MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4001prm Structured version   Unicode version

Theorem 4001prm 13502
Description: 4001 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
4001prm.1  |-  N  = ;;; 4 0 0 1
Assertion
Ref Expression
4001prm  |-  N  e. 
Prime

Proof of Theorem 4001prm
StepHypRef Expression
1 5prm 13469 . 2  |-  5  e.  Prime
2 8nn 10177 . . . 4  |-  8  e.  NN
32decnncl2 10438 . . 3  |- ; 8 0  e.  NN
43decnncl2 10438 . 2  |- ;; 8 0 0  e.  NN
5 4001prm.1 . . . . . 6  |-  N  = ;;; 4 0 0 1
6 4nn0 10278 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  NN0
7 0nn0 10274 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  NN0
86, 7deccl 10434 . . . . . . . 8  |- ; 4 0  e.  NN0
98, 7deccl 10434 . . . . . . 7  |- ;; 4 0 0  e.  NN0
10 ax-1cn 9086 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
1110addid2i 9292 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  1 )  =  1
12 eqid 2443 . . . . . . 7  |- ;;; 4 0 0 0  = ;;; 4 0 0 0
139, 7, 11, 12decsuc 10443 . . . . . 6  |-  (;;; 4 0 0 0  +  1 )  = ;;; 4 0 0 1
145, 13eqtr4i 2466 . . . . 5  |-  N  =  (;;; 4 0 0 0  +  1 )
1514oveq1i 6127 . . . 4  |-  ( N  -  1 )  =  ( (;;; 4 0 0 0  +  1 )  - 
1 )
169, 7deccl 10434 . . . . . 6  |- ;;; 4 0 0 0  e.  NN0
1716nn0cni 10271 . . . . 5  |- ;;; 4 0 0 0  e.  CC
18 pncan 9349 . . . . 5  |-  ( (;;; 4 0 0 0  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
(;;; 4 0 0 0  +  1 )  - 
1 )  = ;;; 4 0 0 0 )
1917, 10, 18mp2an 655 . . . 4  |-  ( (;;; 4 0 0 0  +  1 )  -  1 )  = ;;; 4 0 0 0
2015, 19eqtri 2463 . . 3  |-  ( N  -  1 )  = ;;; 4 0 0 0
21 5nn0 10279 . . . 4  |-  5  e.  NN0
22 8nn0 10282 . . . . 5  |-  8  e.  NN0
2322, 7deccl 10434 . . . 4  |- ; 8 0  e.  NN0
24 eqid 2443 . . . 4  |- ;; 8 0 0  = ;; 8 0 0
25 eqid 2443 . . . . . . 7  |- ; 8 0  = ; 8 0
26 8t5e40 10511 . . . . . . . . 9  |-  ( 8  x.  5 )  = ; 4
0
2726oveq1i 6127 . . . . . . . 8  |-  ( ( 8  x.  5 )  +  0 )  =  (; 4 0  +  0 )
288nn0cni 10271 . . . . . . . . 9  |- ; 4 0  e.  CC
2928addid1i 9291 . . . . . . . 8  |-  (; 4 0  +  0 )  = ; 4 0
3027, 29eqtri 2463 . . . . . . 7  |-  ( ( 8  x.  5 )  +  0 )  = ; 4
0
31 5nn 10174 . . . . . . . . . 10  |-  5  e.  NN
3231nncni 10048 . . . . . . . . 9  |-  5  e.  CC
3332mul02i 9293 . . . . . . . 8  |-  ( 0  x.  5 )  =  0
347dec0h 10436 . . . . . . . 8  |-  0  = ; 0 0
3533, 34eqtri 2463 . . . . . . 7  |-  ( 0  x.  5 )  = ; 0
0
3621, 22, 7, 25, 7, 7, 30, 35decmul1c 10467 . . . . . 6  |-  (; 8 0  x.  5 )  = ;; 4 0 0
3736oveq1i 6127 . . . . 5  |-  ( (; 8
0  x.  5 )  +  0 )  =  (;; 4 0 0  +  0 )
389nn0cni 10271 . . . . . 6  |- ;; 4 0 0  e.  CC
3938addid1i 9291 . . . . 5  |-  (;; 4 0 0  +  0 )  = ;; 4 0 0
4037, 39eqtri 2463 . . . 4  |-  ( (; 8
0  x.  5 )  +  0 )  = ;; 4 0 0
4121, 23, 7, 24, 7, 7, 40, 35decmul1c 10467 . . 3  |-  (;; 8 0 0  x.  5 )  = ;;; 4 0 0 0
4220, 41eqtr4i 2466 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (;; 8 0 0  x.  5 )
43 1nn0 10275 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
449, 43deccl 10434 . . . . . 6  |- ;;; 4 0 0 1  e.  NN0
455, 44eqeltri 2513 . . . . 5  |-  N  e. 
NN0
4645nn0cni 10271 . . . 4  |-  N  e.  CC
47 npcan 9352 . . . 4  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
4846, 10, 47mp2an 655 . . 3  |-  ( ( N  -  1 )  +  1 )  =  N
4948eqcomi 2447 . 2  |-  N  =  ( ( N  - 
1 )  +  1 )
50 3nn0 10277 . . 3  |-  3  e.  NN0
51 2nn 10171 . . 3  |-  2  e.  NN
5250, 51decnncl 10433 . 2  |- ; 3 2  e.  NN
53 3nn 10172 . 2  |-  3  e.  NN
54 2nn0 10276 . . . . 5  |-  2  e.  NN0
5550, 54deccl 10434 . . . 4  |- ; 3 2  e.  NN0
5643, 54deccl 10434 . . . 4  |- ; 1 2  e.  NN0
57 2p1e3 10141 . . . . 5  |-  ( 2  +  1 )  =  3
5832sqvali 11499 . . . . . . 7  |-  ( 5 ^ 2 )  =  ( 5  x.  5 )
59 5t5e25 10496 . . . . . . 7  |-  ( 5  x.  5 )  = ; 2
5
6058, 59eqtri 2463 . . . . . 6  |-  ( 5 ^ 2 )  = ; 2
5
61 2cn 10108 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
62 5t2e10 10169 . . . . . . . . 9  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
6332, 61, 62mulcomli 9135 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  5 )  =  10
64 dec10 10450 . . . . . . . 8  |-  10  = ; 1 0
6563, 64eqtri 2463 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  5 )  = ; 1
0
6661addid2i 9292 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  2 )  =  2
6743, 7, 54, 65, 66decaddi 10464 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  5 )  +  2 )  = ; 1
2
6821, 54, 21, 60, 21, 54, 67, 59decmul1c 10467 . . . . 5  |-  ( ( 5 ^ 2 )  x.  5 )  = ;; 1 2 5
6921, 54, 57, 68numexpp1 13452 . . . 4  |-  ( 5 ^ 3 )  = ;; 1 2 5
70 6nn0 10280 . . . . 5  |-  6  e.  NN0
7143, 70deccl 10434 . . . 4  |- ; 1 6  e.  NN0
72 eqid 2443 . . . . 5  |- ; 1 2  = ; 1 2
73 eqid 2443 . . . . 5  |- ; 1 6  = ; 1 6
74 7nn0 10281 . . . . 5  |-  7  e.  NN0
75 eqid 2443 . . . . . 6  |- ; 3 2  = ; 3 2
76 7nn 10176 . . . . . . . . 9  |-  7  e.  NN
7776nncni 10048 . . . . . . . 8  |-  7  e.  CC
78 7p1e8 10146 . . . . . . . 8  |-  ( 7  +  1 )  =  8
7977, 10, 78addcomli 9296 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  7 )  =  8
8022dec0h 10436 . . . . . . 7  |-  8  = ; 0 8
8179, 80eqtri 2463 . . . . . 6  |-  ( 1  +  7 )  = ; 0
8
82 3cn 10110 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  CC
8382mulid1i 9130 . . . . . . . 8  |-  ( 3  x.  1 )  =  3
8483, 11oveq12i 6129 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 3  +  1 )
85 3p1e4 10142 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  1 )  =  4
8684, 85eqtri 2463 . . . . . 6  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  4
8761mulid1i 9130 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
8887oveq1i 6127 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  8 )  =  ( 2  +  8 )
892nncni 10048 . . . . . . . 8  |-  8  e.  CC
90 8p2e10 10163 . . . . . . . 8  |-  ( 8  +  2 )  =  10
9189, 61, 90addcomli 9296 . . . . . . 7  |-  ( 2  +  8 )  =  10
9288, 91, 643eqtri 2467 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  8 )  = ; 1
0
9350, 54, 7, 22, 75, 81, 43, 7, 43, 86, 92decmac 10459 . . . . 5  |-  ( (; 3
2  x.  1 )  +  ( 1  +  7 ) )  = ; 4
0
9470dec0h 10436 . . . . . 6  |-  6  = ; 0 6
95 3t2e6 10166 . . . . . . . 8  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
9695, 11oveq12i 6129 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  x.  2 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 6  +  1 )
97 6p1e7 10145 . . . . . . 7  |-  ( 6  +  1 )  =  7
9896, 97eqtri 2463 . . . . . 6  |-  ( ( 3  x.  2 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  7
99 2t2e4 10165 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
10099oveq1i 6127 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  6 )  =  ( 4  +  6 )
101 6nn 10175 . . . . . . . . 9  |-  6  e.  NN
102101nncni 10048 . . . . . . . 8  |-  6  e.  CC
103 4cn 10112 . . . . . . . 8  |-  4  e.  CC
104 6p4e10 10160 . . . . . . . 8  |-  ( 6  +  4 )  =  10
105102, 103, 104addcomli 9296 . . . . . . 7  |-  ( 4  +  6 )  =  10
106100, 105, 643eqtri 2467 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  6 )  = ; 1
0
10750, 54, 7, 70, 75, 94, 54, 7, 43, 98, 106decmac 10459 . . . . 5  |-  ( (; 3
2  x.  2 )  +  6 )  = ; 7
0
10843, 54, 43, 70, 72, 73, 55, 7, 74, 93, 107decma2c 10460 . . . 4  |-  ( (; 3
2  x. ; 1 2 )  + ; 1
6 )  = ;; 4 0 0
109 5p1e6 10144 . . . . . 6  |-  ( 5  +  1 )  =  6
110 5t3e15 10494 . . . . . . 7  |-  ( 5  x.  3 )  = ; 1
5
11132, 82, 110mulcomli 9135 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  5 )  = ; 1
5
11243, 21, 109, 111decsuc 10443 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  5 )  +  1 )  = ; 1
6
11321, 50, 54, 75, 7, 43, 112, 65decmul1c 10467 . . . 4  |-  (; 3 2  x.  5 )  = ;; 1 6 0
11455, 56, 21, 69, 7, 71, 108, 113decmul2c 10468 . . 3  |-  (; 3 2  x.  (
5 ^ 3 ) )  = ;;; 4 0 0 0
11520, 114eqtr4i 2466 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 3 2  x.  (
5 ^ 3 ) )
116 2lt10 10223 . . . 4  |-  2  <  10
117 1nn 10049 . . . . 5  |-  1  e.  NN
118 3lt10 10222 . . . . 5  |-  3  <  10
119117, 54, 50, 118declti 10445 . . . 4  |-  3  < ; 1
2
12050, 56, 54, 21, 116, 119decltc 10442 . . 3  |- ; 3 2  < ;; 1 2 5
121120, 69breqtrri 4268 . 2  |- ; 3 2  <  (
5 ^ 3 )
12254001lem3 13500 . 2  |-  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  mod  N )  =  ( 1  mod  N
)
12354001lem4 13501 . 2  |-  ( ( ( 2 ^;; 8 0 0 )  - 
1 )  gcd  N
)  =  1
1241, 4, 42, 49, 52, 53, 51, 115, 121, 122, 123pockthi 13313 1  |-  N  e. 
Prime
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1654    e. wcel 1728  (class class class)co 6117   CCcc 9026   0cc0 9028   1c1 9029    + caddc 9031    x. cmul 9033    < clt 9158    - cmin 9329   2c2 10087   3c3 10088   4c4 10089   5c5 10090   6c6 10091   7c7 10092   8c8 10093   10c10 10095   NN0cn0 10259  ;cdc 10420   ^cexp 11420   Primecprime 13117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4351  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736  ax-cnex 9084  ax-resscn 9085  ax-1cn 9086  ax-icn 9087  ax-addcl 9088  ax-addrcl 9089  ax-mulcl 9090  ax-mulrcl 9091  ax-mulcom 9092  ax-addass 9093  ax-mulass 9094  ax-distr 9095  ax-i2m1 9096  ax-1ne0 9097  ax-1rid 9098  ax-rnegex 9099  ax-rrecex 9100  ax-cnre 9101  ax-pre-lttri 9102  ax-pre-lttrn 9103  ax-pre-ltadd 9104  ax-pre-mulgt0 9105  ax-pre-sup 9106
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-uni 4045  df-int 4080  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-1st 6385  df-2nd 6386  df-riota 6585  df-recs 6669  df-rdg 6704  df-1o 6760  df-2o 6761  df-oadd 6764  df-er 6941  df-map 7056  df-en 7146  df-dom 7147  df-sdom 7148  df-fin 7149  df-sup 7482  df-card 7864  df-cda 8086  df-pnf 9160  df-mnf 9161  df-xr 9162  df-ltxr 9163  df-le 9164  df-sub 9331  df-neg 9332  df-div 9716  df-nn 10039  df-2 10096  df-3 10097  df-4 10098  df-5 10099  df-6 10100  df-7 10101  df-8 10102  df-9 10103  df-10 10104  df-n0 10260  df-z 10321  df-dec 10421  df-uz 10527  df-q 10613  df-rp 10651  df-fz 11082  df-fzo 11174  df-fl 11240  df-mod 11289  df-seq 11362  df-exp 11421  df-hash 11657  df-cj 11942  df-re 11943  df-im 11944  df-sqr 12078  df-abs 12079  df-dvds 12891  df-gcd 13045  df-prm 13118  df-odz 13192  df-phi 13193  df-pc 13249
  Copyright terms: Public domain W3C validator