  B ,  C }  ->  ( ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( V  \  {
h } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <->  ( {
v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
126122, 125raleqbidv 2761 . . . . 5  |-  ( V  =  { A ,  B ,  C }  ->  ( A. v  e.  ( V  \  {
h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( V  \  { h }
) { v ,  w }  e.  ran  E )  <->  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  {
h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
127121, 126rexeqbidv 2762 . . . 4  |-  ( V  =  { A ,  B ,  C }  ->  ( E. h  e.  V  A. v  e.  ( V  \  {
h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( V  \  { h }
) { v ,  w }  e.  ran  E )  <->  E. h  e.  { A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
128120, 127imbi12d 311 . . 3  |-  ( V  =  { A ,  B ,  C }  ->  ( ( V FriendGrph  E  ->  E. h  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { h }
) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( V  \  {
h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )  <-> 
( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  ->  E. h  e.  { A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
1291283ad2ant3 978 . 2  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  -> 
( ( V FriendGrph  E  ->  E. h  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { h }
) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( V  \  {
h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )  <-> 
( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  ->  E. h  e.  { A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
130119, 129mpbird 223 1  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  -> 
( V FriendGrph  E  ->  E. h  e.  V  A. v  e.  ( V  \  {
h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( V  \  { h }
) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    \/ w3o 933    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   E!wreu 2558    \ cdif 3162   {csn 3653   {cpr 3654   {ctp 3655   class class class wbr 4039   ran crn 4706   USGrph cusg 28227   FriendGrph cfrgra 28415
This theorem is referenced by:  1to3vfriswmgra  28431
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-hash 11354  df-usgra 28229  df-frgra 28416
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