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Theorem 4rexfrabdioph 26982
Description: Diophantine set builder for existential quantifier, explicit substitution, four variables. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rexfrabdioph.1  |-  M  =  ( N  +  1 )
rexfrabdioph.2  |-  L  =  ( M  +  1 )
rexfrabdioph.3  |-  K  =  ( L  +  1 )
rexfrabdioph.4  |-  J  =  ( K  +  1 )
Assertion
Ref Expression
4rexfrabdioph  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... J ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph }  e.  (Dioph `  J ) )  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. v  e.  NN0  E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  ph }  e.  (Dioph `  N ) )
Distinct variable groups:    u, t,
v, w, x, y, J    t, K, u, v, w, x, y   
t, L, u, v, w, x, y    t, M, u, v, w, x, y    t, N, u, v, w, x, y    ph, t
Allowed substitution hints:    ph( x, y, w, v, u)

Proof of Theorem 4rexfrabdioph
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2804 . . . . . . . 8  |-  a  e. 
_V
21resex 5011 . . . . . . 7  |-  ( a  |`  ( 1 ... N
) )  e.  _V
3 fvex 5555 . . . . . . . . 9  |-  ( a `
 M )  e. 
_V
4 fvex 5555 . . . . . . . . 9  |-  ( a `
 L )  e. 
_V
53, 42sbcrex 26967 . . . . . . . 8  |-  ( [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  ph  <->  E. x  e.  NN0  [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. E. y  e.  NN0  ph )
63, 42sbcrex 26967 . . . . . . . . 9  |-  ( [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. E. y  e.  NN0  ph  <->  E. y  e.  NN0  [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. ph )
76rexbii 2581 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  NN0  [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. E. y  e.  NN0  ph  <->  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. ph )
85, 7bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  ph  <->  E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph )
92, 8sbcbiiiOLD 26970 . . . . . 6  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  ph  <->  [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. ph )
10 sbcrexg 3079 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  |`  ( 1 ... N ) )  e.  _V  ->  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph  <->  E. x  e.  NN0  [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. E. y  e.  NN0  [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. ph )
)
112, 10ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph  <->  E. x  e.  NN0  [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. E. y  e.  NN0  [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. ph )
12 sbcrexg 3079 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  |`  ( 1 ... N ) )  e.  _V  ->  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. E. y  e.  NN0  [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. ph  <->  E. y  e.  NN0  [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph ) )
132, 12ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. E. y  e.  NN0  [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. ph  <->  E. y  e.  NN0  [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph )
1413rexbii 2581 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  NN0  [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. E. y  e. 
NN0  [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph  <->  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. ph )
1511, 14bitri 240 . . . . . 6  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph  <->  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. ph )
169, 15bitri 240 . . . . 5  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  ph  <->  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. ph )
1716a1i 10 . . . 4  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... L
) )  ->  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  ph  <->  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. ph ) )
1817rabbiia 2791 . . 3  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... L
) )  |  [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  ph }  =  {
a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... L ) )  |  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. ph }
19 rexfrabdioph.2 . . . . . . 7  |-  L  =  ( M  +  1 )
20 rexfrabdioph.1 . . . . . . . . 9  |-  M  =  ( N  +  1 )
21 nn0p1nn 10019 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
2220, 21syl5eqel 2380 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  M  e.  NN )
2322peano2nnd 9779 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( M  +  1 )  e.  NN )
2419, 23syl5eqel 2380 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  L  e.  NN )
2524nnnn0d 10034 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  L  e. 
NN0 )
2625adantr 451 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... J ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph }  e.  (Dioph `  J ) )  ->  L  e.  NN0 )
27 vex 2804 . . . . . . . . . 10  |-  t  e. 
_V
2827resex 5011 . . . . . . . . 9  |-  ( t  |`  ( 1 ... L
) )  e.  _V
29 fvex 5555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t `
 K )  e. 
_V
30 fvex 5555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t `
 J )  e. 
_V
312, 29, 30sbcrot3OLD 26975 . . . . . . . . . 10  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. ph  <->  [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph )
3230, 3, 4sbcrot3OLD 26975 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. ph  <->  [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. ph )
3329, 32sbcbiiiOLD 26970 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. ph  <->  [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. ph )
3429, 3, 4sbcrot3OLD 26975 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. ph  <->  [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. ph )
3533, 34bitri 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. ph  <->  [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. ph )
362, 35sbcbiiiOLD 26970 . . . . . . . . . 10  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. ph  <->  [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph )
3731, 36bitr3i 242 . . . . . . . . 9  |-  ( [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. ph  <->  [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph )
3828, 37sbcbiiiOLD 26970 . . . . . . . 8  |-  ( [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph )
3928resex 5011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  |`  ( 1 ... L ) )  |`  ( 1 ... N
) )  e.  _V
40 reseq1 4965 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( t  |`  ( 1 ... L
) )  ->  (
a  |`  ( 1 ... N ) )  =  ( ( t  |`  ( 1 ... L
) )  |`  (
1 ... N ) ) )
4140sbccomiegOLD 26977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( t  |`  (
1 ... L ) )  e.  _V  /\  (
( t  |`  (
1 ... L ) )  |`  ( 1 ... N
) )  e.  _V )  ->  ( [. (
t  |`  ( 1 ... L ) )  / 
a ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph  <->  [. ( ( t  |`  ( 1 ... L
) )  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
t  |`  ( 1 ... L ) )  / 
a ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. ph ) )
4228, 39, 41mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  ( [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. ph  <->  [. ( ( t  |`  ( 1 ... L ) )  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph )
43 fzssp1 10850 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... N )  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) )
4420oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... M )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) )
4543, 44sseqtr4i 3224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... N )  C_  ( 1 ... M
)
46 fzssp1 10850 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... M )  C_  ( 1 ... ( M  +  1 ) )
4719oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... L )  =  ( 1 ... ( M  +  1 ) )
4846, 47sseqtr4i 3224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... M )  C_  ( 1 ... L
)
4945, 48sstri 3201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... N )  C_  ( 1 ... L
)
50 resabs1 5000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... N ) 
C_  ( 1 ... L )  ->  (
( t  |`  (
1 ... L ) )  |`  ( 1 ... N
) )  =  ( t  |`  ( 1 ... N ) ) )
51 dfsbcq 3006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( t  |`  (
1 ... L ) )  |`  ( 1 ... N
) )  =  ( t  |`  ( 1 ... N ) )  ->  ( [. (
( t  |`  (
1 ... L ) )  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph ) )
5249, 50, 51mp2b 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( [. ( ( t  |`  ( 1 ... L
) )  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
t  |`  ( 1 ... L ) )  / 
a ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph )
53 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t  |`  ( 1 ... L ) ) `
 M )  e. 
_V
54 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( t  |`  ( 1 ... L
) )  ->  (
a `  M )  =  ( ( t  |`  ( 1 ... L
) ) `  M
) )
5554sbccomiegOLD 26977 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( t  |`  (
1 ... L ) )  e.  _V  /\  (
( t  |`  (
1 ... L ) ) `
 M )  e. 
_V )  ->  ( [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. ph  <->  [. ( ( t  |`  ( 1 ... L ) ) `
 M )  / 
v ]. [. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( a `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph ) )
5628, 53, 55mp2an 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. ph  <->  [. ( ( t  |`  ( 1 ... L ) ) `
 M )  / 
v ]. [. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( a `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph )
57 elfz1end 10836 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN  <->  M  e.  ( 1 ... M
) )
5822, 57sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN0  ->  M  e.  ( 1 ... M
) )
5948, 58sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  M  e.  ( 1 ... L
) )
60 fvres 5558 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ( 1 ... L )  ->  (
( t  |`  (
1 ... L ) ) `
 M )  =  ( t `  M
) )
61 dfsbcq 3006 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( t  |`  (
1 ... L ) ) `
 M )  =  ( t `  M
)  ->  ( [. ( ( t  |`  ( 1 ... L
) ) `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. ph  <->  [. ( t `
 M )  / 
v ]. [. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( a `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph ) )
6259, 60, 613syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( ( t  |`  ( 1 ... L
) ) `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. ph  <->  [. ( t `
 M )  / 
v ]. [. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( a `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph ) )
634ax-gen 1536 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  A. a
( a `  L
)  e.  _V
64 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  ( t  |`  ( 1 ... L
) )  ->  (
a `  L )  =  ( ( t  |`  ( 1 ... L
) ) `  L
) )
6564sbcco3gOLD 3150 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( t  |`  (
1 ... L ) )  e.  _V  /\  A. a ( a `  L )  e.  _V )  ->  ( [. (
t  |`  ( 1 ... L ) )  / 
a ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. ph  <->  [. ( ( t  |`  ( 1 ... L ) ) `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. ph ) )
6628, 63, 65mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. ph  <->  [. ( ( t  |`  ( 1 ... L ) ) `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. ph )
67 elfz1end 10836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( L  e.  NN  <->  L  e.  ( 1 ... L
) )
6824, 67sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN0  ->  L  e.  ( 1 ... L
) )
69 fvres 5558 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( L  e.  ( 1 ... L )  ->  (
( t  |`  (
1 ... L ) ) `
 L )  =  ( t `  L
) )
70 dfsbcq 3006 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( t  |`  (
1 ... L ) ) `
 L )  =  ( t `  L
)  ->  ( [. ( ( t  |`  ( 1 ... L
) ) `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. ph  <->  [. ( t `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. ph ) )
7168, 69, 703syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( ( t  |`  ( 1 ... L
) ) `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. ph  <->  [. ( t `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. ph ) )
7266, 71syl5bb 248 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. ph  <->  [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. ph ) )
7372sbcbidv 3058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( t `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. ph  <->  [. ( t `
 M )  / 
v ]. [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. ph ) )
7462, 73bitrd 244 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( ( t  |`  ( 1 ... L
) ) `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. ph  <->  [. ( t `
 M )  / 
v ]. [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. ph ) )
7556, 74syl5bb 248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. ph  <->  [. ( t `
 M )  / 
v ]. [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. ph ) )
7675sbcbidv 3058 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
t  |`  ( 1 ... L ) )  / 
a ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph ) )
7752, 76syl5bb 248 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( ( t  |`  ( 1 ... L
) )  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
t  |`  ( 1 ... L ) )  / 
a ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph ) )
7842, 77syl5bb 248 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph ) )
7938, 78syl5bb 248 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph ) )
8079rabbidv 2793 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... J
) )  |  [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. ph }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... J ) )  |  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph } )
8180eleq1d 2362 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... J ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph }  e.  (Dioph `  J )  <->  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... J ) )  |  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph }  e.  (Dioph `  J ) ) )
8281biimpar 471 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... J ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph }  e.  (Dioph `  J ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... J ) )  |  [. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph }  e.  (Dioph `  J ) )
83 rexfrabdioph.3 . . . . 5  |-  K  =  ( L  +  1 )
84 rexfrabdioph.4 . . . . 5  |-  J  =  ( K  +  1 )
8583, 842rexfrabdioph 26980 . . . 4  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... J ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph }  e.  (Dioph `  J ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... L ) )  |  E. x  e. 
NN0  E. y  e.  NN0  [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. ph }  e.  (Dioph `  L )
)
8626, 82, 85syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... J ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph }  e.  (Dioph `  J ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... L ) )  |  E. x  e. 
NN0  E. y  e.  NN0  [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. ph }  e.  (Dioph `  L )
)
8718, 86syl5eqel 2380 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... J ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph }  e.  (Dioph `  J ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... L ) )  |  [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  ph }  e.  (Dioph `  L )
)
8820, 192rexfrabdioph 26980 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... L ) )  | 
[. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  ph }  e.  (Dioph `  L )
)  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. v  e. 
NN0  E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  ph }  e.  (Dioph `  N ) )
8987, 88syldan 456 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... J ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph }  e.  (Dioph `  J ) )  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. v  e.  NN0  E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  ph }  e.  (Dioph `  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1530    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557   {crab 2560   _Vcvv 2801   [.wsbc 3004    C_ wss 3165    |` cres 4707   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   1c1 8754    + caddc 8756   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ...cfz 10798  Diophcdioph 26937
This theorem is referenced by:  6rexfrabdioph  26983
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-hash 11354  df-mzpcl 26904  df-mzp 26905  df-dioph 26938
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