Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  4atlem12 Unicode version

Theorem 4atlem12 29777
Description: Lemma for 4at 29778. Combine all four possible cases. (Contributed by NM, 11-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
4at.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
4at.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
4at.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
4atlem12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  ( R 
.\/  S ) ) 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )

Proof of Theorem 4atlem12
StepHypRef Expression
1 simpl11 1032 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  K  e.  HL )
2 hllat 29529 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  K  e.  Lat )
4 simpl12 1033 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  P  e.  A )
5 eqid 2380 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
6 4at.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
75, 6atbase 29455 . . . . . 6  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
84, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
9 simpl13 1034 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  Q  e.  A )
105, 6atbase 29455 . . . . . 6  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
119, 10syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
12 simpl23 1037 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  T  e.  A )
13 simpl31 1038 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  U  e.  A )
14 4at.j . . . . . . . 8  |-  .\/  =  ( join `  K )
155, 14, 6hlatjcl 29532 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A )  ->  ( T  .\/  U
)  e.  ( Base `  K ) )
161, 12, 13, 15syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( T  .\/  U )  e.  ( Base `  K
) )
17 simpl32 1039 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  V  e.  A )
18 simpl33 1040 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  W  e.  A )
195, 14, 6hlatjcl 29532 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  ->  ( V  .\/  W
)  e.  ( Base `  K ) )
201, 17, 18, 19syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( V  .\/  W )  e.  ( Base `  K
) )
215, 14latjcl 14399 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( T  .\/  U )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( V  .\/  W )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  e.  ( Base `  K ) )
223, 16, 20, 21syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  e.  ( Base `  K
) )
23 4at.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
245, 23, 14latjle12 14411 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K )  /\  (
( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  <->  ( P  .\/  Q )  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
253, 8, 11, 22, 24syl13anc 1186 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( P  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  <->  ( P  .\/  Q )  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
26 simpl21 1035 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  R  e.  A )
275, 6atbase 29455 . . . . . 6  |-  ( R  e.  A  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
2826, 27syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
29 simpl22 1036 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  S  e.  A )
305, 6atbase 29455 . . . . . 6  |-  ( S  e.  A  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
3129, 30syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
325, 23, 14latjle12 14411 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R  e.  ( Base `  K )  /\  S  e.  ( Base `  K )  /\  (
( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  <->  ( R  .\/  S )  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
333, 28, 31, 22, 32syl13anc 1186 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( R  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  <->  ( R  .\/  S )  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
3425, 33anbi12d 692 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  <->  ( ( P 
.\/  Q )  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  ( R  .\/  S )  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )
35 simpl1 960 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A ) )
365, 14, 6hlatjcl 29532 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
3735, 36syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
) )
385, 14, 6hlatjcl 29532 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  R  e.  A  /\  S  e.  A )  ->  ( R  .\/  S
)  e.  ( Base `  K ) )
391, 26, 29, 38syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( R  .\/  S )  e.  ( Base `  K
) )
405, 23, 14latjle12 14411 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K )  /\  ( R  .\/  S )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( ( P  .\/  Q ) 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  ( R  .\/  S )  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  <->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
413, 37, 39, 22, 40syl13anc 1186 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( ( P  .\/  Q )  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  ( R 
.\/  S )  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  <->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
4234, 41bitrd 245 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  <->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
43 simp1l 981 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) ) )
44 simp1r 982 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( P  =/= 
Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )
45 simp2 958 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  -.  P  .<_  ( ( U  .\/  V
)  .\/  W )
)
46 simp3 959 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( P 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) ) )
4723, 14, 64atlem12b 29776 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( U  .\/  V
)  .\/  W )
)  /\  ( ( P  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )
4843, 44, 45, 46, 47syl121anc 1189 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )
49483exp 1152 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( -.  P  .<_  ( ( U  .\/  V ) 
.\/  W )  -> 
( ( ( P 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) ) )
505, 14latj4rot 14451 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  e.  ( Base `  K )  /\  R  e.  ( Base `  K ) )  /\  ( S  e.  ( Base `  K )  /\  P  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  ( S  .\/  P ) )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( R  .\/  S ) ) )
513, 11, 28, 31, 8, 50syl122anc 1193 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( Q  .\/  R
)  .\/  ( S  .\/  P ) )  =  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( R 
.\/  S ) ) )
52513ad2ant1 978 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  ( S  .\/  P ) )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( R  .\/  S ) ) )
531, 9, 263jca 1134 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A ) )
5429, 4, 123jca 1134 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( S  e.  A  /\  P  e.  A  /\  T  e.  A )
)
55 simpl3 962 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )
)
5653, 54, 553jca 1134 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  P  e.  A  /\  T  e.  A
)  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A ) ) )
57563ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  P  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) ) )
58 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )
5923, 14, 64noncolr3 29618 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( Q  =/=  R  /\  -.  S  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  S ) ) )
6035, 26, 29, 58, 59syl121anc 1189 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( Q  =/=  R  /\  -.  S  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  S ) ) )
61603ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( Q  =/= 
R  /\  -.  S  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  S ) ) )
62 simp2 958 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  -.  Q  .<_  ( ( U  .\/  V
)  .\/  W )
)
63 simprlr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  (
( P  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  /\  ( R 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )
64 simprrl 741 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  (
( P  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  /\  ( R 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )
6563, 64jca 519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  (
( P  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  /\  ( R 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( Q  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
66 simprrr 742 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  (
( P  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  /\  ( R 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  S  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )
67 simprll 739 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  (
( P  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  /\  ( R 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  P  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )
6865, 66, 67jca32 522 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  (
( P  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  /\  ( R 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( Q  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( S  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  P  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )
69683adant2 976 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( Q 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) ) )
7023, 14, 64atlem12b 29776 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  P  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  (
( Q  =/=  R  /\  -.  S  .<_  ( Q 
.\/  R )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  R ) 
.\/  S ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( U  .\/  V
)  .\/  W )
)  /\  ( ( Q  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( S  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  P  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  ( S  .\/  P ) )  =  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )
7157, 61, 62, 69, 70syl121anc 1189 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  ( S  .\/  P ) )  =  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )
7252, 71eqtr3d 2414 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )
73723exp 1152 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( -.  Q  .<_  ( ( U  .\/  V ) 
.\/  W )  -> 
( ( ( P 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) ) )
7449, 73jaod 370 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( -.  P  .<_  ( ( U  .\/  V
)  .\/  W )  \/  -.  Q  .<_  ( ( U  .\/  V ) 
.\/  W ) )  ->  ( ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  .\/  ( R 
.\/  S ) )  =  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )
755, 14latjcom 14408 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( R  .\/  S )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( R  .\/  S ) 
.\/  ( P  .\/  Q ) ) )
763, 37, 39, 75syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( R  .\/  S )  .\/  ( P 
.\/  Q ) ) )
77763ad2ant1 978 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( R  .\/  S ) 
.\/  ( P  .\/  Q ) ) )
781, 26, 293jca 1134 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  R  e.  A  /\  S  e.  A ) )
794, 9, 123jca 1134 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  T  e.  A )
)
8078, 79, 553jca 1134 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( K  e.  HL  /\  R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  T  e.  A
)  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A ) ) )
81803ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) ) )
8223, 14, 64noncolr2 29619 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( R  =/=  S  /\  -.  P  .<_  ( R  .\/  S )  /\  -.  Q  .<_  ( ( R  .\/  S )  .\/  P ) ) )
8335, 26, 29, 58, 82syl121anc 1189 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( R  =/=  S  /\  -.  P  .<_  ( R  .\/  S )  /\  -.  Q  .<_  ( ( R  .\/  S )  .\/  P ) ) )
84833ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( R  =/= 
S  /\  -.  P  .<_  ( R  .\/  S
)  /\  -.  Q  .<_  ( ( R  .\/  S )  .\/  P ) ) )
85 simp2 958 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  -.  R  .<_  ( ( U  .\/  V
)  .\/  W )
)
86 simprr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  (
( P  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  /\  ( R 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
87 simprl 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  (
( P  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  /\  ( R 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
8886, 87jca 519 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  (
( P  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  /\  ( R 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( R  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( P  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )
89883adant2 976 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( R 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( P  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) ) )
9023, 14, 64atlem12b 29776 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  (
( R  =/=  S  /\  -.  P  .<_  ( R 
.\/  S )  /\  -.  Q  .<_  ( ( R  .\/  S ) 
.\/  P ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( U  .\/  V
)  .\/  W )
)  /\  ( ( R  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( P  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( R 
.\/  S )  .\/  ( P  .\/  Q ) )  =  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )
9181, 84, 85, 89, 90syl121anc 1189 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( R 
.\/  S )  .\/  ( P  .\/  Q ) )  =  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )
9277, 91eqtrd 2412 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )
93923exp 1152 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( -.  R  .<_  ( ( U  .\/  V ) 
.\/  W )  -> 
( ( ( P 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) ) )
945, 14latj4rot 14451 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K ) )  /\  ( R  e.  ( Base `  K )  /\  S  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( S  .\/  P ) 
.\/  ( Q  .\/  R ) ) )
953, 8, 11, 28, 31, 94syl122anc 1193 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( S  .\/  P )  .\/  ( Q 
.\/  R ) ) )
96953ad2ant1 978 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( S  .\/  P ) 
.\/  ( Q  .\/  R ) ) )
971, 29, 43jca 1134 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  S  e.  A  /\  P  e.  A ) )
989, 26, 123jca 1134 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  T  e.  A )
)
9997, 98, 553jca 1134 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( K  e.  HL  /\  S  e.  A  /\  P  e.  A )  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  T  e.  A
)  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A ) ) )
100993ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  A  /\  P  e.  A )  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) ) )
10123, 14, 64noncolr1 29620 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( S  =/=  P  /\  -.  Q  .<_  ( S  .\/  P )  /\  -.  R  .<_  ( ( S  .\/  P )  .\/  Q ) ) )
10235, 26, 29, 58, 101syl121anc 1189 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( S  =/=  P  /\  -.  Q  .<_  ( S  .\/  P )  /\  -.  R  .<_  ( ( S  .\/  P )  .\/  Q ) ) )
1031023ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( S  =/= 
P  /\  -.  Q  .<_  ( S  .\/  P
)  /\  -.  R  .<_  ( ( S  .\/  P )  .\/  Q ) ) )
104 simp2 958 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  -.  S  .<_  ( ( U  .\/  V
)  .\/  W )
)
10566, 67jca 519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  (
( P  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  /\  ( R 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( S  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  P  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
106105, 63, 64jca32 522 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  (
( P  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  /\  ( R 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  P  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )
1071063adant2 976 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( S 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  P  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( Q  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) ) )
10823, 14, 64atlem12b 29776 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  A  /\  P  e.  A )  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  (
( S  =/=  P  /\  -.  Q  .<_  ( S 
.\/  P )  /\  -.  R  .<_  ( ( S  .\/  P ) 
.\/  Q ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( U  .\/  V
)  .\/  W )
)  /\  ( ( S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  P  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( S 
.\/  P )  .\/  ( Q  .\/  R ) )  =  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )
109100, 103, 104, 107, 108syl121anc 1189 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( S 
.\/  P )  .\/  ( Q  .\/  R ) )  =  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )
11096, 109eqtrd 2412 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )
1111103exp 1152 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( -.  S  .<_  ( ( U  .\/  V ) 
.\/  W )  -> 
( ( ( P 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) ) )
11293, 111jaod 370 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( -.  R  .<_  ( ( U  .\/  V
)  .\/  W )  \/  -.  S  .<_  ( ( U  .\/  V ) 
.\/  W ) )  ->  ( ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  .\/  ( R 
.\/  S ) )  =  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )
11326, 29, 133jca 1134 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  U  e.  A )
)
11417, 18jca 519 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( V  e.  A  /\  W  e.  A )
)
11523, 14, 64atlem3 29761 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  U  e.  A )  /\  ( V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( -.  P  .<_  ( ( U  .\/  V
)  .\/  W )  \/  -.  Q  .<_  ( ( U  .\/  V ) 
.\/  W ) )  \/  ( -.  R  .<_  ( ( U  .\/  V )  .\/  W )  \/  -.  S  .<_  ( ( U  .\/  V
)  .\/  W )
) ) )
11635, 113, 114, 58, 115syl31anc 1187 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( -.  P  .<_  ( ( U  .\/  V
)  .\/  W )  \/  -.  Q  .<_  ( ( U  .\/  V ) 
.\/  W ) )  \/  ( -.  R  .<_  ( ( U  .\/  V )  .\/  W )  \/  -.  S  .<_  ( ( U  .\/  V
)  .\/  W )
) ) )
11774, 112, 116mpjaod 371 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
11842, 117sylbird 227 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  ( R 
.\/  S ) ) 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2543   class class class wbr 4146   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   Basecbs 13389   lecple 13456   joincjn 14321   Latclat 14394   Atomscatm 29429   HLchlt 29516
This theorem is referenced by:  4at  29778
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-undef 6472  df-riota 6478  df-poset 14323  df-plt 14335  df-lub 14351  df-glb 14352  df-join 14353  df-meet 14354  df-p0 14388  df-lat 14395  df-clat 14457  df-oposet 29342  df-ol 29344  df-oml 29345  df-covers 29432  df-ats 29433  df-atl 29464  df-cvlat 29488  df-hlat 29517  df-llines 29663  df-lplanes 29664  df-lvols 29665
  Copyright terms: Public domain W3C validator