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Theorem 4sqlem16 13320
Description: Lemma for 4sq 13324. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sq.1  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
4sq.2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4sq.3  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
4sq.4  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
4sq.5  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
2  x.  N ) )  C_  S )
4sq.6  |-  T  =  { i  e.  NN  |  ( i  x.  P )  e.  S }
4sq.7  |-  M  =  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )
4sq.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
4sq.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
4sq.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
4sq.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
4sq.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
4sq.e  |-  E  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.f  |-  F  =  ( ( ( B  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.g  |-  G  =  ( ( ( C  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.h  |-  H  =  ( ( ( D  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.r  |-  R  =  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
)
4sq.p  |-  ( ph  ->  ( M  x.  P
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
4sqlem16  |-  ( ph  ->  ( R  <_  M  /\  ( ( R  =  0  \/  R  =  M )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( M  x.  P
) ) ) )
Distinct variable groups:    w, n, x, y, z    B, n   
n, E    n, G    n, H    A, n    C, n    D, n    n, F    i, n, M    n, N    P, i, n    ph, n    S, i, n    R, i
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w, i)    A( x, y, z, w, i)    B( x, y, z, w, i)    C( x, y, z, w, i)    D( x, y, z, w, i)    P( x, y, z, w)    R( x, y, z, w, n)    S( x, y, z, w)    T( x, y, z, w, i, n)    E( x, y, z, w, i)    F( x, y, z, w, i)    G( x, y, z, w, i)    H( x, y, z, w, i)    M( x, y, z, w)    N( x, y, z, w, i)

Proof of Theorem 4sqlem16
StepHypRef Expression
1 4sq.r . . 3  |-  R  =  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
)
2 4sq.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
3 4sq.m . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
4 eluz2b2 10540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( M  e.  NN  /\  1  < 
M ) )
54simplbi 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  M  e.  NN )
63, 5syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
7 4sq.e . . . . . . . . . . . 12  |-  E  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
82, 6, 74sqlem5 13302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E  e.  ZZ  /\  ( ( A  -  E )  /  M
)  e.  ZZ ) )
98simpld 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E  e.  ZZ )
10 zsqcl 11444 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  e.  ZZ  ->  ( E ^ 2 )  e.  ZZ )
119, 10syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  ZZ )
1211zred 10367 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  RR )
13 4sq.b . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
14 4sq.f . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ( ( ( B  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
1513, 6, 144sqlem5 13302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ZZ  /\  ( ( B  -  F )  /  M
)  e.  ZZ ) )
1615simpld 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ZZ )
17 zsqcl 11444 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ZZ  ->  ( F ^ 2 )  e.  ZZ )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  ZZ )
1918zred 10367 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  RR )
2012, 19readdcld 9107 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  RR )
21 4sq.c . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
22 4sq.g . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  ( ( ( C  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
2321, 6, 224sqlem5 13302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ZZ  /\  ( ( C  -  G )  /  M
)  e.  ZZ ) )
2423simpld 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  ZZ )
25 zsqcl 11444 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  ZZ  ->  ( G ^ 2 )  e.  ZZ )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G ^ 2 )  e.  ZZ )
2726zred 10367 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G ^ 2 )  e.  RR )
28 4sq.d . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
29 4sq.h . . . . . . . . . . . 12  |-  H  =  ( ( ( D  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
3028, 6, 294sqlem5 13302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( H  e.  ZZ  /\  ( ( D  -  H )  /  M
)  e.  ZZ ) )
3130simpld 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  H  e.  ZZ )
32 zsqcl 11444 . . . . . . . . . 10  |-  ( H  e.  ZZ  ->  ( H ^ 2 )  e.  ZZ )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( H ^ 2 )  e.  ZZ )
3433zred 10367 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( H ^ 2 )  e.  RR )
3527, 34readdcld 9107 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) )  e.  RR )
366nnred 10007 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
3736resqcld 11541 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  e.  RR )
3837rehalfcld 10206 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  /  2
)  e.  RR )
3938rehalfcld 10206 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  e.  RR )
402, 6, 74sqlem7 13304 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) )
4113, 6, 144sqlem7 13304 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) )
4212, 19, 39, 39, 40, 41le2addd 9636 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  <_  ( (
( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  +  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 ) ) )
4338recnd 9106 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  /  2
)  e.  CC )
44432halvesd 10205 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  +  ( ( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 ) )  =  ( ( M ^ 2 )  /  2 ) )
4542, 44breqtrd 4228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  <_  ( ( M ^ 2 )  / 
2 ) )
4621, 6, 224sqlem7 13304 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G ^ 2 )  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) )
4728, 6, 294sqlem7 13304 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( H ^ 2 )  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) )
4827, 34, 39, 39, 46, 47le2addd 9636 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) )  <_  ( (
( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  +  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 ) ) )
4948, 44breqtrd 4228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) )  <_  ( ( M ^ 2 )  / 
2 ) )
5020, 35, 38, 38, 45, 49le2addd 9636 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  +  ( ( M ^ 2 )  / 
2 ) ) )
5137recnd 9106 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  e.  CC )
52512halvesd 10205 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  +  ( ( M ^ 2 )  /  2 ) )  =  ( M ^ 2 ) )
5350, 52breqtrd 4228 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  <_  ( M ^ 2 ) )
5436recnd 9106 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
5554sqvald 11512 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  =  ( M  x.  M ) )
5653, 55breqtrd 4228 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  <_  ( M  x.  M ) )
5720, 35readdcld 9107 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  e.  RR )
586nngt0d 10035 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <  M )
59 ledivmul 9875 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  ( M  e.  RR  /\  0  <  M ) )  -> 
( ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M )  <_  M  <->  ( ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) )  <_  ( M  x.  M ) ) )
6057, 36, 36, 58, 59syl112anc 1188 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M )  <_  M  <->  ( ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) )  <_  ( M  x.  M ) ) )
6156, 60mpbird 224 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
)  <_  M )
621, 61syl5eqbr 4237 . 2  |-  ( ph  ->  R  <_  M )
63 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  R  = 
0 )  ->  R  =  0 )
641, 63syl5eqr 2481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  R  = 
0 )  ->  (
( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M )  =  0 )
6557recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  e.  CC )
666nnne0d 10036 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
6765, 54, 66diveq0ad 9792 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M )  =  0  <-> 
( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  =  0 ) )
68 zsqcl2 11451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E  e.  ZZ  ->  ( E ^ 2 )  e. 
NN0 )
699, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  NN0 )
70 zsqcl2 11451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e.  ZZ  ->  ( F ^ 2 )  e. 
NN0 )
7116, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  NN0 )
7269, 71nn0addcld 10270 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  NN0 )
7372nn0ge0d 10269 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )
74 zsqcl2 11451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G  e.  ZZ  ->  ( G ^ 2 )  e. 
NN0 )
7524, 74syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( G ^ 2 )  e.  NN0 )
76 zsqcl2 11451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( H  e.  ZZ  ->  ( H ^ 2 )  e. 
NN0 )
7731, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( H ^ 2 )  e.  NN0 )
7875, 77nn0addcld 10270 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) )  e.  NN0 )
7978nn0ge0d 10269 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )
80 add20 9532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  /\  ( ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )  ->  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  =  0  <->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  =  0  /\  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) )  =  0 ) ) )
8120, 73, 35, 79, 80syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  =  0  <-> 
( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  0  /\  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) )  =  0 ) ) )
8267, 81bitrd 245 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M )  =  0  <-> 
( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  0  /\  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) )  =  0 ) ) )
8382biimpa 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) )  /  M )  =  0 )  ->  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  0  /\  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) )  =  0 ) )
8464, 83syldan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  R  = 
0 )  ->  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  0  /\  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) )  =  0 ) )
8584simpld 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  R  = 
0 )  ->  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  0 )
8669nn0ge0d 10269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  ( E ^ 2 ) )
8771nn0ge0d 10269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  ( F ^ 2 ) )
88 add20 9532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( E ^
2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( E ^ 2 ) )  /\  ( ( F ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F ^ 2 ) ) )  -> 
( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  0  <-> 
( ( E ^
2 )  =  0  /\  ( F ^
2 )  =  0 ) ) )
8912, 86, 19, 87, 88syl22anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  0  <-> 
( ( E ^
2 )  =  0  /\  ( F ^
2 )  =  0 ) ) )
9089biimpa 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  0 )  ->  ( ( E ^ 2 )  =  0  /\  ( F ^ 2 )  =  0 ) )
9185, 90syldan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  R  = 
0 )  ->  (
( E ^ 2 )  =  0  /\  ( F ^ 2 )  =  0 ) )
9291simpld 446 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  R  = 
0 )  ->  ( E ^ 2 )  =  0 )
932, 6, 7, 924sqlem9 13306 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  R  = 
0 )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( A ^ 2 ) )
9491simprd 450 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  R  = 
0 )  ->  ( F ^ 2 )  =  0 )
9513, 6, 14, 944sqlem9 13306 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  R  = 
0 )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( B ^ 2 ) )
966nnsqcld 11535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  e.  NN )
9796nnzd 10366 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  e.  ZZ )
98 zsqcl 11444 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
992, 98syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
100 zsqcl 11444 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( B ^ 2 )  e.  ZZ )
10113, 100syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  e.  ZZ )
102 dvds2add 12873 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( A ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( B ^ 2 )  e.  ZZ )  ->  (
( ( M ^
2 )  ||  ( A ^ 2 )  /\  ( M ^ 2 ) 
||  ( B ^
2 ) )  -> 
( M ^ 2 )  ||  ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) ) ) )
10397, 99, 101, 102syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  ||  ( A ^ 2 )  /\  ( M ^
2 )  ||  ( B ^ 2 ) )  ->  ( M ^
2 )  ||  (
( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) ) ) )
104103adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  R  = 
0 )  ->  (
( ( M ^
2 )  ||  ( A ^ 2 )  /\  ( M ^ 2 ) 
||  ( B ^
2 ) )  -> 
( M ^ 2 )  ||  ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) ) ) )
10593, 95, 104mp2and 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  R  = 
0 )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) ) )
10684simprd 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  R  = 
0 )  ->  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) )  =  0 )
10775nn0ge0d 10269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  ( G ^ 2 ) )
10877nn0ge0d 10269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  ( H ^ 2 ) )
109 add20 9532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G ^
2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( G ^ 2 ) )  /\  ( ( H ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_ 
( H ^ 2 ) ) )  -> 
( ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) )  =  0  <-> 
( ( G ^
2 )  =  0  /\  ( H ^
2 )  =  0 ) ) )
11027, 107, 34, 108, 109syl22anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) )  =  0  <-> 
( ( G ^
2 )  =  0  /\  ( H ^
2 )  =  0 ) ) )
111110biimpa 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) )  =  0 )  ->  ( ( G ^ 2 )  =  0  /\  ( H ^ 2 )  =  0 ) )
112106, 111syldan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  R  = 
0 )  ->  (
( G ^ 2 )  =  0  /\  ( H ^ 2 )  =  0 ) )
113112simpld 446 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  R  = 
0 )  ->  ( G ^ 2 )  =  0 )
11421, 6, 22, 1134sqlem9 13306 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  R  = 
0 )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( C ^ 2 ) )
115112simprd 450 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  R  = 
0 )  ->  ( H ^ 2 )  =  0 )
11628, 6, 29, 1154sqlem9 13306 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  R  = 
0 )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( D ^ 2 ) )
117 zsqcl 11444 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ZZ  ->  ( C ^ 2 )  e.  ZZ )
11821, 117syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  ZZ )
119 zsqcl 11444 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ZZ  ->  ( D ^ 2 )  e.  ZZ )
12028, 119syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( D ^ 2 )  e.  ZZ )
121 dvds2add 12873 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( C ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( D ^ 2 )  e.  ZZ )  ->  (
( ( M ^
2 )  ||  ( C ^ 2 )  /\  ( M ^ 2 ) 
||  ( D ^
2 ) )  -> 
( M ^ 2 )  ||  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) ) ) )
12297, 118, 120, 121syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  ||  ( C ^ 2 )  /\  ( M ^
2 )  ||  ( D ^ 2 ) )  ->  ( M ^
2 )  ||  (
( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) )
123122adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  R  = 
0 )  ->  (
( ( M ^
2 )  ||  ( C ^ 2 )  /\  ( M ^ 2 ) 
||  ( D ^
2 ) )  -> 
( M ^ 2 )  ||  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) ) ) )
124114, 116, 123mp2and 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  R  = 
0 )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )
12599, 101zaddcld 10371 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  e.  ZZ )
126118, 120zaddcld 10371 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) )  e.  ZZ )
127 dvds2add 12873 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  e.  ZZ  /\  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( M ^ 2 ) 
||  ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  /\  ( M ^ 2 )  ||  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) ) )
12897, 125, 126, 127syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  ||  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  /\  ( M ^ 2 )  ||  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) ) )
129128adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  R  = 
0 )  ->  (
( ( M ^
2 )  ||  (
( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  /\  ( M ^
2 )  ||  (
( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) ) )
130105, 124, 129mp2and 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  R  = 
0 )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) )
131 4sq.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
132 4sq.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
133 4sq.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
134 4sq.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
135 4sq.5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
2  x.  N ) )  C_  S )
136 4sq.6 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  T  =  { i  e.  NN  |  ( i  x.  P )  e.  S }
137 4sq.7 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  M  =  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )
138 4sq.p . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  x.  P
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) )
139131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 3, 2, 13, 21, 28, 7, 14, 22, 29, 1, 1384sqlem15 13319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( E ^ 2 ) )  =  0  /\  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( F ^ 2 ) )  =  0 )  /\  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( G ^ 2 ) )  =  0  /\  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( H ^ 2 ) )  =  0 ) ) )
140139simpld 446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( E ^ 2 ) )  =  0  /\  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( F ^ 2 ) )  =  0 ) )
141140simpld 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( E ^ 2 ) )  =  0 )
1422, 6, 7, 1414sqlem10 13307 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( A ^
2 )  -  (
( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 ) ) )
143140simprd 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( F ^ 2 ) )  =  0 )
14413, 6, 14, 1434sqlem10 13307 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( B ^
2 )  -  (
( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 ) ) )
14597adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  ( M ^ 2 )  e.  ZZ )
14699adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
14739recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  e.  CC )
14811zcnd 10368 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  CC )
149147, 148subeq0ad 9413 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( E ^ 2 ) )  =  0  <->  (
( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  =  ( E ^
2 ) ) )
150149adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( E ^ 2 ) )  =  0  <->  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  =  ( E ^ 2 ) ) )
151141, 150mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  =  ( E ^
2 ) )
15211adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  ( E ^ 2 )  e.  ZZ )
153151, 152eqeltrd 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  e.  ZZ )
154146, 153zsubcld 10372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( A ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
155101adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  ( B ^ 2 )  e.  ZZ )
156155, 153zsubcld 10372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( B ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
157 dvds2add 12873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( ( A ^
2 )  -  (
( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 ) )  e.  ZZ  /\  ( ( B ^
2 )  -  (
( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( M ^ 2 ) 
||  ( ( A ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
) )  /\  ( M ^ 2 )  ||  ( ( B ^
2 )  -  (
( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 ) ) )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) ) ) ) )
158145, 154, 156, 157syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( M ^
2 )  ||  (
( A ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) )  /\  ( M ^
2 )  ||  (
( B ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) ) )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) ) ) ) )
159142, 144, 158mp2and 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) ) ) )
16099zcnd 10368 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
161101zcnd 10368 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
162160, 161, 147, 147addsub4d 9450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  +  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
) ) ) )
16344oveq2d 6089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  +  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( ( M ^ 2 )  / 
2 ) ) )
164162, 163eqtr3d 2469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( ( M ^ 2 )  / 
2 ) ) )
165164adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( A ^
2 )  -  (
( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 ) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) )  -  ( ( M ^
2 )  /  2
) ) )
166159, 165breqtrd 4228 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  (
( M ^ 2 )  /  2 ) ) )
167139simprd 450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( G ^ 2 ) )  =  0  /\  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( H ^ 2 ) )  =  0 ) )
168167simpld 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( G ^ 2 ) )  =  0 )
16921, 6, 22, 1684sqlem10 13307 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( C ^
2 )  -  (
( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 ) ) )
170167simprd 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( H ^ 2 ) )  =  0 )
17128, 6, 29, 1704sqlem10 13307 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( D ^
2 )  -  (
( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 ) ) )
172118adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  ( C ^ 2 )  e.  ZZ )
173172, 153zsubcld 10372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( C ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
174120adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  ( D ^ 2 )  e.  ZZ )
175174, 153zsubcld 10372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( D ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
176 dvds2add 12873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( ( C ^
2 )  -  (
( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 ) )  e.  ZZ  /\  ( ( D ^
2 )  -  (
( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( M ^ 2 ) 
||  ( ( C ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
) )  /\  ( M ^ 2 )  ||  ( ( D ^
2 )  -  (
( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 ) ) )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( ( C ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
) )  +  ( ( D ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) ) ) ) )
177145, 173, 175, 176syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( M ^
2 )  ||  (
( C ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) )  /\  ( M ^
2 )  ||  (
( D ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) ) )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( ( C ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
) )  +  ( ( D ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) ) ) ) )
178169, 171, 177mp2and 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( ( C ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
) )  +  ( ( D ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) ) ) )
179118zcnd 10368 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  CC )
180120zcnd 10368 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( D ^ 2 )  e.  CC )
181179, 180, 147, 147addsub4d 9450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  +  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) ) )  =  ( ( ( C ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) )  +  ( ( D ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
) ) ) )
18244oveq2d 6089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  +  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) ) )  =  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  ( ( M ^ 2 )  / 
2 ) ) )
183181, 182eqtr3d 2469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
) )  +  ( ( D ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) ) )  =  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  ( ( M ^ 2 )  / 
2 ) ) )
184183adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( C ^
2 )  -  (
( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 ) )  +  ( ( D ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 ) ) )  =  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) )  -  ( ( M ^
2 )  /  2
) ) )
185178, 184breqtrd 4228 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  (
( M ^ 2 )  /  2 ) ) )
186125adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  e.  ZZ )
18744adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  +  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) )  =  ( ( M ^ 2 )  / 
2 ) )
188153, 153zaddcld 10371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  +  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
189187, 188eqeltrrd 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( M ^ 2 )  /  2 )  e.  ZZ )
190186, 189zsubcld 10372 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( ( M ^ 2 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
191126adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) )  e.  ZZ )
192191, 189zsubcld 10372 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  ( ( M ^ 2 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
193 dvds2add 12873 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  (
( M ^ 2 )  /  2 ) )  e.  ZZ  /\  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  (
( M ^ 2 )  /  2 ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( M ^ 2 ) 
||  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) )  -  ( ( M ^
2 )  /  2
) )  /\  ( M ^ 2 )  ||  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  (
( M ^ 2 )  /  2 ) ) )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) )  -  ( ( M ^
2 )  /  2
) )  +  ( ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  ( ( M ^ 2 )  /  2 ) ) ) ) )
194145, 190, 192, 193syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( M ^
2 )  ||  (
( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( ( M ^ 2 )  /  2 ) )  /\  ( M ^
2 )  ||  (
( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  ( ( M ^ 2 )  /  2 ) ) )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) )  -  ( ( M ^
2 )  /  2
) )  +  ( ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  ( ( M ^ 2 )  /  2 ) ) ) ) )
195166, 185, 194mp2and 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) )  -  ( ( M ^
2 )  /  2
) )  +  ( ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  ( ( M ^ 2 )  /  2 ) ) ) )
196125zcnd 10368 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )
197126zcnd 10368 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) )  e.  CC )
198196, 197, 43, 43addsub4d 9450 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) )  +  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  -  (
( ( M ^
2 )  /  2
)  +  ( ( M ^ 2 )  /  2 ) ) )  =  ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( ( M ^ 2 )  /  2 ) )  +  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) )  -  ( ( M ^
2 )  /  2
) ) ) )
19952oveq2d 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) )  +  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  -  (
( ( M ^
2 )  /  2
)  +  ( ( M ^ 2 )  /  2 ) ) )  =  ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) ) )  -  ( M ^
2 ) ) )
200198, 199eqtr3d 2469 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) )  -  ( ( M ^
2 )  /  2
) )  +  ( ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  ( ( M ^ 2 )  /  2 ) ) )  =  ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) ) )  -  ( M ^
2 ) ) )
201200adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  (
( M ^ 2 )  /  2 ) )  +  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  ( ( M ^ 2 )  / 
2 ) ) )  =  ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  -  ( M ^ 2 ) ) )
202195, 201breqtrd 4228 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) )  +  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  -  ( M ^ 2 ) ) )
203125, 126zaddcld 10371 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  e.  ZZ )
204203adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) ) )  e.  ZZ )
205 dvdssubr 12883 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( M ^ 2 )  ||  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  <->  ( M ^
2 )  ||  (
( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  -  ( M ^ 2 ) ) ) )
206145, 204, 205syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( M ^ 2 )  ||  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  <->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) )  +  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  -  ( M ^ 2 ) ) ) )
207202, 206mpbird 224 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) )
208130, 207jaodan 761 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( R  =  0  \/  R  =  M ) )  -> 
( M ^ 2 )  ||  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) )
209138adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( R  =  0  \/  R  =  M ) )  -> 
( M  x.  P
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) )
210208, 209breqtrrd 4230 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( R  =  0  \/  R  =  M ) )  -> 
( M ^ 2 )  ||  ( M  x.  P ) )
211210ex 424 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( R  =  0  \/  R  =  M )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( M  x.  P
) ) )
21262, 211jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( R  <_  M  /\  ( ( R  =  0  \/  R  =  M )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( M  x.  P
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421   E.wrex 2698   {crab 2701    C_ wss 3312   class class class wbr 4204   `'ccnv 4869   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   supcsup 7437   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283    / cdiv 9669   NNcn 9992   2c2 10041   NN0cn0 10213   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480   ...cfz 11035    mod cmo 11242   ^cexp 11374    || cdivides 12844   Primecprime 13071
This theorem is referenced by:  4sqlem17  13321
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-dvds 12845  df-gcd 12999
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