MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem2 Unicode version

Theorem 4sqlem2 13012
Description: Lemma for 4sq 13027. Change bound variables in  S. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
4sq.1  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
4sqlem2  |-  ( A  e.  S  <->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    a, b,
c, d, n, w, x, y, z    A, a, b, c, d, n    S, a, b, c, d, n
Allowed substitution hints:    A( x, y, z, w)    S( x, y, z, w)

Proof of Theorem 4sqlem2
StepHypRef Expression
1 4sq.1 . . 3  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
21eleq2i 2360 . 2  |-  ( A  e.  S  <->  A  e.  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) } )
3 id 19 . . . . . . 7  |-  ( A  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  ->  A  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )
4 ovex 5899 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  e. 
_V
53, 4syl6eqel 2384 . . . . . 6  |-  ( A  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  ->  A  e.  _V )
65a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  -> 
( A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) )  ->  A  e.  _V ) )
76rexlimdvva 2687 . . . 4  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) )  ->  A  e.  _V ) )
87rexlimivv 2685 . . 3  |-  ( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) )  ->  A  e.  _V )
9 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  a  ->  (
x ^ 2 )  =  ( a ^
2 ) )
109oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  a  ->  (
( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( a ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
1110oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( x  =  a  ->  (
( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  +  ( ( z ^
2 )  +  ( w ^ 2 ) ) ) )
1211eqeq2d 2307 . . . . . 6  |-  ( x  =  a  ->  (
n  =  ( ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )  <->  n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) ) ) ) )
13122rexbidv 2599 . . . . 5  |-  ( x  =  a  ->  ( E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  +  ( ( z ^
2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )  <->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) ) )
14 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  b  ->  (
y ^ 2 )  =  ( b ^
2 ) )
1514oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  b  ->  (
( a ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) ) )
1615oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( y  =  b  ->  (
( ( a ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( z ^
2 )  +  ( w ^ 2 ) ) ) )
1716eqeq2d 2307 . . . . . 6  |-  ( y  =  b  ->  (
n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )  <->  n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) ) ) ) )
18172rexbidv 2599 . . . . 5  |-  ( y  =  b  ->  ( E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  +  ( ( z ^
2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )  <->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) ) )
1913, 18cbvrex2v 2786 . . . 4  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) )  <->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) )
20 oveq1 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  c  ->  (
z ^ 2 )  =  ( c ^
2 ) )
2120oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  c  ->  (
( z ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) )  =  ( ( c ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )
2221oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  c  ->  (
( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( w ^ 2 ) ) ) )
2322eqeq2d 2307 . . . . . . 7  |-  ( z  =  c  ->  (
n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )  <->  n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) ) ) ) )
24 oveq1 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  d  ->  (
w ^ 2 )  =  ( d ^
2 ) )
2524oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  d  ->  (
( c ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) )  =  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )
2625oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  d  ->  (
( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )
2726eqeq2d 2307 . . . . . . 7  |-  ( w  =  d  ->  (
n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )  <->  n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) ) )
2823, 27cbvrex2v 2786 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( z ^
2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )  <->  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  n  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) )
29 eqeq1 2302 . . . . . . 7  |-  ( n  =  A  ->  (
n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  <->  A  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) ) )
30292rexbidv 2599 . . . . . 6  |-  ( n  =  A  ->  ( E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  <->  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) ) )
3128, 30syl5bb 248 . . . . 5  |-  ( n  =  A  ->  ( E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( z ^
2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )  <->  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) ) )
32312rexbidv 2599 . . . 4  |-  ( n  =  A  ->  ( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) )  <->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) ) )
3319, 32syl5bb 248 . . 3  |-  ( n  =  A  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) )  <->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) ) )
348, 33elab3 2934 . 2  |-  ( A  e.  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }  <->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) )
352, 34bitri 240 1  |-  ( A  e.  S  <->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   E.wrex 2557   _Vcvv 2801  (class class class)co 5874    + caddc 8756   2c2 9811   ZZcz 10040   ^cexp 11120
This theorem is referenced by:  4sqlem3  13013  4sqlem4  13015  4sqlem18  13025  4sq  13027
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-nul 4165
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-iota 5235  df-fv 5279  df-ov 5877
  Copyright terms: Public domain W3C validator