Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4ipval2 Structured version   Unicode version

Theorem 4ipval2 22194
 Description: Four times the inner product value ipval3 22195, useful for simplifying certain proofs. (Contributed by NM, 10-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dipfval.1
dipfval.2
dipfval.4
dipfval.6 CV
dipfval.7
Assertion
Ref Expression
4ipval2

Proof of Theorem 4ipval2
StepHypRef Expression
1 dipfval.1 . . . 4
2 dipfval.2 . . . 4
3 dipfval.4 . . . 4
4 dipfval.6 . . . 4 CV
5 dipfval.7 . . . 4
61, 2, 3, 4, 5ipval2 22193 . . 3
76oveq2d 6089 . 2
8 simp1 957 . . . . . . . 8
91, 2nvgcl 22089 . . . . . . . 8
101, 4nvcl 22138 . . . . . . . 8
118, 9, 10syl2anc 643 . . . . . . 7
1211recnd 9104 . . . . . 6
1312sqcld 11511 . . . . 5
14 neg1cn 10057 . . . . . . . . . . 11
151, 3nvscl 22097 . . . . . . . . . . 11
1614, 15mp3an2 1267 . . . . . . . . . 10
17163adant2 976 . . . . . . . . 9
181, 2nvgcl 22089 . . . . . . . . 9
1917, 18syld3an3 1229 . . . . . . . 8
201, 4nvcl 22138 . . . . . . . 8
218, 19, 20syl2anc 643 . . . . . . 7
2221recnd 9104 . . . . . 6
2322sqcld 11511 . . . . 5
2413, 23subcld 9401 . . . 4
25 ax-icn 9039 . . . . 5
261, 3nvscl 22097 . . . . . . . . . . . 12
2725, 26mp3an2 1267 . . . . . . . . . . 11
28273adant2 976 . . . . . . . . . 10
291, 2nvgcl 22089 . . . . . . . . . 10
3028, 29syld3an3 1229 . . . . . . . . 9
311, 4nvcl 22138 . . . . . . . . 9
328, 30, 31syl2anc 643 . . . . . . . 8
3332recnd 9104 . . . . . . 7
3433sqcld 11511 . . . . . 6
3525negcli 9358 . . . . . . . . . . . 12
361, 3nvscl 22097 . . . . . . . . . . . 12
3735, 36mp3an2 1267 . . . . . . . . . . 11
38373adant2 976 . . . . . . . . . 10
391, 2nvgcl 22089 . . . . . . . . . 10
4038, 39syld3an3 1229 . . . . . . . . 9
411, 4nvcl 22138 . . . . . . . . 9
428, 40, 41syl2anc 643 . . . . . . . 8
4342recnd 9104 . . . . . . 7
4443sqcld 11511 . . . . . 6
4534, 44subcld 9401 . . . . 5
46 mulcl 9064 . . . . 5
4725, 45, 46sylancr 645 . . . 4
4824, 47addcld 9097 . . 3
49 4cn 10064 . . . 4
50 4re 10063 . . . . 5
51 4pos 10076 . . . . 5
5250, 51gt0ne0ii 9553 . . . 4
53 divcan2 9676 . . . 4
5449, 52, 53mp3an23 1271 . . 3
5548, 54syl 16 . 2
567, 55eqtrd 2467 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  cfv 5446  (class class class)co 6073  cc 8978  cr 8979  cc0 8980  c1 8981  ci 8982   caddc 8983   cmul 8985   cmin 9281  cneg 9282   cdiv 9667  c2 10039  c4 10041  cexp 11372  cnv 22053  cpv 22054  cba 22055  cns 22056  CVcnmcv 22059  cdip 22186 This theorem is referenced by:  ip1ilem  22317  ipasslem10  22330 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7469  df-card 7816  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-rp 10603  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-seq 11314  df-exp 11373  df-hash 11609  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-abs 12031  df-clim 12272  df-sum 12470  df-grpo 21769  df-ablo 21860  df-vc 22015  df-nv 22061  df-va 22064  df-ba 22065  df-sm 22066  df-0v 22067  df-nmcv 22069  df-dip 22187
 Copyright terms: Public domain W3C validator