Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  4atlem12 Structured version   Unicode version

Theorem 4atlem12 30583
Description: Lemma for 4at 30584. Combine all four possible cases. (Contributed by NM, 11-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
4at.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
4at.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
4at.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
4atlem12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  ( R 
.\/  S ) ) 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )

Proof of Theorem 4atlem12
StepHypRef Expression
1 simpl11 1033 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  K  e.  HL )
2 hllat 30335 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  K  e.  Lat )
4 simpl12 1034 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  P  e.  A )
5 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
6 4at.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
75, 6atbase 30261 . . . . . 6  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
84, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
9 simpl13 1035 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  Q  e.  A )
105, 6atbase 30261 . . . . . 6  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
119, 10syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
12 simpl23 1038 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  T  e.  A )
13 simpl31 1039 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  U  e.  A )
14 4at.j . . . . . . . 8  |-  .\/  =  ( join `  K )
155, 14, 6hlatjcl 30338 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A )  ->  ( T  .\/  U
)  e.  ( Base `  K ) )
161, 12, 13, 15syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( T  .\/  U )  e.  ( Base `  K
) )
17 simpl32 1040 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  V  e.  A )
18 simpl33 1041 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  W  e.  A )
195, 14, 6hlatjcl 30338 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  ->  ( V  .\/  W
)  e.  ( Base `  K ) )
201, 17, 18, 19syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( V  .\/  W )  e.  ( Base `  K
) )
215, 14latjcl 14517 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( T  .\/  U )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( V  .\/  W )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  e.  ( Base `  K ) )
223, 16, 20, 21syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  e.  ( Base `  K
) )
23 4at.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
245, 23, 14latjle12 14529 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K )  /\  (
( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  <->  ( P  .\/  Q )  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
253, 8, 11, 22, 24syl13anc 1187 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( P  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  <->  ( P  .\/  Q )  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
26 simpl21 1036 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  R  e.  A )
275, 6atbase 30261 . . . . . 6  |-  ( R  e.  A  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
2826, 27syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
29 simpl22 1037 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  S  e.  A )
305, 6atbase 30261 . . . . . 6  |-  ( S  e.  A  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
3129, 30syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
325, 23, 14latjle12 14529 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R  e.  ( Base `  K )  /\  S  e.  ( Base `  K )  /\  (
( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  <->  ( R  .\/  S )  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
333, 28, 31, 22, 32syl13anc 1187 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( R  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  <->  ( R  .\/  S )  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
3425, 33anbi12d 693 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  <->  ( ( P 
.\/  Q )  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  ( R  .\/  S )  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )
35 simpl1 961 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A ) )
365, 14, 6hlatjcl 30338 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
3735, 36syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
) )
385, 14, 6hlatjcl 30338 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  R  e.  A  /\  S  e.  A )  ->  ( R  .\/  S
)  e.  ( Base `  K ) )
391, 26, 29, 38syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( R  .\/  S )  e.  ( Base `  K
) )
405, 23, 14latjle12 14529 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K )  /\  ( R  .\/  S )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( ( P  .\/  Q ) 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  ( R  .\/  S )  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  <->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
413, 37, 39, 22, 40syl13anc 1187 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( ( P  .\/  Q )  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  ( R 
.\/  S )  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  <->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
4234, 41bitrd 246 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  <->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
43 simp1l 982 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) ) )
44 simp1r 983 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( P  =/= 
Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )
45 simp2 959 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  -.  P  .<_  ( ( U  .\/  V
)  .\/  W )
)
46 simp3 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( P 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) ) )
4723, 14, 64atlem12b 30582 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( U  .\/  V
)  .\/  W )
)  /\  ( ( P  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )
4843, 44, 45, 46, 47syl121anc 1190 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )
49483exp 1153 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( -.  P  .<_  ( ( U  .\/  V ) 
.\/  W )  -> 
( ( ( P 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) ) )
505, 14latj4rot 14569 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  e.  ( Base `  K )  /\  R  e.  ( Base `  K ) )  /\  ( S  e.  ( Base `  K )  /\  P  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  ( S  .\/  P ) )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( R  .\/  S ) ) )
513, 11, 28, 31, 8, 50syl122anc 1194 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( Q  .\/  R
)  .\/  ( S  .\/  P ) )  =  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( R 
.\/  S ) ) )
52513ad2ant1 979 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  ( S  .\/  P ) )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( R  .\/  S ) ) )
531, 9, 263jca 1135 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A ) )
5429, 4, 123jca 1135 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( S  e.  A  /\  P  e.  A  /\  T  e.  A )
)
55 simpl3 963 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )
)
5653, 54, 553jca 1135 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  P  e.  A  /\  T  e.  A
)  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A ) ) )
57563ad2ant1 979 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  P  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) ) )
58 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )
5923, 14, 64noncolr3 30424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( Q  =/=  R  /\  -.  S  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  S ) ) )
6035, 26, 29, 58, 59syl121anc 1190 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( Q  =/=  R  /\  -.  S  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  S ) ) )
61603ad2ant1 979 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( Q  =/= 
R  /\  -.  S  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  S ) ) )
62 simp2 959 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  -.  Q  .<_  ( ( U  .\/  V
)  .\/  W )
)
63 simprlr 741 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  (
( P  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  /\  ( R 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )
64 simprrl 742 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  (
( P  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  /\  ( R 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )
6563, 64jca 520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  (
( P  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  /\  ( R 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( Q  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
66 simprrr 743 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  (
( P  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  /\  ( R 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  S  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )
67 simprll 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  (
( P  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  /\  ( R 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  P  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )
6865, 66, 67jca32 523 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  (
( P  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  /\  ( R 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( Q  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( S  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  P  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )
69683adant2 977 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( Q 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) ) )
7023, 14, 64atlem12b 30582 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  P  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  (
( Q  =/=  R  /\  -.  S  .<_  ( Q 
.\/  R )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  R ) 
.\/  S ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( U  .\/  V
)  .\/  W )
)  /\  ( ( Q  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( S  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  P  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  ( S  .\/  P ) )  =  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )
7157, 61, 62, 69, 70syl121anc 1190 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  ( S  .\/  P ) )  =  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )
7252, 71eqtr3d 2477 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )
73723exp 1153 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( -.  Q  .<_  ( ( U  .\/  V ) 
.\/  W )  -> 
( ( ( P 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) ) )
7449, 73jaod 371 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( -.  P  .<_  ( ( U  .\/  V
)  .\/  W )  \/  -.  Q  .<_  ( ( U  .\/  V ) 
.\/  W ) )  ->  ( ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  .\/  ( R 
.\/  S ) )  =  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )
755, 14latjcom 14526 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( R  .\/  S )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( R  .\/  S ) 
.\/  ( P  .\/  Q ) ) )
763, 37, 39, 75syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( R  .\/  S )  .\/  ( P 
.\/  Q ) ) )
77763ad2ant1 979 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( R  .\/  S ) 
.\/  ( P  .\/  Q ) ) )
781, 26, 293jca 1135 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  R  e.  A  /\  S  e.  A ) )
794, 9, 123jca 1135 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  T  e.  A )
)
8078, 79, 553jca 1135 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( K  e.  HL  /\  R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  T  e.  A
)  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A ) ) )
81803ad2ant1 979 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) ) )
8223, 14, 64noncolr2 30425 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( R  =/=  S  /\  -.  P  .<_  ( R  .\/  S )  /\  -.  Q  .<_  ( ( R  .\/  S )  .\/  P ) ) )
8335, 26, 29, 58, 82syl121anc 1190 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( R  =/=  S  /\  -.  P  .<_  ( R  .\/  S )  /\  -.  Q  .<_  ( ( R  .\/  S )  .\/  P ) ) )
84833ad2ant1 979 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( R  =/= 
S  /\  -.  P  .<_  ( R  .\/  S
)  /\  -.  Q  .<_  ( ( R  .\/  S )  .\/  P ) ) )
85 simp2 959 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  -.  R  .<_  ( ( U  .\/  V
)  .\/  W )
)
86 simprr 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  (
( P  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  /\  ( R 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
87 simprl 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  (
( P  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  /\  ( R 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
8886, 87jca 520 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  (
( P  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  /\  ( R 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( R  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( P  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )
89883adant2 977 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( R 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( P  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) ) )
9023, 14, 64atlem12b 30582 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  (
( R  =/=  S  /\  -.  P  .<_  ( R 
.\/  S )  /\  -.  Q  .<_  ( ( R  .\/  S ) 
.\/  P ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( U  .\/  V
)  .\/  W )
)  /\  ( ( R  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( P  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( R 
.\/  S )  .\/  ( P  .\/  Q ) )  =  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )
9181, 84, 85, 89, 90syl121anc 1190 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( R 
.\/  S )  .\/  ( P  .\/  Q ) )  =  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )
9277, 91eqtrd 2475 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )
93923exp 1153 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( -.  R  .<_  ( ( U  .\/  V ) 
.\/  W )  -> 
( ( ( P 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) ) )
945, 14latj4rot 14569 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K ) )  /\  ( R  e.  ( Base `  K )  /\  S  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( S  .\/  P ) 
.\/  ( Q  .\/  R ) ) )
953, 8, 11, 28, 31, 94syl122anc 1194 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( S  .\/  P )  .\/  ( Q 
.\/  R ) ) )
96953ad2ant1 979 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( S  .\/  P ) 
.\/  ( Q  .\/  R ) ) )
971, 29, 43jca 1135 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  S  e.  A  /\  P  e.  A ) )
989, 26, 123jca 1135 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  T  e.  A )
)
9997, 98, 553jca 1135 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( K  e.  HL  /\  S  e.  A  /\  P  e.  A )  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  T  e.  A
)  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A ) ) )
100993ad2ant1 979 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  A  /\  P  e.  A )  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) ) )
10123, 14, 64noncolr1 30426 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( S  =/=  P  /\  -.  Q  .<_  ( S  .\/  P )  /\  -.  R  .<_  ( ( S  .\/  P )  .\/  Q ) ) )
10235, 26, 29, 58, 101syl121anc 1190 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( S  =/=  P  /\  -.  Q  .<_  ( S  .\/  P )  /\  -.  R  .<_  ( ( S  .\/  P )  .\/  Q ) ) )
1031023ad2ant1 979 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( S  =/= 
P  /\  -.  Q  .<_  ( S  .\/  P
)  /\  -.  R  .<_  ( ( S  .\/  P )  .\/  Q ) ) )
104 simp2 959 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  -.  S  .<_  ( ( U  .\/  V
)  .\/  W )
)
10566, 67jca 520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  (
( P  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  /\  ( R 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( S  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  P  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
106105, 63, 64jca32 523 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  (
( P  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  /\  ( R 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  P  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )
1071063adant2 977 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( S 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  P  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( Q  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) ) )
10823, 14, 64atlem12b 30582 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  A  /\  P  e.  A )  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  (
( S  =/=  P  /\  -.  Q  .<_  ( S 
.\/  P )  /\  -.  R  .<_  ( ( S  .\/  P ) 
.\/  Q ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( U  .\/  V
)  .\/  W )
)  /\  ( ( S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  P  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( S 
.\/  P )  .\/  ( Q  .\/  R ) )  =  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )
109100, 103, 104, 107, 108syl121anc 1190 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( S 
.\/  P )  .\/  ( Q  .\/  R ) )  =  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )
11096, 109eqtrd 2475 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )
1111103exp 1153 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( -.  S  .<_  ( ( U  .\/  V ) 
.\/  W )  -> 
( ( ( P 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) ) )
11293, 111jaod 371 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( -.  R  .<_  ( ( U  .\/  V
)  .\/  W )  \/  -.  S  .<_  ( ( U  .\/  V ) 
.\/  W ) )  ->  ( ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  .\/  ( R 
.\/  S ) )  =  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )
11326, 29, 133jca 1135 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  U  e.  A )
)
11417, 18jca 520 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( V  e.  A  /\  W  e.  A )
)
11523, 14, 64atlem3 30567 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  U  e.  A )  /\  ( V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( -.  P  .<_  ( ( U  .\/  V
)  .\/  W )  \/  -.  Q  .<_  ( ( U  .\/  V ) 
.\/  W ) )  \/  ( -.  R  .<_  ( ( U  .\/  V )  .\/  W )  \/  -.  S  .<_  ( ( U  .\/  V
)  .\/  W )
) ) )
11635, 113, 114, 58, 115syl31anc 1188 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( -.  P  .<_  ( ( U  .\/  V
)  .\/  W )  \/  -.  Q  .<_  ( ( U  .\/  V ) 
.\/  W ) )  \/  ( -.  R  .<_  ( ( U  .\/  V )  .\/  W )  \/  -.  S  .<_  ( ( U  .\/  V
)  .\/  W )
) ) )
11774, 112, 116mpjaod 372 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
11842, 117sylbird 228 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  ( R 
.\/  S ) ) 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1654    e. wcel 1728    =/= wne 2606   class class class wbr 4243   ` cfv 5489  (class class class)co 6117   Basecbs 13507   lecple 13574   joincjn 14439   Latclat 14512   Atomscatm 30235   HLchlt 30322
This theorem is referenced by:  4at  30584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4351  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-op 3852  df-uni 4045  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-id 4533  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-1st 6385  df-2nd 6386  df-undef 6579  df-riota 6585  df-poset 14441  df-plt 14453  df-lub 14469  df-glb 14470  df-join 14471  df-meet 14472  df-p0 14506  df-lat 14513  df-clat 14575  df-oposet 30148  df-ol 30150  df-oml 30151  df-covers 30238  df-ats 30239  df-atl 30270  df-cvlat 30294  df-hlat 30323  df-llines 30469  df-lplanes 30470  df-lvols 30471
  Copyright terms: Public domain W3C validator