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Theorem 4sqlem3 13013
Description: Lemma for 4sq 13027. Sufficient condition to be in  S. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
4sq.1  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
4sqlem3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  e.  S )
Distinct variable groups:    w, n, x, y, z    B, n    A, n    C, n    D, n    S, n
Allowed substitution hints:    A( x, y, z, w)    B( x, y, z, w)    C( x, y, z, w)    D( x, y, z, w)    S( x, y, z, w)

Proof of Theorem 4sqlem3
Dummy variables  a 
b  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . 3  |-  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )
2 oveq1 5881 . . . . . . 7  |-  ( c  =  C  ->  (
c ^ 2 )  =  ( C ^
2 ) )
32oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  (
( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) )  =  ( ( C ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )
43oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( c  =  C  ->  (
( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) )  +  ( ( C ^
2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )
54eqeq2d 2307 . . . 4  |-  ( c  =  C  ->  (
( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  <->  ( (
( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) ) )
6 oveq1 5881 . . . . . . 7  |-  ( d  =  D  ->  (
d ^ 2 )  =  ( D ^
2 ) )
76oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  (
( C ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) )  =  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )
87oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  (
( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) )  +  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) )
98eqeq2d 2307 . . . 4  |-  ( d  =  D  ->  (
( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  <->  ( (
( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) ) )
105, 9rspc2ev 2905 . . 3  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  (
( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) )  +  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) )  ->  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  (
( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )
111, 10mp3an3 1266 . 2  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  (
( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )
12 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  A  ->  (
a ^ 2 )  =  ( A ^
2 ) )
1312oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  (
( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) ) )
1413oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  (
( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )
1514eqeq2d 2307 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  (
( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  <->  ( (
( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) ) )
16152rexbidv 2599 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  ( E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  (
( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) ) )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  <->  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) )  +  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) ) )
17 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  B  ->  (
b ^ 2 )  =  ( B ^
2 ) )
1817oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  B  ->  (
( A ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) ) )
1918oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  (
( ( A ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )
2019eqeq2d 2307 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  (
( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  <->  ( (
( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) ) )
21202rexbidv 2599 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  ( E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  (
( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  <->  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) )  +  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) ) )
2216, 21rspc2ev 2905 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) )  +  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) )  ->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) )  +  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) )
23223expa 1151 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) )  +  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) )  ->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) )  +  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) )
24 4sq.1 . . . 4  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
25244sqlem2 13012 . . 3  |-  ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) ) )  e.  S  <->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) )  +  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) )
2623, 25sylibr 203 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) )  +  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) )  ->  ( (
( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  e.  S )
2711, 26sylan2 460 1  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   E.wrex 2557  (class class class)co 5874    + caddc 8756   2c2 9811   ZZcz 10040   ^cexp 11120
This theorem is referenced by:  4sqlem4a  13014
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-nul 4165
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-iota 5235  df-fv 5279  df-ov 5877
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