Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  4atlem10 Unicode version

Theorem 4atlem10 30417
Description: Lemma for 4at 30424. Combine both possible cases. (Contributed by NM, 9-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
4at.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
4at.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
4at.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
4atlem10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( R  .\/  S
)  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( V  .\/  W ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )

Proof of Theorem 4atlem10
StepHypRef Expression
1 simp11 985 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  K  e.  HL )
2 hllat 30175 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  K  e.  Lat )
4 simp21l 1072 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  R  e.  A )
5 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
6 4at.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
75, 6atbase 30101 . . . 4  |-  ( R  e.  A  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
84, 7syl 15 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
9 simp21r 1073 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  S  e.  A )
105, 6atbase 30101 . . . 4  |-  ( S  e.  A  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
119, 10syl 15 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
12 4at.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
135, 12, 6hlatjcl 30178 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
14133ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
) )
15 simp22 989 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  V  e.  A )
16 simp23 990 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  W  e.  A )
175, 12, 6hlatjcl 30178 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  ->  ( V  .\/  W
)  e.  ( Base `  K ) )
181, 15, 16, 17syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( V  .\/  W )  e.  ( Base `  K
) )
195, 12latjcl 14172 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( V  .\/  W )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V  .\/  W ) )  e.  ( Base `  K ) )
203, 14, 18, 19syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  e.  ( Base `  K
) )
21 4at.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
225, 21, 12latjle12 14184 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R  e.  ( Base `  K )  /\  S  e.  ( Base `  K )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( R  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  <->  ( R  .\/  S )  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
233, 8, 11, 20, 22syl13anc 1184 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( R  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  <->  ( R  .\/  S )  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
24 simp11 985 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  W )  /\  ( R 
.<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A ) )
254, 9, 153jca 1132 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  V  e.  A )
)
26253ad2ant1 976 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  W )  /\  ( R 
.<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  V  e.  A ) )
27163ad2ant1 976 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  W )  /\  ( R 
.<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  W  e.  A
)
28 simp2 956 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  W )  /\  ( R 
.<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  -.  R  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  W )
)
29 simp33 993 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  -.  S  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R ) )
30293ad2ant1 976 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  W )  /\  ( R 
.<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  R )
)
3127, 28, 303jca 1132 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  W )  /\  ( R 
.<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  ( W  e.  A  /\  -.  R  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  W )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  R )
) )
32 simp3 957 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  W )  /\  ( R 
.<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  ( R  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
3321, 12, 64atlem10b 30416 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  V  e.  A )  /\  ( W  e.  A  /\  -.  R  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  W )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) ) )  /\  ( R 
.<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )
3424, 26, 31, 32, 33syl31anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  W )  /\  ( R 
.<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )
35343exp 1150 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( -.  R  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  W )  -> 
( ( R  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) ) )
3612, 6hlatjcom 30179 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  A  /\  R  e.  A )  ->  ( S  .\/  R
)  =  ( R 
.\/  S ) )
371, 9, 4, 36syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( S  .\/  R )  =  ( R  .\/  S
) )
3837oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  ( S  .\/  R ) )  =  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( R 
.\/  S ) ) )
39383ad2ant1 976 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  W )  /\  ( R 
.<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( S  .\/  R ) )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( R  .\/  S ) ) )
40 simp11 985 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  W )  /\  ( R 
.<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A ) )
419, 4, 153jca 1132 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( S  e.  A  /\  R  e.  A  /\  V  e.  A )
)
42413ad2ant1 976 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  W )  /\  ( R 
.<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  ( S  e.  A  /\  R  e.  A  /\  V  e.  A ) )
43163ad2ant1 976 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  W )  /\  ( R 
.<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  W  e.  A
)
44 simp2 956 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  W )  /\  ( R 
.<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  W )
)
45 simp12 986 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  P  e.  A )
46 simp13 987 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  Q  e.  A )
4745, 46jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )
)
48 simp21 988 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )
)
49 simp32 992 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )
5021, 12, 64atlem0a 30404 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  R )
) )  ->  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  S ) )
511, 47, 48, 49, 29, 50syl32anc 1190 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  S ) )
52513ad2ant1 976 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  W )  /\  ( R 
.<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  -.  R  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  S )
)
5343, 44, 523jca 1132 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  W )  /\  ( R 
.<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  ( W  e.  A  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  W )  /\  -.  R  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  S )
) )
54 simprr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  S  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )
55 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  R  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )
5654, 55jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  ( S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
57563adant2 974 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  W )  /\  ( R 
.<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  ( S  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
5821, 12, 64atlem10b 30416 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  R  e.  A  /\  V  e.  A )  /\  ( W  e.  A  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  W )  /\  -.  R  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  S ) ) )  /\  ( S 
.<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( S  .\/  R ) )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )
5940, 42, 53, 57, 58syl31anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  W )  /\  ( R 
.<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( S  .\/  R ) )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )
6039, 59eqtr3d 2330 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  W )  /\  ( R 
.<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )
61603exp 1150 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  W )  -> 
( ( R  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) ) )
62 simp1 955 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A ) )
63 simp3 957 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )
6421, 12, 64atlem3b 30409 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  W  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( -.  R  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  W )  \/ 
-.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  W ) ) )
6562, 4, 9, 16, 63, 64syl131anc 1195 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( -.  R  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  W )  \/ 
-.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  W ) ) )
6635, 61, 65mpjaod 370 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( R  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
6723, 66sylbird 226 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( R  .\/  S
)  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( V  .\/  W ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   lecple 13231   joincjn 14094   Latclat 14167   Atomscatm 30075   HLchlt 30162
This theorem is referenced by:  4atlem11b  30419
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-lat 14168  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-llines 30309  df-lplanes 30310  df-lvols 30311
  Copyright terms: Public domain W3C validator