MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4001prm Unicode version

Theorem 4001prm 13447
Description: 4001 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
4001prm.1  |-  N  = ;;; 4 0 0 1
Assertion
Ref Expression
4001prm  |-  N  e. 
Prime

Proof of Theorem 4001prm
StepHypRef Expression
1 5prm 13414 . 2  |-  5  e.  Prime
2 8nn 10123 . . . 4  |-  8  e.  NN
32decnncl2 10384 . . 3  |- ; 8 0  e.  NN
43decnncl2 10384 . 2  |- ;; 8 0 0  e.  NN
5 4001prm.1 . . . . . 6  |-  N  = ;;; 4 0 0 1
6 4nn0 10224 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  NN0
7 0nn0 10220 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  NN0
86, 7deccl 10380 . . . . . . . 8  |- ; 4 0  e.  NN0
98, 7deccl 10380 . . . . . . 7  |- ;; 4 0 0  e.  NN0
10 ax-1cn 9032 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
1110addid2i 9238 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  1 )  =  1
12 eqid 2430 . . . . . . 7  |- ;;; 4 0 0 0  = ;;; 4 0 0 0
139, 7, 11, 12decsuc 10389 . . . . . 6  |-  (;;; 4 0 0 0  +  1 )  = ;;; 4 0 0 1
145, 13eqtr4i 2453 . . . . 5  |-  N  =  (;;; 4 0 0 0  +  1 )
1514oveq1i 6077 . . . 4  |-  ( N  -  1 )  =  ( (;;; 4 0 0 0  +  1 )  - 
1 )
169, 7deccl 10380 . . . . . 6  |- ;;; 4 0 0 0  e.  NN0
1716nn0cni 10217 . . . . 5  |- ;;; 4 0 0 0  e.  CC
18 pncan 9295 . . . . 5  |-  ( (;;; 4 0 0 0  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
(;;; 4 0 0 0  +  1 )  - 
1 )  = ;;; 4 0 0 0 )
1917, 10, 18mp2an 654 . . . 4  |-  ( (;;; 4 0 0 0  +  1 )  -  1 )  = ;;; 4 0 0 0
2015, 19eqtri 2450 . . 3  |-  ( N  -  1 )  = ;;; 4 0 0 0
21 5nn0 10225 . . . 4  |-  5  e.  NN0
22 8nn0 10228 . . . . 5  |-  8  e.  NN0
2322, 7deccl 10380 . . . 4  |- ; 8 0  e.  NN0
24 eqid 2430 . . . 4  |- ;; 8 0 0  = ;; 8 0 0
25 eqid 2430 . . . . . . 7  |- ; 8 0  = ; 8 0
26 8t5e40 10457 . . . . . . . . 9  |-  ( 8  x.  5 )  = ; 4
0
2726oveq1i 6077 . . . . . . . 8  |-  ( ( 8  x.  5 )  +  0 )  =  (; 4 0  +  0 )
288nn0cni 10217 . . . . . . . . 9  |- ; 4 0  e.  CC
2928addid1i 9237 . . . . . . . 8  |-  (; 4 0  +  0 )  = ; 4 0
3027, 29eqtri 2450 . . . . . . 7  |-  ( ( 8  x.  5 )  +  0 )  = ; 4
0
31 5nn 10120 . . . . . . . . . 10  |-  5  e.  NN
3231nncni 9994 . . . . . . . . 9  |-  5  e.  CC
3332mul02i 9239 . . . . . . . 8  |-  ( 0  x.  5 )  =  0
347dec0h 10382 . . . . . . . 8  |-  0  = ; 0 0
3533, 34eqtri 2450 . . . . . . 7  |-  ( 0  x.  5 )  = ; 0
0
3621, 22, 7, 25, 7, 7, 30, 35decmul1c 10413 . . . . . 6  |-  (; 8 0  x.  5 )  = ;; 4 0 0
3736oveq1i 6077 . . . . 5  |-  ( (; 8
0  x.  5 )  +  0 )  =  (;; 4 0 0  +  0 )
389nn0cni 10217 . . . . . 6  |- ;; 4 0 0  e.  CC
3938addid1i 9237 . . . . 5  |-  (;; 4 0 0  +  0 )  = ;; 4 0 0
4037, 39eqtri 2450 . . . 4  |-  ( (; 8
0  x.  5 )  +  0 )  = ;; 4 0 0
4121, 23, 7, 24, 7, 7, 40, 35decmul1c 10413 . . 3  |-  (;; 8 0 0  x.  5 )  = ;;; 4 0 0 0
4220, 41eqtr4i 2453 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (;; 8 0 0  x.  5 )
43 1nn0 10221 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
449, 43deccl 10380 . . . . . 6  |- ;;; 4 0 0 1  e.  NN0
455, 44eqeltri 2500 . . . . 5  |-  N  e. 
NN0
4645nn0cni 10217 . . . 4  |-  N  e.  CC
47 npcan 9298 . . . 4  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
4846, 10, 47mp2an 654 . . 3  |-  ( ( N  -  1 )  +  1 )  =  N
4948eqcomi 2434 . 2  |-  N  =  ( ( N  - 
1 )  +  1 )
50 3nn0 10223 . . 3  |-  3  e.  NN0
51 2nn 10117 . . 3  |-  2  e.  NN
5250, 51decnncl 10379 . 2  |- ; 3 2  e.  NN
53 3nn 10118 . 2  |-  3  e.  NN
54 2nn0 10222 . . . . 5  |-  2  e.  NN0
5550, 54deccl 10380 . . . 4  |- ; 3 2  e.  NN0
5643, 54deccl 10380 . . . 4  |- ; 1 2  e.  NN0
57 2p1e3 10087 . . . . 5  |-  ( 2  +  1 )  =  3
5832sqvali 11444 . . . . . . 7  |-  ( 5 ^ 2 )  =  ( 5  x.  5 )
59 5t5e25 10442 . . . . . . 7  |-  ( 5  x.  5 )  = ; 2
5
6058, 59eqtri 2450 . . . . . 6  |-  ( 5 ^ 2 )  = ; 2
5
61 2cn 10054 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
62 5t2e10 10115 . . . . . . . . 9  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
6332, 61, 62mulcomli 9081 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  5 )  =  10
64 dec10 10396 . . . . . . . 8  |-  10  = ; 1 0
6563, 64eqtri 2450 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  5 )  = ; 1
0
6661addid2i 9238 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  2 )  =  2
6743, 7, 54, 65, 66decaddi 10410 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  5 )  +  2 )  = ; 1
2
6821, 54, 21, 60, 21, 54, 67, 59decmul1c 10413 . . . . 5  |-  ( ( 5 ^ 2 )  x.  5 )  = ;; 1 2 5
6921, 54, 57, 68numexpp1 13397 . . . 4  |-  ( 5 ^ 3 )  = ;; 1 2 5
70 6nn0 10226 . . . . 5  |-  6  e.  NN0
7143, 70deccl 10380 . . . 4  |- ; 1 6  e.  NN0
72 eqid 2430 . . . . 5  |- ; 1 2  = ; 1 2
73 eqid 2430 . . . . 5  |- ; 1 6  = ; 1 6
74 7nn0 10227 . . . . 5  |-  7  e.  NN0
75 eqid 2430 . . . . . 6  |- ; 3 2  = ; 3 2
76 7nn 10122 . . . . . . . . 9  |-  7  e.  NN
7776nncni 9994 . . . . . . . 8  |-  7  e.  CC
78 7p1e8 10092 . . . . . . . 8  |-  ( 7  +  1 )  =  8
7977, 10, 78addcomli 9242 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  7 )  =  8
8022dec0h 10382 . . . . . . 7  |-  8  = ; 0 8
8179, 80eqtri 2450 . . . . . 6  |-  ( 1  +  7 )  = ; 0
8
82 3cn 10056 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  CC
8382mulid1i 9076 . . . . . . . 8  |-  ( 3  x.  1 )  =  3
8483, 11oveq12i 6079 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 3  +  1 )
85 3p1e4 10088 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  1 )  =  4
8684, 85eqtri 2450 . . . . . 6  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  4
8761mulid1i 9076 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
8887oveq1i 6077 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  8 )  =  ( 2  +  8 )
892nncni 9994 . . . . . . . 8  |-  8  e.  CC
90 8p2e10 10109 . . . . . . . 8  |-  ( 8  +  2 )  =  10
9189, 61, 90addcomli 9242 . . . . . . 7  |-  ( 2  +  8 )  =  10
9288, 91, 643eqtri 2454 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  8 )  = ; 1
0
9350, 54, 7, 22, 75, 81, 43, 7, 43, 86, 92decmac 10405 . . . . 5  |-  ( (; 3
2  x.  1 )  +  ( 1  +  7 ) )  = ; 4
0
9470dec0h 10382 . . . . . 6  |-  6  = ; 0 6
95 3t2e6 10112 . . . . . . . 8  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
9695, 11oveq12i 6079 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  x.  2 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 6  +  1 )
97 6p1e7 10091 . . . . . . 7  |-  ( 6  +  1 )  =  7
9896, 97eqtri 2450 . . . . . 6  |-  ( ( 3  x.  2 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  7
99 2t2e4 10111 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
10099oveq1i 6077 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  6 )  =  ( 4  +  6 )
101 6nn 10121 . . . . . . . . 9  |-  6  e.  NN
102101nncni 9994 . . . . . . . 8  |-  6  e.  CC
103 4cn 10058 . . . . . . . 8  |-  4  e.  CC
104 6p4e10 10106 . . . . . . . 8  |-  ( 6  +  4 )  =  10
105102, 103, 104addcomli 9242 . . . . . . 7  |-  ( 4  +  6 )  =  10
106100, 105, 643eqtri 2454 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  6 )  = ; 1
0
10750, 54, 7, 70, 75, 94, 54, 7, 43, 98, 106decmac 10405 . . . . 5  |-  ( (; 3
2  x.  2 )  +  6 )  = ; 7
0
10843, 54, 43, 70, 72, 73, 55, 7, 74, 93, 107decma2c 10406 . . . 4  |-  ( (; 3
2  x. ; 1 2 )  + ; 1
6 )  = ;; 4 0 0
109 5p1e6 10090 . . . . . 6  |-  ( 5  +  1 )  =  6
110 5t3e15 10440 . . . . . . 7  |-  ( 5  x.  3 )  = ; 1
5
11132, 82, 110mulcomli 9081 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  5 )  = ; 1
5
11243, 21, 109, 111decsuc 10389 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  5 )  +  1 )  = ; 1
6
11321, 50, 54, 75, 7, 43, 112, 65decmul1c 10413 . . . 4  |-  (; 3 2  x.  5 )  = ;; 1 6 0
11455, 56, 21, 69, 7, 71, 108, 113decmul2c 10414 . . 3  |-  (; 3 2  x.  (
5 ^ 3 ) )  = ;;; 4 0 0 0
11520, 114eqtr4i 2453 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 3 2  x.  (
5 ^ 3 ) )
116 2lt10 10169 . . . 4  |-  2  <  10
117 1nn 9995 . . . . 5  |-  1  e.  NN
118 3lt10 10168 . . . . 5  |-  3  <  10
119117, 54, 50, 118declti 10391 . . . 4  |-  3  < ; 1
2
12050, 56, 54, 21, 116, 119decltc 10388 . . 3  |- ; 3 2  < ;; 1 2 5
121120, 69breqtrri 4224 . 2  |- ; 3 2  <  (
5 ^ 3 )
12254001lem3 13445 . 2  |-  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  mod  N )  =  ( 1  mod  N
)
12354001lem4 13446 . 2  |-  ( ( ( 2 ^;; 8 0 0 )  - 
1 )  gcd  N
)  =  1
1241, 4, 42, 49, 52, 53, 51, 115, 121, 122, 123pockthi 13258 1  |-  N  e. 
Prime
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1652    e. wcel 1725  (class class class)co 6067   CCcc 8972   0cc0 8974   1c1 8975    + caddc 8977    x. cmul 8979    < clt 9104    - cmin 9275   2c2 10033   3c3 10034   4c4 10035   5c5 10036   6c6 10037   7c7 10038   8c8 10039   10c10 10041   NN0cn0 10205  ;cdc 10366   ^cexp 11365   Primecprime 13062
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-rep 4307  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-cnex 9030  ax-resscn 9031  ax-1cn 9032  ax-icn 9033  ax-addcl 9034  ax-addrcl 9035  ax-mulcl 9036  ax-mulrcl 9037  ax-mulcom 9038  ax-addass 9039  ax-mulass 9040  ax-distr 9041  ax-i2m1 9042  ax-1ne0 9043  ax-1rid 9044  ax-rnegex 9045  ax-rrecex 9046  ax-cnre 9047  ax-pre-lttri 9048  ax-pre-lttrn 9049  ax-pre-ltadd 9050  ax-pre-mulgt0 9051  ax-pre-sup 9052
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rmo 2700  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-pss 3323  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-tp 3809  df-op 3810  df-uni 4003  df-int 4038  df-iun 4082  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-tr 4290  df-eprel 4481  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-fr 4528  df-we 4530  df-ord 4571  df-on 4572  df-lim 4573  df-suc 4574  df-om 4832  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-1st 6335  df-2nd 6336  df-riota 6535  df-recs 6619  df-rdg 6654  df-1o 6710  df-2o 6711  df-oadd 6714  df-er 6891  df-map 7006  df-en 7096  df-dom 7097  df-sdom 7098  df-fin 7099  df-sup 7432  df-card 7810  df-cda 8032  df-pnf 9106  df-mnf 9107  df-xr 9108  df-ltxr 9109  df-le 9110  df-sub 9277  df-neg 9278  df-div 9662  df-nn 9985  df-2 10042  df-3 10043  df-4 10044  df-5 10045  df-6 10046  df-7 10047  df-8 10048  df-9 10049  df-10 10050  df-n0 10206  df-z 10267  df-dec 10367  df-uz 10473  df-q 10559  df-rp 10597  df-fz 11028  df-fzo 11119  df-fl 11185  df-mod 11234  df-seq 11307  df-exp 11366  df-hash 11602  df-cj 11887  df-re 11888  df-im 11889  df-sqr 12023  df-abs 12024  df-dvds 12836  df-gcd 12990  df-prm 13063  df-odz 13137  df-phi 13138  df-pc 13194
  Copyright terms: Public domain W3C validator