Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem19 Structured version   Unicode version

Theorem 4sqlem19 13331
 Description: Lemma for 4sq 13332. The proof is by strong induction - we show that if all the integers less than are in , then is as well. In this part of the proof we do the induction argument and dispense with all the cases except the odd prime case, which is sent to 4sqlem18 13330. If is , we show directly; otherwise if is composite, is the product of two numbers less than it (and hence in by assumption), so by mul4sq 13322 . (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
4sq.1
Assertion
Ref Expression
4sqlem19
Distinct variable groups:   ,,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,,,)

Proof of Theorem 4sqlem19
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 10223 . . . 4
2 eleq1 2496 . . . . . 6
3 eleq1 2496 . . . . . 6
4 eleq1 2496 . . . . . 6
5 eleq1 2496 . . . . . 6
6 eleq1 2496 . . . . . 6
7 abs1 12102 . . . . . . . . . . 11
87oveq1i 6091 . . . . . . . . . 10
9 sq1 11476 . . . . . . . . . 10
108, 9eqtri 2456 . . . . . . . . 9
11 abs0 12090 . . . . . . . . . . 11
1211oveq1i 6091 . . . . . . . . . 10
13 sq0 11473 . . . . . . . . . 10
1412, 13eqtri 2456 . . . . . . . . 9
1510, 14oveq12i 6093 . . . . . . . 8
16 ax-1cn 9048 . . . . . . . . 9
1716addid1i 9253 . . . . . . . 8
1815, 17eqtri 2456 . . . . . . 7
19 1z 10311 . . . . . . . . 9
20 zgz 13301 . . . . . . . . 9
2119, 20ax-mp 8 . . . . . . . 8
22 0z 10293 . . . . . . . . 9
23 zgz 13301 . . . . . . . . 9
2422, 23ax-mp 8 . . . . . . . 8
25 4sq.1 . . . . . . . . 9
26254sqlem4a 13319 . . . . . . . 8
2721, 24, 26mp2an 654 . . . . . . 7
2818, 27eqeltrri 2507 . . . . . 6
29 eleq1 2496 . . . . . . 7
30 eldifsn 3927 . . . . . . . . 9
31 oddprm 13189 . . . . . . . . . . 11
3231adantr 452 . . . . . . . . . 10
33 eldifi 3469 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3433adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
35 prmnn 13082 . . . . . . . . . . . . . . 15
36 nncn 10008 . . . . . . . . . . . . . . 15
3734, 35, 363syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14
38 subcl 9305 . . . . . . . . . . . . . 14
3937, 16, 38sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13
40 2cn 10070 . . . . . . . . . . . . . 14
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
42 2ne0 10083 . . . . . . . . . . . . . 14
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
4439, 41, 43divcan2d 9792 . . . . . . . . . . . 12
4544oveq1d 6096 . . . . . . . . . . 11
46 npcan 9314 . . . . . . . . . . . 12
4737, 16, 46sylancl 644 . . . . . . . . . . 11
4845, 47eqtr2d 2469 . . . . . . . . . 10
4944oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . 12
50 nnm1nn0 10261 . . . . . . . . . . . . . . 15
5134, 35, 503syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14
52 elnn0uz 10523 . . . . . . . . . . . . . 14
5351, 52sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13
54 eluzfz1 11064 . . . . . . . . . . . . 13
55 fzsplit 11077 . . . . . . . . . . . . 13
5653, 54, 553syl 19 . . . . . . . . . . . 12
5749, 56eqtrd 2468 . . . . . . . . . . 11
58 fzsn 11094 . . . . . . . . . . . . . . 15
5922, 58ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14
6014, 14oveq12i 6093 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
61 00id 9241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6260, 61eqtri 2456 . . . . . . . . . . . . . . . 16
63254sqlem4a 13319 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6424, 24, 63mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6562, 64eqeltrri 2507 . . . . . . . . . . . . . . 15
66 snssi 3942 . . . . . . . . . . . . . . 15
6765, 66ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14
6859, 67eqsstri 3378 . . . . . . . . . . . . 13
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
70 0p1e1 10093 . . . . . . . . . . . . . 14
7170oveq1i 6091 . . . . . . . . . . . . 13
72 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14
73 dfss3 3338 . . . . . . . . . . . . . 14
7472, 73sylibr 204 . . . . . . . . . . . . 13
7571, 74syl5eqss 3392 . . . . . . . . . . . 12
7669, 75unssd 3523 . . . . . . . . . . 11
7757, 76eqsstrd 3382 . . . . . . . . . 10
78 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . 12
7978eleq1d 2502 . . . . . . . . . . 11
8079cbvrabv 2955 . . . . . . . . . 10
81 eqid 2436 . . . . . . . . . 10
8225, 32, 48, 34, 77, 80, 814sqlem18 13330 . . . . . . . . 9
8330, 82sylanbr 460 . . . . . . . 8
8483an32s 780 . . . . . . 7
8510, 10oveq12i 6093 . . . . . . . . . 10
86 df-2 10058 . . . . . . . . . 10
8785, 86eqtr4i 2459 . . . . . . . . 9
88254sqlem4a 13319 . . . . . . . . . 10
8921, 21, 88mp2an 654 . . . . . . . . 9
9087, 89eqeltrri 2507 . . . . . . . 8
9190a1i 11 . . . . . . 7
9229, 84, 91pm2.61ne 2679 . . . . . 6
9325mul4sq 13322 . . . . . . 7
9493a1i 11 . . . . . 6
952, 3, 4, 5, 6, 28, 92, 94prmind2 13090 . . . . 5
96 id 20 . . . . . 6
9796, 65syl6eqel 2524 . . . . 5
9895, 97jaoi 369 . . . 4
991, 98sylbi 188 . . 3
10099ssriv 3352 . 2
101254sqlem1 13316 . 2
102100, 101eqssi 3364 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wo 358   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cab 2422   wne 2599  wral 2705  wrex 2706  crab 2709   cdif 3317   cun 3318   wss 3320  csn 3814  ccnv 4877  cfv 5454  (class class class)co 6081  csup 7445  cc 8988  cr 8989  cc0 8990  c1 8991   caddc 8993   cmul 8995   clt 9120   cmin 9291   cdiv 9677  cn 10000  c2 10049  cn0 10221  cz 10282  cuz 10488  cfz 11043  cexp 11382  cabs 12039  cprime 13079  cgz 13297 This theorem is referenced by:  4sq  13332 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-dvds 12853  df-gcd 13007  df-prm 13080  df-gz 13298
 Copyright terms: Public domain W3C validator