Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  4atlem11b Unicode version

Theorem 4atlem11b 30136
Description: Lemma for 4at 30141. Substitute  U for  Q (cont.). (Contributed by NM, 10-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
4at.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
4at.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
4at.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
4atlem11b  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  V
)  .\/  W )
)  /\  ( Q  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )

Proof of Theorem 4atlem11b
StepHypRef Expression
1 simp11 987 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  V
)  .\/  W )
)  /\  ( Q  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A ) )
2 simp12 988 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  V
)  .\/  W )
)  /\  ( Q  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )
)
3 simp132 1093 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  V
)  .\/  W )
)  /\  ( Q  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  V  e.  A )
4 simp133 1094 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  V
)  .\/  W )
)  /\  ( Q  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  W  e.  A )
52, 3, 43jca 1134 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  V
)  .\/  W )
)  /\  ( Q  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  (
( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )
6 simp2l 983 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  V
)  .\/  W )
)  /\  ( Q  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )
71, 5, 63jca 1134 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  V
)  .\/  W )
)  /\  ( Q  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  (
( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) ) )
8 simp32 994 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  V
)  .\/  W )
)  /\  ( Q  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  R  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )
9 simp33 995 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  V
)  .\/  W )
)  /\  ( Q  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )
10 simp111 1086 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  V
)  .\/  W )
)  /\  ( Q  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  K  e.  HL )
11 hllat 29892 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
1210, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  V
)  .\/  W )
)  /\  ( Q  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  K  e.  Lat )
13 simp12l 1070 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  V
)  .\/  W )
)  /\  ( Q  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  R  e.  A )
14 eqid 2430 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
15 4at.a . . . . . . . 8  |-  A  =  ( Atoms `  K )
1614, 15atbase 29818 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  A  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
1713, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  V
)  .\/  W )
)  /\  ( Q  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
18 simp12r 1071 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  V
)  .\/  W )
)  /\  ( Q  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  S  e.  A )
1914, 15atbase 29818 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  A  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
2018, 19syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  V
)  .\/  W )
)  /\  ( Q  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
21 simp112 1087 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  V
)  .\/  W )
)  /\  ( Q  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  P  e.  A )
22 simp131 1092 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  V
)  .\/  W )
)  /\  ( Q  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  U  e.  A )
23 4at.j . . . . . . . . 9  |-  .\/  =  ( join `  K )
2414, 23, 15hlatjcl 29895 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  U  e.  A )  ->  ( P  .\/  U
)  e.  ( Base `  K ) )
2510, 21, 22, 24syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  V
)  .\/  W )
)  /\  ( Q  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  ( P  .\/  U )  e.  ( Base `  K
) )
2614, 23, 15hlatjcl 29895 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  ->  ( V  .\/  W
)  e.  ( Base `  K ) )
2710, 3, 4, 26syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  V
)  .\/  W )
)  /\  ( Q  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  ( V  .\/  W )  e.  ( Base `  K
) )
2814, 23latjcl 14462 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  U )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( V  .\/  W )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  e.  ( Base `  K ) )
2912, 25, 27, 28syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  V
)  .\/  W )
)  /\  ( Q  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  (
( P  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  e.  ( Base `  K
) )
30 4at.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
3114, 30, 23latjle12 14474 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R  e.  ( Base `  K )  /\  S  e.  ( Base `  K )  /\  (
( P  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( R  .<_  ( ( P  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  <->  ( R  .\/  S )  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
3212, 17, 20, 29, 31syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  V
)  .\/  W )
)  /\  ( Q  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  (
( R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  <->  ( R  .\/  S )  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
338, 9, 32mpbi2and 888 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  V
)  .\/  W )
)  /\  ( Q  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  ( R  .\/  S )  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )
34 simp31 993 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  V
)  .\/  W )
)  /\  ( Q  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  Q  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )
35 simp13 989 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  V
)  .\/  W )
)  /\  ( Q  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )
)
36 simp2r 984 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  V
)  .\/  W )
)  /\  ( Q  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  -.  Q  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W ) )
3730, 23, 154atlem11a 30135 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
)  /\  -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  V )  .\/  W ) )  ->  ( Q  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  <-> 
( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  =  ( ( P 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
381, 35, 36, 37syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  V
)  .\/  W )
)  /\  ( Q  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  ( Q  .<_  ( ( P 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  <->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( V  .\/  W ) )  =  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
3934, 38mpbid 202 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  V
)  .\/  W )
)  /\  ( Q  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  =  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )
4033, 39breqtrrd 4225 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  V
)  .\/  W )
)  /\  ( Q  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  ( R  .\/  S )  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )
4130, 23, 154atlem10 30134 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( R  .\/  S
)  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( V  .\/  W ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
427, 40, 41sylc 58 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  V
)  .\/  W )
)  /\  ( Q  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )
4342, 39eqtrd 2462 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  V
)  .\/  W )
)  /\  ( Q  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2593   class class class wbr 4199   ` cfv 5440  (class class class)co 6067   Basecbs 13452   lecple 13519   joincjn 14384   Latclat 14457   Atomscatm 29792   HLchlt 29879
This theorem is referenced by:  4atlem11  30137
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-rep 4307  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-op 3810  df-uni 4003  df-iun 4082  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-id 4485  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-1st 6335  df-2nd 6336  df-undef 6529  df-riota 6535  df-poset 14386  df-plt 14398  df-lub 14414  df-glb 14415  df-join 14416  df-meet 14417  df-p0 14451  df-lat 14458  df-clat 14520  df-oposet 29705  df-ol 29707  df-oml 29708  df-covers 29795  df-ats 29796  df-atl 29827  df-cvlat 29851  df-hlat 29880  df-llines 30026  df-lplanes 30027  df-lvols 30028
  Copyright terms: Public domain W3C validator