MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4001prm Unicode version

Theorem 4001prm 13384
Description: 4001 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
4001prm.1  |-  N  = ;;; 4 0 0 1
Assertion
Ref Expression
4001prm  |-  N  e. 
Prime

Proof of Theorem 4001prm
StepHypRef Expression
1 5prm 13351 . 2  |-  5  e.  Prime
2 8nn 10064 . . . 4  |-  8  e.  NN
32decnncl2 10325 . . 3  |- ; 8 0  e.  NN
43decnncl2 10325 . 2  |- ;; 8 0 0  e.  NN
5 4001prm.1 . . . . . 6  |-  N  = ;;; 4 0 0 1
6 4nn0 10165 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  NN0
7 0nn0 10161 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  NN0
86, 7deccl 10321 . . . . . . . 8  |- ; 4 0  e.  NN0
98, 7deccl 10321 . . . . . . 7  |- ;; 4 0 0  e.  NN0
10 ax-1cn 8974 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
1110addid2i 9179 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  1 )  =  1
12 eqid 2380 . . . . . . 7  |- ;;; 4 0 0 0  = ;;; 4 0 0 0
139, 7, 11, 12decsuc 10330 . . . . . 6  |-  (;;; 4 0 0 0  +  1 )  = ;;; 4 0 0 1
145, 13eqtr4i 2403 . . . . 5  |-  N  =  (;;; 4 0 0 0  +  1 )
1514oveq1i 6023 . . . 4  |-  ( N  -  1 )  =  ( (;;; 4 0 0 0  +  1 )  - 
1 )
169, 7deccl 10321 . . . . . 6  |- ;;; 4 0 0 0  e.  NN0
1716nn0cni 10158 . . . . 5  |- ;;; 4 0 0 0  e.  CC
18 pncan 9236 . . . . 5  |-  ( (;;; 4 0 0 0  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
(;;; 4 0 0 0  +  1 )  - 
1 )  = ;;; 4 0 0 0 )
1917, 10, 18mp2an 654 . . . 4  |-  ( (;;; 4 0 0 0  +  1 )  -  1 )  = ;;; 4 0 0 0
2015, 19eqtri 2400 . . 3  |-  ( N  -  1 )  = ;;; 4 0 0 0
21 5nn0 10166 . . . 4  |-  5  e.  NN0
22 8nn0 10169 . . . . 5  |-  8  e.  NN0
2322, 7deccl 10321 . . . 4  |- ; 8 0  e.  NN0
24 eqid 2380 . . . 4  |- ;; 8 0 0  = ;; 8 0 0
25 eqid 2380 . . . . . . 7  |- ; 8 0  = ; 8 0
26 8t5e40 10398 . . . . . . . . 9  |-  ( 8  x.  5 )  = ; 4
0
2726oveq1i 6023 . . . . . . . 8  |-  ( ( 8  x.  5 )  +  0 )  =  (; 4 0  +  0 )
288nn0cni 10158 . . . . . . . . 9  |- ; 4 0  e.  CC
2928addid1i 9178 . . . . . . . 8  |-  (; 4 0  +  0 )  = ; 4 0
3027, 29eqtri 2400 . . . . . . 7  |-  ( ( 8  x.  5 )  +  0 )  = ; 4
0
31 5nn 10061 . . . . . . . . . 10  |-  5  e.  NN
3231nncni 9935 . . . . . . . . 9  |-  5  e.  CC
3332mul02i 9180 . . . . . . . 8  |-  ( 0  x.  5 )  =  0
347dec0h 10323 . . . . . . . 8  |-  0  = ; 0 0
3533, 34eqtri 2400 . . . . . . 7  |-  ( 0  x.  5 )  = ; 0
0
3621, 22, 7, 25, 7, 7, 30, 35decmul1c 10354 . . . . . 6  |-  (; 8 0  x.  5 )  = ;; 4 0 0
3736oveq1i 6023 . . . . 5  |-  ( (; 8
0  x.  5 )  +  0 )  =  (;; 4 0 0  +  0 )
389nn0cni 10158 . . . . . 6  |- ;; 4 0 0  e.  CC
3938addid1i 9178 . . . . 5  |-  (;; 4 0 0  +  0 )  = ;; 4 0 0
4037, 39eqtri 2400 . . . 4  |-  ( (; 8
0  x.  5 )  +  0 )  = ;; 4 0 0
4121, 23, 7, 24, 7, 7, 40, 35decmul1c 10354 . . 3  |-  (;; 8 0 0  x.  5 )  = ;;; 4 0 0 0
4220, 41eqtr4i 2403 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (;; 8 0 0  x.  5 )
43 1nn0 10162 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
449, 43deccl 10321 . . . . . 6  |- ;;; 4 0 0 1  e.  NN0
455, 44eqeltri 2450 . . . . 5  |-  N  e. 
NN0
4645nn0cni 10158 . . . 4  |-  N  e.  CC
47 npcan 9239 . . . 4  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
4846, 10, 47mp2an 654 . . 3  |-  ( ( N  -  1 )  +  1 )  =  N
4948eqcomi 2384 . 2  |-  N  =  ( ( N  - 
1 )  +  1 )
50 3nn0 10164 . . 3  |-  3  e.  NN0
51 2nn 10058 . . 3  |-  2  e.  NN
5250, 51decnncl 10320 . 2  |- ; 3 2  e.  NN
53 3nn 10059 . 2  |-  3  e.  NN
54 2nn0 10163 . . . . 5  |-  2  e.  NN0
5550, 54deccl 10321 . . . 4  |- ; 3 2  e.  NN0
5643, 54deccl 10321 . . . 4  |- ; 1 2  e.  NN0
57 2p1e3 10028 . . . . 5  |-  ( 2  +  1 )  =  3
5832sqvali 11381 . . . . . . 7  |-  ( 5 ^ 2 )  =  ( 5  x.  5 )
59 5t5e25 10383 . . . . . . 7  |-  ( 5  x.  5 )  = ; 2
5
6058, 59eqtri 2400 . . . . . 6  |-  ( 5 ^ 2 )  = ; 2
5
61 2cn 9995 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
62 5t2e10 10056 . . . . . . . . 9  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
6332, 61, 62mulcomli 9023 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  5 )  =  10
64 dec10 10337 . . . . . . . 8  |-  10  = ; 1 0
6563, 64eqtri 2400 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  5 )  = ; 1
0
6661addid2i 9179 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  2 )  =  2
6743, 7, 54, 65, 66decaddi 10351 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  5 )  +  2 )  = ; 1
2
6821, 54, 21, 60, 21, 54, 67, 59decmul1c 10354 . . . . 5  |-  ( ( 5 ^ 2 )  x.  5 )  = ;; 1 2 5
6921, 54, 57, 68numexpp1 13334 . . . 4  |-  ( 5 ^ 3 )  = ;; 1 2 5
70 6nn0 10167 . . . . 5  |-  6  e.  NN0
7143, 70deccl 10321 . . . 4  |- ; 1 6  e.  NN0
72 eqid 2380 . . . . 5  |- ; 1 2  = ; 1 2
73 eqid 2380 . . . . 5  |- ; 1 6  = ; 1 6
74 7nn0 10168 . . . . 5  |-  7  e.  NN0
75 eqid 2380 . . . . . 6  |- ; 3 2  = ; 3 2
76 7nn 10063 . . . . . . . . 9  |-  7  e.  NN
7776nncni 9935 . . . . . . . 8  |-  7  e.  CC
78 7p1e8 10033 . . . . . . . 8  |-  ( 7  +  1 )  =  8
7977, 10, 78addcomli 9183 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  7 )  =  8
8022dec0h 10323 . . . . . . 7  |-  8  = ; 0 8
8179, 80eqtri 2400 . . . . . 6  |-  ( 1  +  7 )  = ; 0
8
82 3cn 9997 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  CC
8382mulid1i 9018 . . . . . . . 8  |-  ( 3  x.  1 )  =  3
8483, 11oveq12i 6025 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 3  +  1 )
85 3p1e4 10029 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  1 )  =  4
8684, 85eqtri 2400 . . . . . 6  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  4
8761mulid1i 9018 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
8887oveq1i 6023 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  8 )  =  ( 2  +  8 )
892nncni 9935 . . . . . . . 8  |-  8  e.  CC
90 8p2e10 10050 . . . . . . . 8  |-  ( 8  +  2 )  =  10
9189, 61, 90addcomli 9183 . . . . . . 7  |-  ( 2  +  8 )  =  10
9288, 91, 643eqtri 2404 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  8 )  = ; 1
0
9350, 54, 7, 22, 75, 81, 43, 7, 43, 86, 92decmac 10346 . . . . 5  |-  ( (; 3
2  x.  1 )  +  ( 1  +  7 ) )  = ; 4
0
9470dec0h 10323 . . . . . 6  |-  6  = ; 0 6
95 3t2e6 10053 . . . . . . . 8  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
9695, 11oveq12i 6025 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  x.  2 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 6  +  1 )
97 6p1e7 10032 . . . . . . 7  |-  ( 6  +  1 )  =  7
9896, 97eqtri 2400 . . . . . 6  |-  ( ( 3  x.  2 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  7
99 2t2e4 10052 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
10099oveq1i 6023 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  6 )  =  ( 4  +  6 )
101 6nn 10062 . . . . . . . . 9  |-  6  e.  NN
102101nncni 9935 . . . . . . . 8  |-  6  e.  CC
103 4cn 9999 . . . . . . . 8  |-  4  e.  CC
104 6p4e10 10047 . . . . . . . 8  |-  ( 6  +  4 )  =  10
105102, 103, 104addcomli 9183 . . . . . . 7  |-  ( 4  +  6 )  =  10
106100, 105, 643eqtri 2404 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  6 )  = ; 1
0
10750, 54, 7, 70, 75, 94, 54, 7, 43, 98, 106decmac 10346 . . . . 5  |-  ( (; 3
2  x.  2 )  +  6 )  = ; 7
0
10843, 54, 43, 70, 72, 73, 55, 7, 74, 93, 107decma2c 10347 . . . 4  |-  ( (; 3
2  x. ; 1 2 )  + ; 1
6 )  = ;; 4 0 0
109 5p1e6 10031 . . . . . 6  |-  ( 5  +  1 )  =  6
110 5t3e15 10381 . . . . . . 7  |-  ( 5  x.  3 )  = ; 1
5
11132, 82, 110mulcomli 9023 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  5 )  = ; 1
5
11243, 21, 109, 111decsuc 10330 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  5 )  +  1 )  = ; 1
6
11321, 50, 54, 75, 7, 43, 112, 65decmul1c 10354 . . . 4  |-  (; 3 2  x.  5 )  = ;; 1 6 0
11455, 56, 21, 69, 7, 71, 108, 113decmul2c 10355 . . 3  |-  (; 3 2  x.  (
5 ^ 3 ) )  = ;;; 4 0 0 0
11520, 114eqtr4i 2403 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 3 2  x.  (
5 ^ 3 ) )
116 2lt10 10110 . . . 4  |-  2  <  10
117 1nn 9936 . . . . 5  |-  1  e.  NN
118 3lt10 10109 . . . . 5  |-  3  <  10
119117, 54, 50, 118declti 10332 . . . 4  |-  3  < ; 1
2
12050, 56, 54, 21, 116, 119decltc 10329 . . 3  |- ; 3 2  < ;; 1 2 5
121120, 69breqtrri 4171 . 2  |- ; 3 2  <  (
5 ^ 3 )
12254001lem3 13382 . 2  |-  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  mod  N )  =  ( 1  mod  N
)
12354001lem4 13383 . 2  |-  ( ( ( 2 ^;; 8 0 0 )  - 
1 )  gcd  N
)  =  1
1241, 4, 42, 49, 52, 53, 51, 115, 121, 122, 123pockthi 13195 1  |-  N  e. 
Prime
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1649    e. wcel 1717  (class class class)co 6013   CCcc 8914   0cc0 8916   1c1 8917    + caddc 8919    x. cmul 8921    < clt 9046    - cmin 9216   2c2 9974   3c3 9975   4c4 9976   5c5 9977   6c6 9978   7c7 9979   8c8 9980   10c10 9982   NN0cn0 10146  ;cdc 10307   ^cexp 11302   Primecprime 12999
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-2o 6654  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-sup 7374  df-card 7752  df-cda 7974  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-7 9988  df-8 9989  df-9 9990  df-10 9991  df-n0 10147  df-z 10208  df-dec 10308  df-uz 10414  df-q 10500  df-rp 10538  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-fl 11122  df-mod 11171  df-seq 11244  df-exp 11303  df-hash 11539  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-dvds 12773  df-gcd 12927  df-prm 13000  df-odz 13074  df-phi 13075  df-pc 13131
  Copyright terms: Public domain W3C validator